一類脈沖微分系統(tǒng)的Lyapunov不等式

奚雷雷， 曲本鑫， 申建華

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

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一類脈沖微分系統(tǒng)的Lyapunov不等式

奚雷雷， 曲本鑫， 申建華

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

研究了具有阻尼項的二階線性脈沖微分系統(tǒng)的Lyapunov型不等式，分類討論了兩種不同的脈沖擾動情形，并提供了實例，進而改進了相關(guān)文獻的一些結(jié)果.

Lyapunov不等式；Cauchy-Schwartz不等式；脈沖微分方程

0 引 言

經(jīng)典的Lyapunov不等式是指Hill方程存在滿足齊次邊值條件非平凡解時需滿足的必要條件，它首先是由俄羅斯數(shù)學(xué)家Lyapunov于1907年在考慮Hill方程解的穩(wěn)定性時提出的.在微分方程理論中，Hill方程指如下二階線性常微分方程：x″(t)+q(t)x(t)=0.經(jīng)典的Lyapunov不等式[1]即如下定理：

定理1 設(shè)q(t)是[a，b]上實值函數(shù)，若Hill方程存在非平凡解x(t)滿足x(a)=x(b)=0，t∈(a，b)， 且x(t)不恒為0，則有

(1)

其中式(1)右邊界“4”不能被更大的常數(shù)替代，式(1)稱為Lyapunov不等式.

Lyapunov不等式不斷得到改進和推廣，出現(xiàn)了形式多樣的Lyapunov型不等式.1951年，Wintner[2]利用Riccati方法和Sturm比較定理，用q+(t)代替式(1)中的|q(t)|，得到了更一般的不等式

(2)

其中q+(t)=max{q(t)，0}，從而改進了式(1).Hartman等[3]則進一步改進了文獻[2]的結(jié)果，得到了下述更好的結(jié)論：

(3)

顯然，由于(t-a)(b-t)≤(b-a)2/4，式(3)可直接推出式(2). 后來一些學(xué)者[4-5]考慮具有阻尼項的二階常微分方程邊值問題

x″(t)+p(t)x′(t)+q(t)x(t)=0， x(a)=x(b)=0，

(4)

其中p(t)，q(t)為[a，b]上的連續(xù)函數(shù).

定理2 設(shè)具有阻尼項的二階常微分方程(4)存在非平凡解x(t)滿足：

1)x(a)=x(b)=0；

3)a

近些年來，研究常微分方程的Lyapunov不等式文獻較多[1-3,6-7],但是研究脈沖微分方程的Lyapunov不等式的文獻較少. 文獻[8]考慮了如下脈沖微分方程：

文中采用Green函數(shù)同時求積分的辦法將經(jīng)典的Lyapunov不等式推廣到帶脈沖擾動的情形，即

定理3 設(shè)二階脈沖微分方程(5)存在非零解x(t)且滿足x(a)=x(b)=0，則有

式(5)中的脈沖擾動僅與x(tk)有關(guān)，那么如果脈沖擾動既與x(tk)有關(guān)，也與x′(tk)有關(guān)，能否得到定理3的結(jié)果？

筆者發(fā)現(xiàn)，文獻[8]的研究方法并不適合于該問題. 因此本文主要采用文[5]和[9]中的方法，考慮如下具有阻尼項的二階線性脈沖微分系統(tǒng)：

(6)

其中p(t)，q(t)∈C([a，b]，R)，a=t0

注：式(6)所考慮的情況更為一般，即式(6)中p(t)=0，即可解決所提出的問題.

1 引 理

首先，類似于文[9]的方法可容易證明引理1，2，3.

y″(t)+p(t)y′(t)+q(t)y(t)=0，t≥t1，

(7)

且bk=ck.

u″(t)+Q(t)u(t)=0，

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

[s(t)z′(t)]′+G(t)z(t)=0，

(13)

2 主要結(jié)果

下面分別建立兩種脈沖情形下的Lyapunov不等式.

情形Ⅰ bk=ck.

1)a，b∈R；

2)x(t)，x′(t)左連續(xù)；

4)a

證明 對式(8)積分可得

(14)

根據(jù)Cauchy-Schwartz不等式，得

(15)

(16)

即得

(17)

(18)

由式(17)與(18)相加，以及式(14)，得

即得

(19)

可以得到

(20)

事實上，若式(20)不成立，則由式(19)知，?t0∈(a，b)使得

(21)

由式(15)，(16)，(21)得

(22)

(23)

又由式(15)，(16),(22),(23)得

(24)

(25)

情形Ⅱ bk≠ck.

定理5 如果式(6)存在非零解x(t)滿足x(a)=x(b)=0，則

(26)

其中:

1)bk≠ck，bkck>0；

2)x(t)，x′(t)左連續(xù)；

4)a

證明 對式(13)積分，可得

(27)

又由Cauchy-Schwartz不等式，得

(28)

(29)

(30)

類似于式(20)，有

3 舉例應(yīng)用

上述非零解的圖像如圖1所示.

計算式(26)左邊為

易知式(26)成立.

圖1 式(6)一個非零解的圖像 Fig. 1 The image of a nontrivial solution of equation (6)

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A Type of Lyapunov Inequality for Impulsive Differential System

XI Leilei, QU Benxin, SHEN Jianhua

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

This paper studied Lyapunov inequalities for second-order linear impulsive differential system, discussed two kinds of pulse perturbation, and provided an example to verify the new results. The results presented here improve some related results.

Lyapunov inequality; Cauchy-Schwartz inequality; impulsive differential equation

2016-06-22

國家自然科學(xué)基金項目(11571088)； 浙江省自然科學(xué)基金項目(LY14A010024).

申建華(1961—)，男，教授，主要從事微分方程與動力系統(tǒng)研究.E-mail：jianhuashen2013@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.06.011

O19； O175 MSC2010: 34B05； 34B37

A

1674-232X(2016)06-0617-06