基于Hamilton體系的加載邊簡(jiǎn)支矩形薄板穩(wěn)定性分析

楊洪瀾，趙亞榮，鄭俊，周濤

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基于Hamilton體系的加載邊簡(jiǎn)支矩形薄板穩(wěn)定性分析

楊洪瀾1，趙亞榮2，鄭俊3，周濤1

（1. 齊齊哈爾大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2. 長(zhǎng)春迪瑞醫(yī)療科技股份有限公司，吉林 長(zhǎng)春 130000；3. 江蘇大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

在板微彎曲最小勢(shì)能變分原理的基礎(chǔ)上，選用狀態(tài)變量和對(duì)偶變量，導(dǎo)向一般變分原理．經(jīng)過(guò)變分運(yùn)算，得出全狀態(tài)變量表示的微分方程組．采用分離變量法得到本征值方程，給出了本征值方程的解，導(dǎo)出加載邊簡(jiǎn)支矩形薄板撓度的級(jí)數(shù)表達(dá)式．可以根據(jù)各種邊界條件建立板穩(wěn)定性問(wèn)題方程．

Hamilton體系；彈性薄板；穩(wěn)定性；分離變量法

近年來(lái)，Hamilton體系成為一個(gè)重要研究領(lǐng)域．鐘萬(wàn)勰教授[1]首先把Hamilton體系下的對(duì)偶變量方法引入到彈性力學(xué)問(wèn)題中，該方法的核心在于方程的正則化，將歐氏空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化到辛空間．文獻(xiàn)[2]揭示了多門力學(xué)學(xué)科具有辛對(duì)偶變量體系這一共同數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，指出保守體系的各種近似分析皆應(yīng)保辛．姚偉岸[3]等研究了薄板彎曲問(wèn)題的分離變量及辛本征函數(shù)展開(kāi)的直接解析法．鐘陽(yáng)[4]在Hamilton體系下，利用辛幾何方法給出了四邊固支矩形薄板自由振動(dòng)問(wèn)題的解析解．胡志強(qiáng)[5]將Hamilton體系引入到比例邊界有限元方法中，得到了邊界剛度陣所滿足的黎卡提方程，采用精細(xì)積分等方法予以求解．鮑四元[6]建立了Mindlin的Hamilton正則方程，采用直接解法得出了對(duì)邊簡(jiǎn)支矩形板彎曲問(wèn)題的解析解．李俊永[7]等通過(guò)在Hellinger-Reisser廣義勢(shì)能中引入應(yīng)變的非線性項(xiàng)，計(jì)入剪切變形的影響，導(dǎo)出了Hamilton體系下的屈曲基本方程．但在求解臨界載荷時(shí)，仍假設(shè)一個(gè)屈曲函數(shù)，將其代入屈曲基本方程．可以看出，Hamilton體系在彈性力學(xué)的各個(gè)課題中取得了較好的應(yīng)用．自從鐘萬(wàn)勰教授在文獻(xiàn)[1]中指出，彈性力學(xué)新體系在彈性穩(wěn)定性方面也可以有所發(fā)揮以來(lái)，這方面的研究成果很多．本文通過(guò)在能量泛函中引入拉格朗日乘子以及全狀態(tài)變量，經(jīng)過(guò)變分運(yùn)算導(dǎo)向Hamilton體系，用分離變量法得到對(duì)邊簡(jiǎn)支板撓度函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式．然后通過(guò)邊界條件確定臨界載荷．與傳統(tǒng)方法相比，本文方法不必事先假定撓度函數(shù)，因而富于理性．

1 單向受壓矩形薄板穩(wěn)定性方程在Hamilton體系中的表示

加載邊簡(jiǎn)支矩形薄板的力學(xué)簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖1．

圖1　加載邊簡(jiǎn)支矩形板受力簡(jiǎn)圖

相對(duì)于基本平衡狀態(tài)（平面問(wèn)題），微彎狀態(tài)的應(yīng)變能增量是

2 用分離變量法導(dǎo)出受壓薄板微屈的撓度的表達(dá)式

代入式（5），得

化簡(jiǎn)式（10），得

式（11）開(kāi)方，得

將式（13）代入式（12），得

于是得

3 加載邊簡(jiǎn)支的矩形板穩(wěn)定問(wèn)題的解

其中

這里

將式（25）代入式（23）的第1式，得

解出

進(jìn)一步求臨界載荷的討論可見(jiàn)文獻(xiàn)[8-9]．應(yīng)用公式（19）還可求其它約束條件，如加載邊簡(jiǎn)支對(duì)邊都固支的矩形薄板的臨界載荷[10]．

4 結(jié)束語(yǔ)

在板微彎狀態(tài)應(yīng)變能中引入拉格朗日乘子，得到全狀態(tài)變量及一般的變分原理．經(jīng)過(guò)變分運(yùn)算得到哈密頓對(duì)偶方程，采用分離變量法得到了撓度表達(dá)式的通項(xiàng)．通過(guò)求解加載邊和非加載邊都簡(jiǎn)支的矩形薄板臨界載荷的算例，闡明了Hamilton方法求解薄板穩(wěn)定性問(wèn)題的過(guò)程．

[1] 鐘萬(wàn)勰．彈性力學(xué)求解新體系[M]．大連：大連理工大學(xué)出版社，1995

[2] 鐘萬(wàn)勰．應(yīng)用力學(xué)的辛數(shù)學(xué)方法[M]．北京：高等教育出版社，2006

[3] 姚偉岸，鐘萬(wàn)勰．辛彈性力學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2002

[4] 鐘陽(yáng)，李銳，田斌．四邊固支矩形薄板自由振動(dòng)的哈密頓解析解[J]．應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28（4）：323-328

[5] 胡志強(qiáng)，林皋，王毅，等．基于Hamilton體系的彈性力學(xué)問(wèn)題的比例邊界有限元方法[J]．計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，28（4）：510-516

[6] 鮑四元，鄧子晨．Mindlin 中厚板的辛求解方法[J]．固體力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，26（1）：102-106

[7] 李俊永，呂和祥．彈性力學(xué)Hamilton體系下的穩(wěn)定問(wèn)題[J]．工程力學(xué)學(xué)報(bào)，2007，24（8）：81-85

[8] 黃克智．板殼理論[M]．北京：清華大學(xué)出版社，1987

[9] 徐芝綸．彈性力學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2006

[10] 胡海昌．彈性力學(xué)的變分原理及其應(yīng)用[M]．北京：科學(xué)出版社，1981

Stability analysis of simply supported rectangular thin plate for loaded side based upon Hamilton system

YANG Hong-lan1，ZHAO Ya-rong2，ZHENG Jun3，ZHOU Tao1

（1. School of Mechanical and Electrical Engineering，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China；2. Changchun Dirui Medical Technology Co.，Ltd，Changchun 130000，China；3. School of Energy and Power Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China）

The variational principle for the micro bending plate was derived through the principle of the minimum potential energy with the state variables and dual variables．The differential sate equation set，was then obtained from the variational equation of the generalized functional．The characteristic equation of the equation set was derived by the method of separation of variables，which yields the series solution of the deflection of the thin square plate．Other stability problems of the plate could also be modeled for under different boundary conditions．

Hamilton system；elastic thin plate；stability；separation variable method

1007-9831（2016）11-0036-05

O343

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.010

2016-09-07

江蘇省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（BK20130478）

楊洪瀾（1968-），男，黑龍江克山人，講師，博士，從事超空泡流和彈性理論研究．E-mail：yanghl2020@163.com