基于Duffing振子的信號(hào)頻譜重構(gòu)隨機(jī)共振研究

賴志慧, 饒錫新, 劉建勝, 冷永剛

(1. 南昌大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，南昌 330031； 2. 天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

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基于Duffing振子的信號(hào)頻譜重構(gòu)隨機(jī)共振研究

賴志慧1,2, 饒錫新1, 劉建勝1, 冷永剛2

(1. 南昌大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，南昌 330031； 2. 天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

針對(duì)信號(hào)特征頻率和采樣頻率所要求的匹配關(guān)系對(duì)Duffing振子變尺度隨機(jī)共振的限制，研究一種頻譜重構(gòu)的信號(hào)預(yù)處理方法，并進(jìn)一步提出基于Duffing振子的信號(hào)頻譜重構(gòu)隨機(jī)共振方法。該方法通過(guò)引入頻譜重構(gòu)參數(shù)實(shí)現(xiàn)信號(hào)特征頻率的靈活轉(zhuǎn)化，與變尺度方法和阻尼比參數(shù)調(diào)節(jié)方法相結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)任意信號(hào)特征頻率和采樣頻率下的Duffing系統(tǒng)的大參數(shù)隨機(jī)共振，從而擴(kuò)展其在微弱信號(hào)處理中的應(yīng)用。數(shù)值仿真和故障診斷實(shí)例分析均驗(yàn)證了該方法的有效性。

Duffing振子；隨機(jī)共振；頻譜重構(gòu)；變尺度；故障診斷

隨機(jī)共振是1981年BENZI等[1-3]首次提出的，用以解釋過(guò)去70萬(wàn)年間地球冰川期和暖氣候期交替出現(xiàn)的現(xiàn)象。隨后，F(xiàn)AUVE等[4-5]分別在Schimitt觸發(fā)器和雙穩(wěn)態(tài)環(huán)形激光器實(shí)驗(yàn)中觀測(cè)到隨機(jī)共振現(xiàn)象，驗(yàn)證了隨機(jī)共振的存在。從此以后，這一非線性現(xiàn)象得到廣泛而深入的研究[6]。

隨機(jī)共振發(fā)生的三個(gè)基本要素是非線性系統(tǒng)、微弱信號(hào)和噪聲[7]。它利用非線性系統(tǒng)，在輸入信號(hào)和噪聲的協(xié)同作用下，系統(tǒng)輸出的信噪比將會(huì)在某一噪聲強(qiáng)度時(shí)出現(xiàn)峰值，產(chǎn)生類似力學(xué)中人們熟知的共振輸出現(xiàn)象，故稱為隨機(jī)共振。隨機(jī)共振發(fā)生時(shí)，一部分噪聲能量轉(zhuǎn)移到信號(hào)身上，使原本微弱的信號(hào)強(qiáng)度大大增強(qiáng)，因此隨機(jī)共振模型被廣泛應(yīng)用于微弱信號(hào)檢測(cè)中，取得了豐富的研究成果[8-12]。

近十幾年的研究表明，隨機(jī)共振現(xiàn)象不僅發(fā)生在雙穩(wěn)系統(tǒng)[13]中，在單穩(wěn)系統(tǒng)[14]、三穩(wěn)系統(tǒng)[15]、混沌系統(tǒng)[16]、時(shí)延系統(tǒng)[17]中隨機(jī)共振現(xiàn)象同樣可能發(fā)生，這些研究極大地豐富了隨機(jī)共振的理論。由微弱信號(hào)和噪聲共同驅(qū)動(dòng)的Duffing系統(tǒng)是一種能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振的非線性模型[18-22]。與經(jīng)典的一維Langevin方程的隨機(jī)共振模型相比，二維Duffing系統(tǒng)同樣是一個(gè)雙穩(wěn)系統(tǒng)，而模型中可調(diào)的阻尼比又增強(qiáng)了系統(tǒng)對(duì)不同噪聲強(qiáng)度信號(hào)的適應(yīng)能力[23]。但Duffing振子的隨機(jī)共振受限于嚴(yán)格的小參數(shù)條件[24]，這大大限制了其在微弱信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[25]建立基于Duffing振子隨機(jī)共振的微弱信號(hào)檢測(cè)模型，提出線性幅值變換、變尺度、參數(shù)調(diào)節(jié)等方法，分別實(shí)現(xiàn)Duffing振子在大幅值、大頻率、大噪聲強(qiáng)度信號(hào)輸入條件下的隨機(jī)共振，擴(kuò)展其在實(shí)際工程中的應(yīng)用范圍。其中，通過(guò)對(duì)待測(cè)信號(hào)進(jìn)行時(shí)間尺度變換，可實(shí)現(xiàn)大頻率信號(hào)的隨機(jī)共振。但該方法不僅要求尺度變換后的特征信號(hào)頻率滿足合適的小參數(shù)范圍，而且要求采樣頻率與特征信號(hào)頻率之間保持一個(gè)合適的比例關(guān)系。在實(shí)際工程的信號(hào)采集過(guò)程中，針對(duì)可能的特征信號(hào)頻率特意設(shè)置采樣頻率不僅是繁瑣的，甚至可能是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，這就限制了基于Duffing振子的變尺度隨機(jī)共振方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

