高考《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》難點(diǎn)透析

甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(734000)

王新宏●

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高考《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》難點(diǎn)透析

甘肅省張掖市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(734000)

王新宏●

《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》是高考選考系列中較為簡(jiǎn)單的，所以絕大多數(shù)學(xué)校都選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》；縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷、全國(guó)Ⅱ卷、陜西卷、湖南卷，對(duì)《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的考查也有了更加新穎的方法，越來(lái)越喜歡考查應(yīng)用參數(shù)方程求最值或范圍問(wèn)題，越來(lái)越重視利用直線參數(shù)方程t的幾何意義求距離或相關(guān)問(wèn)題，越來(lái)越注重應(yīng)用極坐標(biāo)求距離或面積，這對(duì)于部分考生來(lái)說(shuō)是不熟悉的、不擅長(zhǎng)的難點(diǎn)，現(xiàn)就將這些難點(diǎn)題型及解題規(guī)律梳理如下，供讀者參考使用.

一、利用曲線的參數(shù)方程求最值(范圍)問(wèn)題

利用曲線的參數(shù)方程求解兩曲線間的最值問(wèn)題，是非常簡(jiǎn)捷、方便的，是我們解決這類(lèi)問(wèn)題最常用、最普遍的好方法.為此：

(1)必需熟悉常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程，參普方程的互化以及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用；

(2)數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖形優(yōu)化解題策略，是用參數(shù)法還是普通方程法.

(Ⅰ)寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；

(Ⅱ)過(guò)曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值.

(Ⅱ)如圖1，在曲線C上任意取一點(diǎn)P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為：

評(píng)注 將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，常用的技巧有：代入消參，加減消參，整體消參，平方后加減消參等.一般地，如果題目中涉及圓、橢圓上的動(dòng)點(diǎn)求相關(guān)最值(范圍)問(wèn)題時(shí)，可考慮用其參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題得以解決，使解題的過(guò)程簡(jiǎn)單明了.

例2 (2015年高考陜西卷理科第23題)

(Ⅰ)寫(xiě)出⊙C的直角坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)Ρ為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)Ρ到圓心C的距離最小時(shí)，求Ρ的直角坐標(biāo)．

評(píng)注 求最值問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解答，難點(diǎn)是確定變量及建立函數(shù)關(guān)系式，幾何問(wèn)題也常常數(shù)形結(jié)合，根據(jù)幾何意義確定最值點(diǎn).

二、利用直線參數(shù)方程中t的幾何意義求與距離有關(guān)的問(wèn)題

三、利用極坐標(biāo)中ρ的幾何意義求有關(guān)距離或相關(guān)問(wèn)題

《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》通常的解題思路是把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程都化為直角坐標(biāo)方程，用普通方程的方法解決，但也不盡然.

大家知道，極坐標(biāo)中的ρ為極徑，表示曲線上這一點(diǎn)與原點(diǎn)O之間的距離，為此與原點(diǎn)O有關(guān)的距離、面積等問(wèn)題都可首先考慮運(yùn)用極坐標(biāo)中ρ的幾何意義解決它，這不僅是一種解題思路，更多時(shí)候它要比化為直角坐標(biāo)運(yùn)算簡(jiǎn)便得多，是一種優(yōu)化策略，可謂事半功倍.

例3 (2015年高考全國(guó)卷Ⅱ理科第23題)

(Ⅰ)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

例4 (2015年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第23題)

解析 (Ⅰ)因?yàn)閤=ρcosθ,y=ρsinθ，∴C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.

四、與其它知識(shí)交匯問(wèn)題

高考注重在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題，故《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》有可能與集合、向量、概率、函數(shù)、線性規(guī)劃、數(shù)列、定積分、程序框圖等交匯.

例5 (2014年高考浙江卷)

注：此文為甘肅省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度《新課改理念下高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高效策略研究》課題(課題批準(zhǔn)號(hào)【GS2013】 GHB0771)成果之一.

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