關(guān)于立體幾何線面平行問題的解題方法

陜西省西安高新唐南中學(xué) (710065)

蔣金雨●

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關(guān)于立體幾何線面平行問題的解題方法

陜西省西安高新唐南中學(xué) (710065)

蔣金雨●

對(duì)于立體幾何而言，如何有效地使用解題方法成為了我們主要關(guān)注的問題.立體幾何問題是一種抽象化的問題，而且其中線面平行的問題更是高考的熱點(diǎn)問題.對(duì)于線面平行，其核心內(nèi)容便是依據(jù)相關(guān)的定理和概念，加之對(duì)平行關(guān)系的應(yīng)用，進(jìn)而做好線面平行問題的解析.

一、空間幾何思想解決立體幾何中的線面平行問題

高中數(shù)學(xué)立體幾何中線面平行問題的解答過程中，要對(duì)立體幾何中線和面平行的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行全面的分析，并且要熟練地應(yīng)用在分析題目中，進(jìn)而快速而熟練地解決問題.

對(duì)于空間幾何圖形平行的關(guān)系而言，不僅有線線平行，線面平行，還有面面平行，而本文主要研究線面平行.主要使用的定理如下所示：

若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.可以表示為：若直線l?α，直線b?α，l∥b，則l∥α.

二、利用平行四邊形思想解決立體幾何中線面平行問題

證明 取AE中點(diǎn)F.

這種類型的題便是利用幾何體的空間結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，巧妙地利用輔助線，進(jìn)而對(duì)立體幾何中的線面平行問題進(jìn)行解決.

三、利用比例關(guān)系解決立體幾何中線面平行的問題

在這道題的求解過程中，首先我們?cè)陬}目中已經(jīng)知道比例關(guān)系，為了利用比例關(guān)系，所以我們構(gòu)造輔助線利用其中的比例關(guān)系來解答這道題.因?yàn)楸壤P(guān)系只能應(yīng)用到一個(gè)平面內(nèi)，所以我們要把已知的比例關(guān)系轉(zhuǎn)化到平面內(nèi)可以利用的比例關(guān)系，于是我們將平面ADE擴(kuò)大到平面FDE，構(gòu)造出DN，NC的比例關(guān)系，證明如下，

證明 延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)F，連接CM并延長(zhǎng)交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作MQ的平行線BK.

∵M(jìn)是BE的中點(diǎn),

∴Q是KE的中點(diǎn).

在△FQC中，BK是中位線,

可得K是EF的三等分點(diǎn),

∵DQ?平面ADE，MN?平面ADE

∴MN∥平面ADE.但是，需要注意的是，有時(shí)，題目沒給比例，但隱含比例，要善于挖掘比例.例如，在高中數(shù)學(xué)中的這一例題而言，如圖3已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P、Q分別是對(duì)角線AE、BD上的點(diǎn)，且AP=DQ.

求證：PQ∥平面CBE.

在這道題中，雖然沒有直接告訴我們比例關(guān)系，但我們通過讀題可以挖掘出兩個(gè)矩形中所蘊(yùn)含的比例關(guān)系.

∵AP=DQ,

∴EP=BQ.

又AB=CD,EA=BD,

∴PM=QN.又PM∥QN，∴四邊形PMNQ是平行四邊形，

∴PQ∥MN.

∵PQ?平面CBE，MN?平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

四、中位線定理解決立體幾何中的線面平行問題

高中數(shù)學(xué)里，中位線定理是我們十分常用的定理，不管是在平面幾何，還是立體幾何中中位線定理都有極為廣泛的應(yīng)用.當(dāng)然，在立體幾何中，我們必須把線段轉(zhuǎn)化在同一平面內(nèi)才可以繼續(xù)使用，因?yàn)橹形痪€定理只可以研究平面中線段問題.其實(shí)，使用中位線定理便是利用面面平行在逆推出線面平行.其中面面平行所使用的定理如下所示：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.幾何語言：a?α，b?α，且a∩b=A，a∥β，b∥β，則α∥β.

求證：MN∥平面ADE.

在這道題中，我們先確定出要使用中位線定理，于是我們延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MP∥EF，再連接NP,于是便構(gòu)造出了平面FDE與平面PMN平行，通過面面平行，再結(jié)合中位線定理，便可以推出MN∥平面ADE.證明如下.

證明 延長(zhǎng)DA，CB交于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MP∥EF，再連接NP.

∵M(jìn)是BE的中點(diǎn),

∴P是FC是四等分點(diǎn).

∵DF∩EF=F，NP∩MP=P.

∴平面NPM∥平面DFE.

∵M(jìn)N?平面NPM，MN?平面ADE,

∴MN∥平面ADE.

終上所述，本文通過同一道題介紹了立體幾何中線面平行的三種解題方法：利用平行四邊形的性質(zhì)解題；利用比例關(guān)系解題；利用中位線定理和面面平行定理相結(jié)合解題.一題多解拓寬了我們解題的思路，當(dāng)然數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)講究融會(huì)貫通，將相關(guān)的舊知識(shí)同新知識(shí)聯(lián)系在一起.做幾何題，培養(yǎng)靈活思維，運(yùn)用多種方法可以幫助我們更快地解決問題.

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