本文提出基于Duffing振子的頻譜重構(gòu)信號(hào)隨機(jī)共振方法，通過(guò)對(duì)特征信號(hào)進(jìn)行頻譜重構(gòu)，使變換后的信號(hào)特征頻率與采樣頻率相匹配，Duffing系統(tǒng)輸出實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振，從而將頻譜重構(gòu)后的特征信號(hào)頻率檢測(cè)出來(lái)，實(shí)現(xiàn)微弱待測(cè)信號(hào)的頻率特征提取。研究表明，本文所提出的方法與變尺度方法相結(jié)合，能夠在同一采樣頻率下實(shí)現(xiàn)不同頻率特征信號(hào)乃至復(fù)合頻率信號(hào)的隨機(jī)共振檢測(cè)，從而克服采樣頻率的設(shè)置困難；同時(shí)，該方法與阻尼比參數(shù)調(diào)節(jié)等方法相結(jié)合可以實(shí)現(xiàn)大參數(shù)信號(hào)的隨機(jī)共振檢測(cè)。實(shí)例分析驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

1 Duffing振子的隨機(jī)共振

1.1 基本理論

Duffing振子的隨機(jī)共振模型如式(1)所示：

當(dāng)sn(t)=0時(shí)，Duffing系統(tǒng)(1)的勢(shì)函數(shù)

(2)

V(x)=U(x)-xAcos(2πf0t+φ)=

(3)

圖1 Duffing系統(tǒng)的雙穩(wěn)勢(shì)函數(shù)U(x)、周期特征信號(hào)調(diào)制的勢(shì)函數(shù)V(x)及Brownian粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，其中a=b=1，A=0.3。當(dāng)噪聲存在時(shí)，Brownian粒子將有可能越過(guò)勢(shì)壘。Fig.1 Bistable potential function of the Duffing system without driving force (solid line) and potential changes with driving force (dotted line) when a=b=1, A=0.3. Switching events may take place in the presence of noise as indicated by the arrow

1.2 Duffing振子的大參數(shù)隨機(jī)共振

Duffing振子隨機(jī)共振對(duì)微弱特征信號(hào)的增強(qiáng)特性使其成為一種潛在的微弱信號(hào)檢測(cè)模型，用于實(shí)現(xiàn)強(qiáng)背景噪聲下的微弱特征信號(hào)檢測(cè)。其應(yīng)用的最大困難在于Duffing振子的隨機(jī)共振受到絕熱近似理論嚴(yán)格的小參數(shù)限制，即要求方程(1)中A

所謂變尺度，是指改變待測(cè)信號(hào)的頻率/時(shí)間尺度，即在不改變離散數(shù)值的情況下，對(duì)信號(hào)的頻率/時(shí)間尺度進(jìn)行壓縮或放大。對(duì)于一組以采樣頻率fs采集的含有大頻率f0成分的待測(cè)信號(hào)sn(t)，將它輸入方程(1)所示的Duffing系統(tǒng)。引入變尺度系數(shù)R，以計(jì)算步長(zhǎng)h=R/fs對(duì)方程進(jìn)行數(shù)值求解，則待測(cè)信號(hào)尺度變換為sn(t′)，其特征信號(hào)頻率變?yōu)閒0′=f0/R，變尺度采樣頻率fs′=fs/R。當(dāng)R取值合適時(shí)，就相當(dāng)于通過(guò)變尺度系數(shù)R將大頻率參數(shù)f0尺度變換為小頻率參數(shù)f0′。當(dāng)其他參數(shù)條件合適時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)共振，從輸出響應(yīng)識(shí)別出頻率f0′，最后通過(guò)尺度反變換即可得到原信號(hào)的特征頻率f0=R·f0′。

可以看出，該方法的本質(zhì)是將一個(gè)大頻率信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)符合絕熱近似條件的小頻率信號(hào)，以利于隨機(jī)共振的產(chǎn)生，從而進(jìn)行特征信號(hào)的頻率提取。將Duffing方程(1)在時(shí)間尺度t′意義下重寫為

