基于臨界特征值的MDL信源數(shù)欠估計分析方法

杜 非， 李一博， 靳世久， 曾周末

(天津大學(xué) 精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

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基于臨界特征值的MDL信源數(shù)欠估計分析方法

杜 非， 李一博， 靳世久， 曾周末

(天津大學(xué) 精密測試技術(shù)及儀器國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

針對最小描述長度準(zhǔn)則下的信源數(shù)欠估計問題，提出了一種基于臨界特征值的欠估計分析方法，通過對信源數(shù)估計算法進(jìn)行分析，給出了臨界特征值的求解表達(dá)式及唯一性證明。相比現(xiàn)有方法，臨界特征值方法可對不同漏檢數(shù)下的欠估計邊界進(jìn)行預(yù)測，并評估陣列參數(shù)對信源數(shù)估計性能的影響。為解決大漏檢數(shù)下的臨界特征值的求解復(fù)雜問題，提出了一種近似方法，分析了近似誤差的影響因素。仿真數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，臨界特征值方法可準(zhǔn)確描述算法在不同漏檢數(shù)下的欠估計邊界，為基于信息論準(zhǔn)則的信源數(shù)估計算法提供了一種新的具有普適性的分析手段。

MDL準(zhǔn)則；信源數(shù)估計；欠估計；陣列信號處理

陣列信號處理技術(shù)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信、聲納、無損檢測等多個領(lǐng)域。信源數(shù)估計是陣列信號處理中的重要問題，估計結(jié)果的準(zhǔn)確度及傾向性對如空間譜估計、到達(dá)角定向等后繼算法的性能和策略具有重要影響[1]。

信源數(shù)估計方法的原理包括假設(shè)檢驗(yàn)、信息論、特征向量正交性等[2]。其中以Akaike信息論準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion，AIC)[3]和最小描述長度準(zhǔn)則(Minimum Description Length Criterion，MDL)[4-5]為代表的信息論方法由于其符合最大似然估計理論，計算相對簡單，在工程實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用。WAX等[6]指出盡管AIC準(zhǔn)則在小快拍數(shù)下具有相對更好的性能，但無法實(shí)現(xiàn)一致估計，呈漸近的過估計趨勢；而MDL信源數(shù)估計算法在快拍數(shù)較大時具有估計一致性，在對快拍數(shù)要求不高的場合下具有更好的性能優(yōu)勢。然而，在信號具有相似的子空間時，MDL信源數(shù)估計算法容易發(fā)生欠估計現(xiàn)象，導(dǎo)致信號源的漏檢，是制約其應(yīng)用的主要問題。研究MDL信源數(shù)估計算法的欠估計條件，對改善其在低信噪比等惡劣條件下的性能，以及后繼算法的研究具有重要的指導(dǎo)價值。

現(xiàn)有方法多基于概率理論對MDL信源數(shù)估計算法的欠估計現(xiàn)象進(jìn)行研究。ZHANG等[7]指出相關(guān)矩陣特征值與噪聲功率的比值，以及采樣快拍數(shù)會影響MDL信源數(shù)估計算法的欠估計條件，但只給出了定性的結(jié)果。KRITCHMAN等[8]給出了基于相關(guān)矩陣特征值描述的欠估計條件的近似表達(dá)式， NADLER等[9]后繼又提出了算法正確檢測概率不低于0.5的近似條件。LU等[10]得到了基于信號特征值與噪聲特征值均值之比表示的算法欠估計條件，并分析了算法的欠估計邊界，但并未對算法性能的影響因素進(jìn)行討論。此外，現(xiàn)有方法均主要針對算法的欠估計條件進(jìn)行研究，而對于算法的欠估計程度未做深入探討。

本文提出了一種基于臨界特征值的MDL信源數(shù)估計算法的欠估計分析方法，給出了臨界特征值的唯一性證明，分析了快拍數(shù)和陣元數(shù)量對算法性能的影響，并基于仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的有效性。相比現(xiàn)有方法，本文提出的方法能夠準(zhǔn)確描述不同漏檢數(shù)下算法的欠估計邊界，可評估特定參數(shù)下信噪比對信源數(shù)估計結(jié)果的影響，具有較高的應(yīng)用價值。由于大多數(shù)信息論方法與MDL準(zhǔn)則具有相似的表達(dá)形式，因此本文提出的方法具有良好的普適性，可用于如HQ[11], WIC[12], FDC[10]等算法的性能分析和評估。

