用Mathematica分析電磁感應(yīng)類問題的自洽性

陸天明

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校，江蘇 南京 211102)

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用Mathematica分析電磁感應(yīng)類問題的自洽性

陸天明①

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校，江蘇 南京 211102)

對(duì)電磁感應(yīng)類問題的自洽性進(jìn)行分析時(shí),一般會(huì)碰到超越方程和微分方程,處理這些方程是一件費(fèi)時(shí)耗力的事,如利用Mathematica軟件,則分析過程會(huì)顯得非常簡(jiǎn)單.Mathematica不僅可以進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算,得到解析解,對(duì)于一些無法得到解析解的方程,也會(huì)給出令人滿意的數(shù)值解.

Mathematica;電磁感應(yīng);自洽性

電磁感應(yīng)類問題常常有著比較強(qiáng)的綜合性,可以很好地考察學(xué)生的知識(shí)水平和分析解決問題的能力,一直受到命題者的青睞.但這類問題所涉及的運(yùn)動(dòng)過程一般較為復(fù)雜,對(duì)數(shù)學(xué)的要求常會(huì)超出學(xué)生的現(xiàn)有水平,命題者為了使題目能夠被高中學(xué)生解決,一般會(huì)直接或間接給定物理量的數(shù)值,這很容易導(dǎo)致題目的科學(xué)性錯(cuò)誤,造成不自洽的問題.所以,在日常教學(xué)過程中,常要考察這類題目的自洽性,這時(shí)就會(huì)碰到超越方程和微分方程,處理這些方程是一件十分費(fèi)時(shí)耗力的事,若能借助Mathematica軟件,則會(huì)使工作效率大大提高.Mathematica是美國(guó)物理學(xué)家Stephen Wolfram設(shè)計(jì)開發(fā)的一款優(yōu)秀的科學(xué)計(jì)算軟件,可以進(jìn)行復(fù)雜的符號(hào)運(yùn)算、數(shù)值運(yùn)算和圖像處理,功能非常強(qiáng)大.下面就用Mathematica來分析兩道典型的電磁感應(yīng)問題的自洽性.

圖1

如圖1所示，在粗糙絕緣水平面上有一正方形閉合金屬線框abcd，其邊長(zhǎng)為l=1m、質(zhì)量為m=2kg、電阻R=1Ω.金屬線框與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8．邊界右側(cè)有一足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向豎直向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T．開始時(shí)金屬線框的cd邊與磁場(chǎng)的邊重合，現(xiàn)使金屬線框以初速度v0=10m/s沿水平面進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，線框完全滑入磁場(chǎng)區(qū)域后又滑行l(wèi)距離后停下，求金屬線框進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)所經(jīng)歷的時(shí)間t.

在圖1中以邊界上取一點(diǎn)為原點(diǎn),垂直于邊界建立x軸.

可以看到,用Mathematica求解微分方程顯得很簡(jiǎn)潔,特別是在用Mathematica求解線框第1階段運(yùn)動(dòng)的未速度的具體數(shù)值時(shí),涉及的方程是超越方程,憑借紙筆運(yùn)算是非常困難的,而這里用Mathematica來處理,顯得非常簡(jiǎn)單.

再來研究一道更加復(fù)雜的自洽性問題，如圖2所示，質(zhì)量為m、電阻為R的單匝矩形線框置于光滑水平面上，線框邊長(zhǎng)ab=L、ad=2L．虛線MN過ad、bc邊中點(diǎn)．一根能承受最大拉力F0的細(xì)線沿水平方向拴住ab邊中點(diǎn)O．從某時(shí)刻起，在MN右側(cè)加一方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小按B=kt的規(guī)律均勻變化.一段時(shí)間后，細(xì)線被拉斷，線框向左運(yùn)動(dòng)，ab邊穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度為v.求：

圖2

(1) 細(xì)線斷裂前線框中的電功率P；

(2) 細(xì)線斷裂后瞬間線框的加速度大小a及線框離開磁場(chǎng)的過程中安培力所做的功W；

(3) 線框穿出磁場(chǎng)過程中通過導(dǎo)線截面的電量q．

命題者似乎已經(jīng)感覺到了這類問題會(huì)出現(xiàn)自洽性問題，所以沒有給出各物理量的具體數(shù)值,但仔細(xì)分后還是發(fā)現(xiàn)了存在自洽性問題.

在圖2中建立坐標(biāo)系,以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),水平向左為正方向.

Clear["Global`*"]

F0=10;L=1;k=1;m=0.2;R=1;t0=F0*R/(L^3*k^2);tt=100*t0;

a=L^2*k^2/(m*R);

ode1={x''[t]+a*t^2*x'[t]+a*t*x[t]-a*L*t==0,x'[t0]==0,x[t0]==0};

A1=NDSolve[ode1,x,{t,t0,tt}]

x=First[x/.A1](*得到插值函數(shù)*);

x[tt](*求末時(shí)刻線框的位置*)

x'[tt](*求時(shí)刻線框的速度*)

x''[t0](*求線框開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度*)

Plot[x[t],{t,t0,tt},Axes->True,PlotRange->{{t0,tt},{0,2}}](*作出位移-時(shí)間圖像*)

Plot[x'[t],{t,t0,tt},Axes->True,PlotRange->{{t0,tt},{0,0.2}}](*作出速度-時(shí)間圖像*)

運(yùn)行上述程序可以得到:線框開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為a=50m/s2，可以求出線框的末位置為:9.89999×10-1<1m，末速度為v=1.0005×10-5m/s.代入不同數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證,均得到線框沒有離開磁場(chǎng)區(qū)域,即原題不自洽，程序給出的位移-時(shí)間圖像如圖3，速度-時(shí)間圖像如圖4.

圖3

圖4

由以上兩例可以看到,Mathematica在驗(yàn)證電磁感應(yīng)類問題的自洽性時(shí)顯得特別有力.實(shí)際上,中學(xué)物理中有很多問題都可以運(yùn)用Mathematica來處理,不僅可以用來求解各種方程和繪制圖像,還可以用來模擬物理過程,處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)等.Mathematica功能非常強(qiáng)大,應(yīng)用極其廣泛,而且簡(jiǎn)單、易學(xué)、操作方便，是一款值得深入研究的軟件.

褚小坤.電磁感應(yīng)問題的自洽性探討[J].物理之友,2016,32(7).

①名師簡(jiǎn)介：陸天明(1969— ),男,江蘇南京人,南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校教研部副主任,《物理之友》編委，南京市物理學(xué)科帶頭人，南京物理學(xué)會(huì)理事,南京師范大學(xué)物理教育研究所兼職研究員,研究方向?yàn)槲锢碚n程與教學(xué)論.