(4)

式中：t′=Rt，sn(t′)和x(t′)就是時(shí)間尺度t′下的系統(tǒng)輸入和輸出信號(hào)。方程(4)就是二維Duffing振子的變尺度隨機(jī)共振方程，它能夠通過(guò)頻率/時(shí)間尺度變換實(shí)現(xiàn)大頻率信號(hào)的隨機(jī)共振。

2 Duffing振子的信號(hào)頻譜重構(gòu)隨機(jī)共振

Duffing振子的變尺度隨機(jī)共振方法大大擴(kuò)展了Duffing振子在實(shí)際工程微弱信號(hào)檢測(cè)中的應(yīng)用。但該方法不僅要求變尺度后的信號(hào)頻率f0′=f0/R滿足合適的小參數(shù)條件，變尺度采樣頻率fs′=fs/R還須同時(shí)滿足數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性條件(fs′不能太小)和頻率分辨力的要求(fs′不能太大)，即fs′也存在一定的取值范圍。因此實(shí)測(cè)信號(hào)的采樣頻率fs與特征信號(hào)頻率f0之間就必須滿足合適的比例關(guān)系，如文獻(xiàn)[25]中f0=0.01 Hz，fs=5 Hz和f0=40 Hz，fs=20 000 Hz兩組參數(shù)，fs/f0保持了一個(gè)500倍的比例關(guān)系。如果該比例關(guān)系不合適，就無(wú)法將f0和fs同時(shí)壓縮至合適的數(shù)值范圍內(nèi)，也就無(wú)法實(shí)現(xiàn)大頻率信號(hào)的隨機(jī)共振。

基于這個(gè)原因，在實(shí)際工程應(yīng)用中，就需要根據(jù)可能的特征信號(hào)頻率設(shè)置合適的采樣頻率進(jìn)行工程信號(hào)采集。這樣存在的問(wèn)題是：首先，對(duì)特征信號(hào)頻率的估計(jì)往往是粗略的，因此采樣頻率的設(shè)置也就無(wú)法絕對(duì)精準(zhǔn)；其次，由于采樣頻率在信號(hào)采樣完成后無(wú)法更改，該方法不適用于已有信號(hào)的微弱信號(hào)檢測(cè)；再次，如果待測(cè)信號(hào)中有多個(gè)頻率成分需要檢測(cè)，需針對(duì)每一個(gè)頻率成分都設(shè)置一個(gè)相應(yīng)的采樣頻率進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，是非常繁瑣且不經(jīng)濟(jì)的。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種頻譜重構(gòu)的信號(hào)處理方法，并與變尺度方法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)Duffing振子在任意頻率信號(hào)條件下的隨機(jī)共振，最終識(shí)別出微弱特征信號(hào)。

2.1 信號(hào)的頻譜重構(gòu)方法

sn(t)=s(t)+n(t)=

(5)

對(duì)其進(jìn)行頻譜重構(gòu)的過(guò)程如圖2所示。

圖2 信號(hào)的頻譜重構(gòu)過(guò)程
Fig.2 The reconstruction of signal spectrum

在實(shí)際工程信號(hào)的頻譜重構(gòu)過(guò)程中，需先用采樣頻率fs對(duì)連續(xù)信號(hào)s(t)進(jìn)行離散采樣，得到含有N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的離散信號(hào)s(n)(n=1,2,…,N)。接下來(lái)，首先對(duì)sn(n)進(jìn)行FFT變換，得到其離散頻譜sn(f)；其次，對(duì)sn(f)進(jìn)行頻譜重構(gòu)，得到重構(gòu)后的離散信號(hào)頻譜sn′(f)；最后，對(duì)sn′(f)進(jìn)行IFFT變換，得到頻譜重構(gòu)后的信號(hào)sn′(n)。其中，頻譜重構(gòu)的含義說(shuō)明如下：

圖3 信號(hào)的頻譜重構(gòu)示意圖，相應(yīng)參數(shù)fs=100 Hz，A=0.1，f0=20 Hz，φ=20，D=0.1，Δf=18 Hz， N=2 000Fig.3. The diagram of signal spectrum-reconstruction; the corresponding parameters are fs=100 Hz, A=0.1,f0=20 Hz, φ=20, D=0.1, Δf=18 Hz, N=2 000

對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行重構(gòu)的過(guò)程中，我們保留了離散頻譜的所有信息，而只是對(duì)其位置進(jìn)行了重排，并通過(guò)線性的FFT變換和IFFT變換進(jìn)行轉(zhuǎn)換。顯然，將sn(n)頻譜重構(gòu)為sn′(n)，我們只改變了疊加的周期信號(hào)的頻率參數(shù)，而幅值、相位等信息都沒(méi)有發(fā)生變化。