1 陣列信號模型

K個遠(yuǎn)場窄帶信號源傳播到具有N(N>K)個陣元的線陣列的信號模型可描述為

x(t)=A(θ)s(t)+n(t)

(1)

式中:x(t)為各陣元所觀測到的時域信號，A(θ)為N×K的陣列流形矢量矩陣

A(θ)=[a(θ1),a(θ2)…a(θK)]

(2)

R=E{x(t)xH(t)}=

(3)

記無噪聲矩陣=A(θ)RSAH(θ)的特征值為λi,并降序排列有

(4)

式中：

λ1≥λ2≥…≥λK

(5)

則R的特征值為

(6)

并且

(7)

(8)

相應(yīng)的特征值記為

(9)

2 臨界特征值理論

2.1 MDL信源數(shù)估計算法的欠估計條件

獨(dú)立高斯條件下，基于理想相關(guān)矩陣R的特征值表示的MDL信源數(shù)估計算法的計算方法為

MDL(k)=-L(k)+y(k)=

(10)

式中：T為信號采樣的快拍數(shù)，L(k)為最大似然項(xiàng)，y(k)為懲罰項(xiàng)，則估計信源數(shù)K′為

(11)

理想情況下，當(dāng)快拍數(shù)T趨于無窮大時，算法將得到信源數(shù)量的真實(shí)估計。然而在實(shí)際應(yīng)用中，快拍數(shù)T過大將對算法的實(shí)時性產(chǎn)生影響，陣元數(shù)量亦受到應(yīng)用條件的制約。因此，需對算法的欠估計發(fā)生條件進(jìn)行研究，并分析快拍數(shù)、陣元數(shù)量和信噪比等參數(shù)對算法性能的影響。

假設(shè)真實(shí)信源數(shù)量為K，算法估計得到的信源數(shù)量為K′，當(dāng)K′≤K-1時，即存在欠估計的情況，有

MDL(K-1)

(12)

將式(10)代入式(12)，得到

(13)

化簡有

(14)

為進(jìn)一步簡化，定義

(15)

則式(14)可改寫為

(16)

式(16)即為算法發(fā)生信源數(shù)欠估計的必要條件。為進(jìn)一步分析，左式對bK求導(dǎo)有

(17)

2.2 不同漏檢數(shù)下算法的欠估計條件

多信源條件下，漏檢數(shù)可有效描述算法的欠估計程度。考慮估計信源數(shù)K′≤K-d的情況，d為最小漏檢數(shù)，有

MDL(K-d)

(18)

將式(10)代入式(18)，得到

(19)

與式(15)類似，假設(shè)

(20)

有

(21)

式(21)即為漏檢數(shù)大于等于d的必要條件。當(dāng)不等式取等時，解得的bK-d+1即為最小漏檢數(shù)d所對應(yīng)的臨界特征值bK-d+1,CRT。將bK-d+2，bK-d+3…bK視為常數(shù)，式(21)左側(cè)對bK-d+1求導(dǎo)有

(22)

因?yàn)閎K-d+1>bi,i≥K-d+2，所以有

(23)

式(22)在bK-d+1的取值區(qū)間內(nèi)大于零，因此式(21)的左式隨bK-d+1單調(diào)遞增，可求出其唯一解bK-d+1,CRT。臨界特征值bK-d+1,CRT除與快拍數(shù)T，信源數(shù)量K及陣元數(shù)量N有關(guān)外，還與bK-d+2…bK等d-1個特征值與噪聲功率之比有關(guān)。臨界特征值bK-d+1,CRT越小，算法對噪聲的抗性越好。

2.3 欠估計概率分析

(24)

即不發(fā)生相位反轉(zhuǎn)的條件下服從以下正態(tài)分布：

(26)

根據(jù)式(16)中左式的單調(diào)遞增特性，其成立的概率等價于

(27)

臨界特征值bK,CRT僅與陣列參數(shù)有關(guān)，因此可根據(jù)正態(tài)分布累積分布函數(shù)直接求得信源數(shù)欠估計概率隨信噪比的變化。同理，式(21)成立的概率為

(28)

值得注意的是，臨界特征值bK-d+1,CRT不僅取決于陣列參數(shù)，還和bK-d+2…bK之和有關(guān)。為便于計算，本文中假設(shè)僅考慮信噪比對bK-d+2…bK期望值的影響，忽略其隨機(jī)誤差。根據(jù)式(26)可以得知，在快拍數(shù)較大的情況下，這一假設(shè)將具有較好的近似性。

