賞析兩道高考解幾壓軸試題及備考建議

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100)

蘇藝偉●

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賞析兩道高考解幾壓軸試題及備考建議

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100)

蘇藝偉●

眾所周知,解析幾何是高中主干知識(shí),屬于重點(diǎn)考查內(nèi)容,每年高考必考小題和一道解答題.解答題從宏觀上來講,就是創(chuàng)設(shè)平面幾何及解析法解決圓錐曲線有關(guān)問題的環(huán)境,使得解析幾何的思想方法在解答中得以完整體現(xiàn).代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化是解析幾何的核心,有效實(shí)現(xiàn)著兩個(gè)轉(zhuǎn)化是解決解析幾何問題的關(guān)鍵.

下面筆者以兩道2016高考試題為例進(jìn)行說明.

賞析1:2016年高考北京卷理科

(1)求橢圓C的方程;

賞析2:2016年全國丙卷第20題

已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR∥FQ;(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

試題分析 該題避開了高考解幾傳統(tǒng)的命題視角,以直線和拋物線為載體考查兩條直線平行的證明以及求中點(diǎn)軌跡方程.主要考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),探究能力,對(duì)考生的推理論證能力,邏輯思維能力要求較高.考生有沒有深度地思考,能不能找到轉(zhuǎn)化策略,成為解答本題的分水嶺.多考想,少考算,正是該題的突出特點(diǎn).本題具有一定的探索性和開放性,較好地體現(xiàn)了新課改理念.

解法分析

1.對(duì)第一步的分析

化簡得ab=-1.

除了運(yùn)用高中方法來證明出AR∥FQ,還可以采用初中平面幾何知識(shí).如圖(3)所示,連接PF,RF.

故∠PFQ=90°,即三角形PFQ是直角三角形,PF⊥FQ.

此時(shí)在四邊形APRF中,AP2+FR2=AF2+PR2,則對(duì)角線PF⊥AR.

因此有AR∥FQ.

簡評(píng) 上述解法借助了重要的平面幾何知識(shí),如“直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半”,“四邊形對(duì)邊平方和相等等價(jià)于該四邊形的對(duì)角線互相垂直”,“和同一條直線垂直的兩條直線平行”等等.從平面幾何知識(shí)的角度來闡述本步更能凸顯思維品質(zhì),給人耳目一新的感覺.

綜合上述分析不難發(fā)現(xiàn),第一小步試題表述平實(shí)質(zhì)樸,入口寬,解法多樣,能夠讓不同的考生都有所收獲,體現(xiàn)了課程理念中的“人人學(xué)有用的數(shù)學(xué),有用的數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)為人人所學(xué),不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)”.同時(shí)也啟發(fā)我們在教學(xué)中要重視初中平面幾何知識(shí)的復(fù)習(xí)以及拓展.

2.對(duì)第二步的分析

第二步的已知條件是△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,要求線段AB中點(diǎn)(設(shè)為E)的軌跡方程.聯(lián)想到高中階段學(xué)過的求軌跡方程的方法,由于點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)是由線段AB運(yùn)動(dòng)引起的,故可采用相關(guān)點(diǎn)法來求出點(diǎn)E的軌跡方程.而對(duì)于條件兩個(gè)面積之間的關(guān)系該如何運(yùn)用?關(guān)鍵在于準(zhǔn)確寫出面積的表達(dá)式.觀察圖形易知△ABF的面積可以看成兩個(gè)同底的小三角形面積之和.

故線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為y2=x-1.

解得ab=-2.

故線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為y2=x-1.

簡評(píng) 上述解法的巧妙之處在于運(yùn)用三角形的面積坐標(biāo)公式,將△ABF的面積表示成坐標(biāo)的形式,再結(jié)合兩個(gè)面積關(guān)系得到ab=-2.和上述解法相比,解題過程一氣呵成,避開了較為復(fù)雜的計(jì)算,頗有“柳暗花明又一村”的快感.

綜合上述分析,可以看出第二步較之第一步難度明顯加大,體現(xiàn)了本道試題具有梯度性,層次性.第二步綜合性較強(qiáng),對(duì)考生的數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有較高的要求,發(fā)揮了很好的選拔區(qū)分功能.這就啟發(fā)我們在圓錐曲線的復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識(shí)的講解又要著重培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力,解題能力.

通過上述兩道高考試題的分析,不難發(fā)現(xiàn),高考解幾壓軸題以能力立意,重視知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程,增大思維容量,突出理性思維.而重視知識(shí)形成過程,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)問題,則是高考解析幾何命題創(chuàng)新主體.基于此,我們在備考中要注重做到以下幾點(diǎn).

1.注重平面幾何知識(shí)的運(yùn)用

平面幾何知識(shí)在高中階段仍然有著重要而廣泛的應(yīng)用.高考試題尤其是解析幾何的試題往往可以運(yùn)用平幾知識(shí)來解答,效果往往出乎意料.解析法借助平面直角坐標(biāo)系,將點(diǎn),線等幾何元素代數(shù)化,通過代數(shù)運(yùn)算來研究幾何元素間的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系,體現(xiàn)了程序性,簡潔性等優(yōu)勢.幾何法借助幾何定理,性質(zhì)等來演繹論證幾何元素間的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系,體現(xiàn)了邏輯性,簡約性等獨(dú)特的魅力.在解題時(shí),如果將這兩種解法有機(jī)地結(jié)合起來,讓兩者比翼雙飛,那么可能會(huì)有許多意外且巧妙的收獲.

2.從整體上把握解幾教學(xué)

解析幾何的教學(xué)要關(guān)注形與數(shù)的有機(jī)結(jié)合,形的直觀與數(shù)的抽象的有機(jī)結(jié)合可以使問題簡單化.因此在函數(shù)的教學(xué)中對(duì)于一些基本函數(shù)的概念,性質(zhì),圖象等要較全面地掌握,并且能夠靈活地加以應(yīng)用,熟練掌握研究函數(shù)的基本方法.有了基本知識(shí)和基本方法，才能靈活地解決解幾綜合性問題.

3.加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的訓(xùn)練

在平時(shí)的教學(xué)與備考中,一定要重視基礎(chǔ)知識(shí),基本方法,基本技能的形成與運(yùn)用.對(duì)基本概念,基本原理,基本方法不僅要知其然,而且要知其所以然.熟練掌握解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)與解決問題的通性通法,打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).如用定義法,直接法,動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法,交軌法,參數(shù)法常用方法求軌跡方程.用定義研究焦點(diǎn)弦;用韋達(dá)定理,判別式,根的分布來研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系;用坐標(biāo)運(yùn)算去處理向量與圓錐曲線的交匯問題,用參數(shù)法或運(yùn)用曲線的性質(zhì)研究最值問題等.只有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)和技能操作,才能順利攻克解幾難題.否則一切都是無源之水無本之木.

4.加強(qiáng)思維能力的培養(yǎng),提升核心素養(yǎng)

新課程改革后的高考命題是以“能力”立意,在未來的高考改革中有可能還會(huì)以“素養(yǎng)”立意.基于此,我們必須著力發(fā)展學(xué)生的思維,提升學(xué)生的核心素養(yǎng).在課堂上,要促進(jìn)學(xué)生積極思考,做到學(xué)有所思,學(xué)有所悟.通過學(xué)習(xí)使學(xué)生能夠舉一反三,觸類旁通,并且能夠?qū)栴}推廣到一類,得到一般情況,唯有如此,才能不斷提高學(xué)習(xí)效率 ,培養(yǎng)思維能力和創(chuàng)新能力.

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