2.2 頻譜重構(gòu)信號(hào)的隨機(jī)共振

(6)

(7)

系統(tǒng)輸出特征信號(hào)幅值A(chǔ)m表征了輸出特征信號(hào)的絕對(duì)強(qiáng)度，輸出信噪比SNR則表征了輸出特征信號(hào)的可識(shí)別能力，二者隨噪聲強(qiáng)度D的變化均呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，這是典型的隨機(jī)共振特點(diǎn)。這說(shuō)明，信號(hào)頻率f0不合適的待測(cè)信號(hào)，經(jīng)過(guò)頻譜重構(gòu)后輸入Duffing系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出能夠?qū)崿F(xiàn)隨機(jī)共振。圖4中兩曲線均在D=0.26時(shí)取得極大值，說(shuō)明D=0.26是該組參數(shù)條件下Duffing系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振所需的最優(yōu)噪聲強(qiáng)度。D=0.26時(shí)，輸入信號(hào)的波形和頻譜、頻譜重構(gòu)前后輸出信號(hào)的波形和頻譜如圖5所示。

圖4 Duffing系統(tǒng)輸出信號(hào)的信號(hào)幅值A(chǔ)m與信噪比SNR隨噪聲強(qiáng)度的變化規(guī)律Fig.4 Response curve of the Duffing system output signal amplitude and SNR against noise intensity

圖5 頻譜重構(gòu)信號(hào)的隨機(jī)共振Fig.5 SR for spectrum-reconstructed signal

3 討 論

信號(hào)的頻譜重構(gòu)方法能夠調(diào)整輸入信號(hào)中特征信號(hào)的頻率，使其與采樣頻率相匹配，實(shí)現(xiàn)Duffing系統(tǒng)的隨機(jī)共振。因此，頻譜重構(gòu)信號(hào)的隨機(jī)共振方法克服了傳統(tǒng)隨機(jī)共振方法用于微弱信號(hào)檢測(cè)時(shí)采樣頻率的設(shè)置困難。為進(jìn)一步擴(kuò)展其應(yīng)用范圍，本節(jié)進(jìn)行進(jìn)一步討論分析。

3.1 頻譜重構(gòu)信號(hào)的變尺度隨機(jī)共振

結(jié)合變尺度方法，可以將待測(cè)信號(hào)的特征信號(hào)頻率f0和采樣頻率fs擴(kuò)展到更大的范圍內(nèi)。首先考慮同一采樣頻率下不同特征頻率信號(hào)的隨機(jī)共振問(wèn)題。令

sn(t)=A1cos(2πf1t+φ1)+A2cos(2πf2t+φ2)+

(8)

表示一個(gè)含三個(gè)頻率成分(f1，f2和f3)的特征信號(hào)與噪聲的混合信號(hào)，其中A1=A2=A3=0.1，f1=400 Hz，f2=2 000 Hz，f3=4 000 Hz，φ1=0，φ2=40°，φ3=120°，D=0.26，信號(hào)采樣頻率fs=20 000 Hz，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N=20 000。該信號(hào)頻譜如圖6(a)所示。將其輸入Duffing系統(tǒng)(6)，設(shè)k=0.5，a=b=1。顯然，由于信號(hào)特征頻率由于f1、f2和f3均遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出絕熱近似要求的小頻率參數(shù)條件，系統(tǒng)輸出將無(wú)法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振。對(duì)于大頻率參數(shù)的情況，通常采用變尺度方法進(jìn)行處理。但是，該組信號(hào)特征頻率f1、f2和f3與采樣頻率fs的比例關(guān)系均不合適，無(wú)法直接通過(guò)尺度變換將二者壓縮至合適的參數(shù)范圍內(nèi)，因此，在對(duì)待測(cè)信號(hào)進(jìn)行尺度變換之前，我們考慮進(jìn)行頻譜重構(gòu)。

圖6(b)～(d)的結(jié)果表明，系統(tǒng)輸出在不同重構(gòu)參數(shù)條件下均實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振，高頻噪聲能量向低頻信號(hào)轉(zhuǎn)移，從而在頻譜重構(gòu)后的低頻特征信號(hào)頻率f=0.01 Hz處出現(xiàn)明顯峰值。這一結(jié)果有兩層意義。首先，在相同的采樣頻率下，不同特征頻率的信號(hào)可以通過(guò)設(shè)置不同的頻譜重構(gòu)參數(shù)，結(jié)合變尺度方法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振。其次，取不同的頻譜重構(gòu)參數(shù)，將特定的頻率成分變換為與采樣頻率相匹配，并結(jié)合變尺度方法，可以實(shí)現(xiàn)復(fù)合頻率信號(hào)的隨機(jī)共振。