3 基于臨界特征值的算法性能分析

上文中提到快拍數(shù)T，陣元數(shù)量N和信源數(shù)量K等參數(shù)對MDL信源數(shù)估計算法的性能存在明顯影響，本節(jié)將基于臨界特征值理論對算法性能的影響因素進(jìn)行研究。

3.1 最小漏檢數(shù)為1時的算法性能分析

首先對估計信源數(shù)K′≤K-1，即算法存在欠估計的情況進(jìn)行研究。對于快拍數(shù)量T，根據(jù)式(16)可知，由于lnT/T項(xiàng)的存在，當(dāng)快拍數(shù)T增大時臨界特征值bK,CRT將逐漸變小，算法性能得到改善。當(dāng)快拍數(shù)T無

限大時， 臨界特征值bK,CRT等于1。由于bK>1，此時算法將不存在欠估計現(xiàn)象，可正確估計信號源的真實(shí)數(shù)量。然而，實(shí)際應(yīng)用中快拍數(shù)不可能無限大，為控制算法發(fā)生欠估計的概率，可基于臨界特征值方法計算得到所需的最小采樣快拍數(shù)。

對于信源數(shù)量K和陣元數(shù)量N，從式(16)中可以看出，當(dāng)其他參數(shù)保持不變，N-K為相同值時，所求得的臨界特征值bK,CRT理應(yīng)相同，直觀上兩者對算法性能應(yīng)具有相反影響。然而，陣元數(shù)量N與相關(guān)矩陣R的跡呈線性正相關(guān)，N增加時R的特征值也會增加，因此在分析陣元數(shù)量N的影響時需對臨界特征值bK,CRT進(jìn)行歸一化處理。信源數(shù)量K與R的跡同樣具有正相關(guān)性，但并非線性相關(guān)，具體與陣元數(shù)量N和信噪比有關(guān)，無法簡單的對其進(jìn)行歸一化處理；并且在實(shí)際應(yīng)用中，信源數(shù)量K的增加可能使信號具有相近的子空間，使相關(guān)矩陣特征值發(fā)生變化，因此本文僅針對快拍數(shù)量T和陣元數(shù)量N對算法性能的影響進(jìn)行討論。圖1為不同信源數(shù)量K下，快拍數(shù)T和陣元數(shù)量N對歸一化臨界特征值的影響，經(jīng)過歸一化處理的bK,CRT隨著快拍數(shù)T和陣元數(shù)量N的增加而降低，預(yù)示著算法性能的提高。隨著快拍數(shù)T的增加，提高快拍數(shù)所帶來的邊際效益有所下降，這是由于lnT/T項(xiàng)的減小速率變緩導(dǎo)致的。

圖1 歸一化臨界特征值bK,CRT隨快拍數(shù)和陣元數(shù)量的變化Fig.1 The variation of normalized bK,CRT with the number of snapshots and array elements

3.2 多漏檢數(shù)下的算法性能分析

當(dāng)最小漏檢數(shù)d>1時，由式(21)可以得知，臨界特征值bK-d+1,CRT除受到快拍數(shù)T，陣元數(shù)量N和信源數(shù)量K的影響以外，還與bK-d+2…bK等d-1個特征值與噪聲功率的比值有關(guān)。為表述方便，在對臨界特征值bK-d+1,CRT進(jìn)行分析時，假設(shè)bK-d+2…bK的取值分別為其對應(yīng)的臨界特征值bK-d+2,CRT…bK,CRT，在這一假設(shè)下研究各項(xiàng)參數(shù)對算法性能的影響。

圖2為最小漏檢數(shù)d=2時，不同信源數(shù)量K下歸一化的臨界特征值bK-d+1,CRT隨快拍數(shù)T和陣元數(shù)量N的變化。與最小漏檢數(shù)為1的情況類似，歸一化的bK-1,CRT隨著快拍數(shù)T和陣元數(shù)量N的增加而降低，算法性能相應(yīng)提高。當(dāng)最小漏檢數(shù)d為其他值時，對應(yīng)的歸一化臨界特征值bK-d+1,CRT同樣具有類似規(guī)律，本文中不再逐一列出。

圖3為信源數(shù)量K=6時，不同快拍數(shù)T以及陣元數(shù)量N下歸一化臨界特征值隨最小漏檢數(shù)d的變化，可以看到歸一化的bK-d+1,CRT隨d的增加而上升，符合bi的降序排列規(guī)律。當(dāng)快拍數(shù)T和陣元數(shù)量N增加時，歸一化的臨界特征值bK-d+1,CRT具有更低的取值，與上文結(jié)論相符。值得注意的是，隨著上述參數(shù)的增加，曲線的斜率將變得平緩，表明漏檢數(shù)d對bK-d+1,CRT的影響變?nèi)酢?/p>

