具有弱Allee效應(yīng)的隨機(jī)捕食-食餌模型全局正解的存在性 *

劉冠琦,汪洪艷

(1.哈爾濱師范大學(xué);2.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué))

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具有弱Allee效應(yīng)的隨機(jī)捕食-食餌模型全局正解的存在性*

劉冠琦1,汪洪艷2

(1.哈爾濱師范大學(xué);2.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué))

在具有弱Allee 效應(yīng)的Lotka-Volterra捕食-食餌模型基礎(chǔ)上，加入隨機(jī)白噪聲干擾，討論具有弱Allee效應(yīng)的隨機(jī)捕食-食餌模型全局正解的存在性.運(yùn)用It?公式和李雅普諾夫函數(shù)，證明該模型的正解在有限時(shí)間內(nèi)不爆破，存在全局正解.

弱Allee效應(yīng)；隨機(jī)；捕食-食餌模型；全局正解

0 引言

在生物數(shù)學(xué)中，捕食者和食餌的相互作用一直以來(lái)都是研究工作中的一個(gè)重要問(wèn)題，由Lotka和Volterra[1]提出的捕食-食餌模型被廣泛研究.同時(shí)，Allee[2]指出， Allee效應(yīng)作為一個(gè)生物現(xiàn)象，刻畫了種群規(guī)?；蛎芏扰c其增長(zhǎng)率之間的相關(guān)性.Allee效應(yīng)廣泛存在于許多自然種群中，包括植物、鳥(niǎo)、哺乳動(dòng)物、昆蟲(chóng)等.種群密度必須具有一個(gè)最低的密度，以保證物種繼續(xù)繁衍、育種，即Allee效應(yīng)，如果種群密度低于這個(gè)最低的密度，種群將會(huì)滅絕.一個(gè)具有弱Allee 效應(yīng)的Lotka-Volterra捕食-食餌模型，其模型可表示為[3]

(1)

其中，R和F分別表示時(shí)刻t食餌和捕食種群的數(shù)量，r表示食餌種群的內(nèi)部增長(zhǎng)率，A為種群Allee效應(yīng)常量，a表示食餌種群環(huán)境容納量，b表示捕食率與捕食種群與食餌種群相互的作用，c表示轉(zhuǎn)化率和捕食種群和與食餌種群相互的作用，d表示捕食種群的死亡率，A，a,b,c,d均為正常數(shù).另一方面，我們都知道，任何生態(tài)系統(tǒng)都不可避免地要受到環(huán)境噪聲的干擾[4]，許多文獻(xiàn)都引入隨機(jī)模型來(lái)考慮生態(tài)系統(tǒng)的行為.該文考慮具有隨機(jī)白噪聲干擾的具有弱Allee效應(yīng)的Lotka-Volterra捕食-食餌模型：

(2)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(Ω,F,P)為完備概率空間，濾子{Ft}t≥0為右連續(xù)的，F(xiàn)0包含所有的P-零空間.

定義

對(duì)d維隨機(jī)微分方程，

dU(t)=f(U(t),t)dt+g(U(t),t)dW(t)

(3)

其初值U(t0)=U0∈Rn，W(t)表示(Ω,F,P)中d-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).定義方程(4)相關(guān)聯(lián)的微分算子為

(4)

那么當(dāng)L作用在V∈C2,1(Rn×R+;R+)，得

dV(U(t),t)=LV(U(t),t)dt+VU(U(t),t)g(U(t),t)dW(t).

2 全局正解的存在性

證明 在t≥0，對(duì)給定初值x(0)=lnR0，

y(0)=lnF0，下面方程

的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件，所以存在著解

(x(t),y(t))定義在[0,τe]上[5]. 再由It公式，R(t)=ex(t),F(t)=ey(t)是模型(2)對(duì)應(yīng)初值(R0,F0)的局部正解.

P(τ∞≤T)>ε，那么存在整數(shù)n1≥n0，使得

P(τk≤T)≥ε,?n≥n1.

(6)

V=R-1-lnR+F-1-lnF.

(c-b)RF+K≤C,

EV(R(τk∧T),F(τk∧T))≤V(R0,F0)+CT

(7)

再由(7)式，

V(R0,F0)+CT≥E[1Ωk(ω)V(R(τk),

令n→∞，得到

∞>V(R0,F0)+CT=∞.

[1] 陳蘭蓀，宋新宇，陸征一. 數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法[M]. 成都：四川科學(xué)技術(shù)出版社，2003.1-15.

[2] Allee W C, Animal Aggregations. A study in General Sociology. University of Chicago Press. Chicago,1931.431.

[3] Bai Z J, Wang W S, Li X P. Qualitative Analysis of a Predator-prey system with Allee effect for prey[J]. Annals of Differential Equations, 2007, 4(4):386-390.

[4] Gard T C. Stability for multispecies population models in random environments[J]. Nonlinear Anal, 1986, 10:1411-1419.

[5] Mao X R. Stochastic Differential Equations and Their Applications. Chichester Horwood Publishing, 1997.

(責(zé)任編輯：于達(dá))

The Existence of the Global Positive Solution for a Stochastic Prey-predator Model with Weak Allee Effect

Liu Guanqi1, Wang Hongyan2

(1.Harbin Normal University;2.Heilongjiang Bayi Agricultural University)

In this paper, the stochastic white noise to a Lotka-Volteera prey-predator model with weak Allee effect is considered, the existence of the global positive solution for a stochastic prey-predator model with weak Allee effect is discussed. By using Itformula and Lyapunov function, the positive solution will not explode in limited time is proved, there exists a positive solution.

Weak Allee effect; Stochastic; Prey-predator model; Global solution

2016-02-26

*黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12531202)

O21

A

1000-5617(2016)03-0004-02