求軌跡問題之“內(nèi)功心法”

烏魯木齊市第一中學(xué)(830002)

虞建友●

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求軌跡問題之“內(nèi)功心法”

烏魯木齊市第一中學(xué)(830002)

虞建友●

求軌跡問題是高中數(shù)學(xué)解析幾何的熱點(diǎn)問題，于是被總結(jié)出了諸如“直接法、代入法、定義法、參數(shù)法、交軌法”等名稱好記，操作有套路的方法.但是學(xué)生在遇到問題時(shí)，選擇用什么方法呢？這才是問題的癥結(jié)所在.本文就課本中一道練習(xí)題的解法闡述求解軌跡問題的思路——找尋運(yùn)動(dòng)過程中不變的關(guān)系，并將之代數(shù)表示.

例題 人教社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-1》第37頁練習(xí)第3題：

分析 求點(diǎn)M的軌跡方程，就要思考點(diǎn)M是怎么運(yùn)動(dòng)的.著眼于找出運(yùn)動(dòng)過程中不變的關(guān)系，便有不同的解法.

解法1

分析 注意到運(yùn)動(dòng)變化過程中，直線CA垂直于直線CB是不變的.將這種不變的關(guān)系呈現(xiàn)即可.

得M的軌跡方程：x+y=2 ①.

綜上，點(diǎn)M的軌跡方程：x+y=2 (這就是所謂的“參數(shù)法”).

解法2

分析：依然抓住運(yùn)動(dòng)變化過程中，直線CA垂直于直線CB是不變的這一關(guān)系，換一種呈現(xiàn)方式.

解法3

注：解法1、2的著眼點(diǎn)一致，思維量不是很大，但是運(yùn)算量不小.方法不一樣在于呈現(xiàn)兩直線互相垂直的方式不一樣.解法3也是著眼于呈現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中不變的關(guān)系，思維量大，但是運(yùn)算小.這正是數(shù)學(xué)的魅力，殊途同歸，因人而異，每個(gè)人都能學(xué)到適合自己的數(shù)學(xué).想得多，算的就少.想得少，算的就多.但是無論哪種方法，都用了“內(nèi)功心法”： 將運(yùn)動(dòng)過程中不變的關(guān)系呈現(xiàn)出來.解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，而軌跡問題就是將運(yùn)動(dòng)規(guī)律代數(shù)化，辯證唯物主義說運(yùn)動(dòng)和靜止是對立的統(tǒng)一的，所以找運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是要“動(dòng)中找靜”.這也是數(shù)學(xué)的哲學(xué)性的體現(xiàn).

牛刀小試，一招“斃敵”

分析：只需抓住運(yùn)動(dòng)變化過程中，“桿的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于桿長的一半”這一不變關(guān)系即可.

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