圖2 歸一化臨界特征值bK-1,CRT隨快拍數(shù)和陣元數(shù)量的變化Fig.2 The variation of normalized bK-1,CRT with the number of snapshots and array elements

圖3 不同快拍數(shù)及陣元數(shù)下歸一化的bK-d+1,CRT隨d的變化Fig.3 The variation of normalized bK-d+1,CRTwith d under different numbers of snapshots and array elements

4 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

(29)

由于臨界特征值在評價算法性能時不夠直觀，將式(29)代入式(16)和式(21)中可求得信源估計數(shù)小于K-d時的信噪比臨界值，記為SNRK-d,CRT，可作為評價算法性能的有效指標(biāo)。PC表示信源數(shù)的正確估計概率，E(K′)表示信源數(shù)估計結(jié)果的期望值，所有的仿真結(jié)果均基于5 000次的蒙特卡洛模擬獲得。

4.1 最小漏檢數(shù)為1的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖4 不同快拍數(shù)下PC隨SNR的變化Fig.4 The variation of PC with SNR for different values of snapshots

圖5 不同陣元數(shù)量下PC隨SNR的變化Fig.5 The variation of PC with SNR for different numbers of array elements

圖5為不同陣元數(shù)N下算法的信源數(shù)正確估計概率PC隨信噪比SNR的變化曲線，實(shí)驗(yàn)參數(shù)為θ={-3°， 3°}，K=2，N=[14，16，18，20]，T=1 000。本文所提出的基于臨界特征值的分析方法和參照方法均能有效預(yù)測算法的欠估計邊界。本文方法與參照方法在不同的陣元數(shù)量下的預(yù)測精度互有優(yōu)劣，與兩者采用的樣本特征值分布模型有關(guān)。與圖4相似，隨著陣元數(shù)量N的增加，欠估計邊界所對應(yīng)的信噪比呈下降趨勢，表明算法具有更好的性能，與上文分析相符。

4.2 多漏檢數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為研究算法在不同漏檢數(shù)下信源數(shù)欠估計程度隨信噪比的變化，本文采用信源數(shù)估計結(jié)果的期望值E(K′)代替正確估計概率PC對算法性能進(jìn)行分析，可同時描述不同漏檢數(shù)下算法的欠估計邊界。由于式(21)兩側(cè)均包含bi項(xiàng)，其取值與信噪比相關(guān)，在計算bK-d+1,CRT和SNRK-d,CRT時需將式(29)代入式(21)兩側(cè)進(jìn)行復(fù)雜求解。為簡化計算，假設(shè)式(21)右側(cè)的bi近似等于其所對應(yīng)的臨界特征值bi,CRT，則可通過簡單遞推計算得到臨界特征值bK-d+1,CRT。記基于該近似方法計算得到的信噪比臨界值為SNRK-d,CRT,C，其與精確求解所得到的臨界信噪比SNRK-d,CRT之間的差值記為

ΔSNRK-d,CRT=SNRK-d,CRT,C-SNRK-d,CRT

(30)

ΔSNRK-d,CRT越小，近似所產(chǎn)生的誤差就越小。

仿真實(shí)驗(yàn)中，本文分別基于所提出的精確方法及近似方法對算法的信源數(shù)估計結(jié)果進(jìn)行預(yù)測。圖6為不同快拍數(shù)T下估計信源數(shù)期望E(K′)隨信噪比SNR的變化，實(shí)驗(yàn)參數(shù)為θ={-7°，-4°，0°，4°，7°}，K=5，N=11，T=[500，1 000，5 000，10 000]?？梢钥吹奖疚乃岢龅姆椒軌驕?zhǔn)確預(yù)測不同漏檢數(shù)下算法的信源數(shù)欠估計邊界，驗(yàn)證了本文方法的有效性。近似方法同樣能夠反映算法的欠估計程度隨信噪比的變化，但在d>1時與仿真結(jié)果存在一定的偏移誤差?；趫D6的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，表1為不同最小漏檢數(shù)d和快拍數(shù)T下臨界信噪比近似誤差ΔSNRK-d,CRT的值。該值隨著最小漏檢數(shù)d的增加而增加，這是由于bi與bi,CRT之間的誤差累積所致。隨著快拍數(shù)T的增加，同一最小漏檢數(shù)d下的ΔSNRK-d,CRT呈變小趨勢，與圖3所描述的規(guī)律相符，驗(yàn)證了臨界特征值分析方法的有效性。

