函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江蘇省寶應(yīng)中學(xué)(225800)

陸 敏●

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函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

江蘇省寶應(yīng)中學(xué)(225800)

陸 敏●

作為函數(shù)中重要的一個(gè)性質(zhì)，單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)某些函數(shù)題目求解中的合理運(yùn)用，常?？梢云鸬交y為易、化繁為簡(jiǎn)的作用，尤其適用于函數(shù)最值以及不等式證明等類型題的求解.本文以函數(shù)單調(diào)性為研究對(duì)象，著重探討了其在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用對(duì)策，擬為相關(guān)教學(xué)研究與應(yīng)用提供指導(dǎo).

一、在方程求解中的應(yīng)用

方程求解本身是一種等式求解過(guò)程，其涉及到多種數(shù)學(xué)知識(shí)，相應(yīng)的求解方法也比較多.在講解函數(shù)單調(diào)性部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，學(xué)生大都已經(jīng)學(xué)習(xí)了許多函數(shù)知識(shí)和基礎(chǔ)方程方面的知識(shí)，所以此時(shí)學(xué)生對(duì)于求解方程題目已經(jīng)具備了基本的求解思路和方法，且能夠自行總結(jié)函數(shù)與方程求解之間的關(guān)系.但是如果教師可以引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)單調(diào)性方面的知識(shí)合理應(yīng)用于方程求解中來(lái)，則可以給方程求解提供新的方法，從而進(jìn)一步擴(kuò)寬和培養(yǎng)學(xué)生的解題思路.

例1 解方程x3+2x+(x+1)3+1=0.

鑒于f(x)=x3+x在區(qū)間(-，+)上為單調(diào)遞增函數(shù)，且為奇函數(shù),那么可以將原方程化為f(x)+f(x+1)=0，即f(x+1)=-f(x)=f(-x).

因?yàn)閒(x)為單調(diào)函數(shù)，可知x+1=-x，由此可知x=-1/2.

由此可知，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性的合理應(yīng)用，可以極大地簡(jiǎn)化方程的求解過(guò)程，這實(shí)際上就是函數(shù)單調(diào)性基本概念及其性質(zhì)在方程求解中的具體應(yīng)用.

二、在不等式求解中的應(yīng)用

我們可以借助函數(shù)的單調(diào)性的合理應(yīng)用來(lái)達(dá)到求解不等式題目的目的，具體就是借助不等式的分類、數(shù)形結(jié)合或者換元法等方式及其綜合運(yùn)用來(lái)達(dá)到不等式證明的目的，同時(shí)學(xué)生也可以在此過(guò)程中培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)思維能力.

解 視a為變?cè)獂,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，只需要證明x∈(-1,1)時(shí)，f(x)>0恒成立即可.當(dāng)b+c=0時(shí)，f(x)=1-b2>0恒成立；當(dāng)b+c≠0時(shí)，函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈(-1,1)上是單調(diào)的.由于f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0,f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0,所以f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈(-1,1)上恒大于零.

由此可知，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性的合理應(yīng)用可以有效地化解復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高學(xué)生的解題能力.與此同時(shí)，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)借助概念解題也不會(huì)犯錯(cuò)的時(shí)候，他們會(huì)自行糾正自己所存在的錯(cuò)誤觀念和認(rèn)識(shí)，這將大大提升他們的邏輯思維能力.

三、在單調(diào)區(qū)間求解中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，針對(duì)函數(shù)單調(diào)性的考查有專門章節(jié)訓(xùn)練是關(guān)于單調(diào)區(qū)間，這類題就是專門考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)單調(diào)性這一性質(zhì)的掌握程度，具體就需要學(xué)生對(duì)于待求題目進(jìn)行合理變形處理來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化題目結(jié)構(gòu)，進(jìn)而達(dá)到求解的目的.

四、在參數(shù)取值范圍求解中的應(yīng)用

針對(duì)某些參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將待求問(wèn)題轉(zhuǎn)化成不等式恒成立問(wèn)題，具體就是充分運(yùn)用題目中的已知條件來(lái)找尋解題的突破口，以借此達(dá)到解題的目的.

總之，單調(diào)性作為函數(shù)的一種重要性質(zhì)，其在不等式證明以及解方程求解等的數(shù)學(xué)題目中的合理應(yīng)用，往往可以將那些抽象、繁雜的數(shù)學(xué)題目簡(jiǎn)單化、直觀化，從而可以有助于學(xué)生更好地進(jìn)行求解，同時(shí)也可以在此過(guò)程中培養(yǎng)和提升學(xué)生的解題能力，值得教學(xué)上大力關(guān)注和應(yīng)用.

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