圖6 不同快拍數(shù)下E(K′)隨SNR的變化Fig.6 The variation of E(K′) with SNR for different values of snapshots

圖7為不同陣元數(shù)量N下估計信源數(shù)期望E(K′)隨信噪比SNR的變化曲線，實(shí)驗(yàn)參數(shù)為θ={-7°，-4°，0°，4°，7°}，K=5，N=[8，9，10，11]，T=1 000。與圖6類似，本文提出的方法能夠準(zhǔn)確預(yù)測不同漏檢數(shù)下算法的信源數(shù)欠估計邊界，近似方法在最小漏檢數(shù)d>1時與仿真結(jié)果之間存在偏移誤差。表2中列出了基于圖7實(shí)驗(yàn)參數(shù)，在不同最小漏檢數(shù)d和陣元數(shù)量N下ΔSNRK-d,CRT的值。該值同樣隨著最小漏檢數(shù)d的增加而變大，同一d值下近似誤差ΔSNRK-d,CRT隨陣元數(shù)的增加逐漸變小，與圖3所描述的規(guī)律相符。因此，在陣元數(shù)量N和快拍數(shù)T較大時，對于較小漏檢數(shù)，可用近似方法對算法性能進(jìn)行分析以簡化計算；其他條件下則需對臨界特征值bK-d+1,CRT進(jìn)行精確求解以準(zhǔn)確預(yù)測算法的信源數(shù)估計結(jié)果。

圖7 不同陣元數(shù)量下E(K′)隨SNR的變化Fig.6 The variation of E(K′) with SNR for different numbers of array elements

ΔSNRK-d,CRT/dBd=2d=3d=4T=5000.8021.4231.852T=10000.7281.2851.664T=50000.6281.0981.411T=100000.6031.0521.349

表2 ΔSNRK-d,CRT隨最小漏檢數(shù)d和陣元數(shù)量N的變化

5 結(jié) 論

本文通過對MDL準(zhǔn)則下的信源數(shù)估計算法進(jìn)行研究，提出了一種基于臨界特征值的信源數(shù)欠估計分析方法，指出相關(guān)矩陣的特征值與噪聲功率之比是描述欠估計條件的有效指標(biāo)，并給出了臨界特征值的求解方法及唯一性證明。結(jié)合隨機(jī)矩陣?yán)碚?，該方法可?zhǔn)確預(yù)測不同漏檢數(shù)下算法的欠估計邊界，并分析陣列參數(shù)對算法性能的影響。為降低大漏檢數(shù)下臨界特征值的求解復(fù)雜度，提出了一種基于遞推求解的近似分析方法，在快拍數(shù)和陣元數(shù)量較大時對于小漏檢數(shù)欠估計邊界具有較好的近似預(yù)測效果。仿真實(shí)驗(yàn)與理論分析結(jié)果相符，驗(yàn)證了臨界特征值方法的有效性和準(zhǔn)確性。該方法可應(yīng)用于多種基于信息論的信源數(shù)估計算法，具有廣泛的適用性，為相關(guān)算法的研究和陣列設(shè)計提供了參考依據(jù)。

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Underestimation analysis for MDL source enumeration based on critical eigenvalues

DU Fei, LI Yibo, JIN Shijiu, ZENG Zhoumo

(State Key Laboratory of Precision Measurement Technology and Instruments, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

A method based on critical eigenvalues was proposed to evaluate the underestimation problem of source enumeration under the minimum description length (MDL) criterion. The uniqueness of critical eigenvalues was proved and their solution expression was presented with the analysis of the enumeration algorithm. It was shown that the critical eigenvalue method can predict the boundary of underestimation for different numbers of undetected sources and evaluate the influences of array parameters on the performance of source enumeration, compared with the existing methods. An approximation method was proposed to reduce the calculation complexity of solving critical eigenvalues under the condition of large numbers of undetected sources and the factors affecting the approximation errors were also analyzed. Simulation results indicated that the critical eigenvalue method can exactly describe the boundary of underestimation of source enumeration. The results provided a new analysis tool for other source enumeration methods based on information criteria.

minimum description length (MDL) criterion; source enumeration; underestimation; array signal processing

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金(61304244；61201039)；國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室成果培育項(xiàng)目；天津市自然科學(xué)基金(13JCYBJC18000)

2015-05-05 修改稿收到日期：2015-10-28

杜非 男，博士生，1986年生

靳世久 男，教授，博士生導(dǎo)師，1946年生

TH76；TN95

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.017