圖6 頻譜重構(gòu)信號(hào)的變尺度隨機(jī)共振Fig.6 Scale-transformation SR for spectrum-reconstructed signal

因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，我們無(wú)需再針對(duì)特定頻率的信號(hào)設(shè)置采樣頻率，而可以通過(guò)頻譜重構(gòu)信號(hào)的變尺度隨機(jī)共振方法，實(shí)現(xiàn)待測(cè)信號(hào)的隨機(jī)共振，并最終將微弱特征信號(hào)檢測(cè)出來(lái)。

3.2 頻譜重構(gòu)信號(hào)的大參數(shù)隨機(jī)共振

圖7 不同采樣頻率下同一信號(hào)的頻譜重構(gòu)變尺度隨機(jī)共振Fig.7 The spectrum-reconstruction and scale-transformation SR for a signal under different sampling frequencies

不考慮大幅值情況。在Duffing方程(6)中，取信號(hào)參數(shù)A=0.1，f0=2 000 Hz，φ=0，D=5，fs=20 000 Hz。信號(hào)點(diǎn)數(shù)N=5 000，對(duì)4 096點(diǎn)進(jìn)行十次譜平均計(jì)算，得到輸入信號(hào)的波形和頻譜，如圖8(a)和(b)所示。從中可以看出，由于噪聲強(qiáng)度太大，從輸入信號(hào)頻譜圖8(b)無(wú)法識(shí)別出f=2 000 Hz的特征信號(hào)譜峰，特征信號(hào)淹沒(méi)于強(qiáng)背景噪聲中無(wú)法提取。如果直接將該待測(cè)信號(hào)輸入Duffing方程(6)，由于f0=2 000 Hz和D=5均遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出絕熱近似要求的小參數(shù)條件，系統(tǒng)輸出將無(wú)法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)共振。為了在該參數(shù)條件下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振輸出，對(duì)于大噪聲情況，可以對(duì)阻尼比k進(jìn)行調(diào)節(jié)；對(duì)于大信號(hào)頻率情況，則采用頻譜重構(gòu)信號(hào)的變尺度隨機(jī)共振方法。

圖8 頻譜重構(gòu)信號(hào)的大參數(shù)隨機(jī)共振Fig.8 Large-parameter SR for spectrum-reconstructed signal

從系統(tǒng)輸出頻譜圖8(d)可以觀察到明顯的譜峰，其頻率f′=0.01 Hz，經(jīng)過(guò)變尺度和頻譜重構(gòu)的反變換，得到f=f′·R+Δf=2 000 Hz，正是原時(shí)間尺度下待測(cè)信號(hào)中特征信號(hào)的頻率。這樣，我們就將淹沒(méi)于強(qiáng)背景噪聲下的微弱特征信號(hào)提取出來(lái)。這說(shuō)明，將頻譜重構(gòu)方法與變尺度和阻尼比參數(shù)調(diào)節(jié)方法相結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)大參數(shù)條件下Duffing系統(tǒng)的隨機(jī)共振，從而實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)檢測(cè)。

4 實(shí)例分析

實(shí)驗(yàn)在圖9所示的滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行，轉(zhuǎn)軸直徑為φ12 mm，其幾何中心偏離旋轉(zhuǎn)軸線0.38 mm，滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在彎曲不平衡故障。為了模擬微弱故障狀態(tài)，在遠(yuǎn)離軸承基座0.5 m的實(shí)驗(yàn)臺(tái)面上布置了一個(gè)加速度傳感器，這樣軸彎曲故障振動(dòng)信號(hào)強(qiáng)度通過(guò)軸承和實(shí)驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)得到進(jìn)一步衰減，傳感器可采集到模擬微弱故障的振動(dòng)信號(hào)。根據(jù)故障機(jī)理，具有軸彎曲故障的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)中含有明顯的基頻信號(hào)，同時(shí)常伴有二倍頻或高次諧波成分。

圖9 滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子軸彎曲故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)示意圖Fig.9 Sliding-bearing experimental table for shaft-bending fault experiments

圖10 轉(zhuǎn)子軸彎曲故障振動(dòng)信號(hào)Fig.10 Vibration signal of shaft-bending fault

圖11 Δf=18 Hz，k=13.9，a=b=1，R=1 000時(shí)，Duffing系統(tǒng)的輸出頻譜Fig.11 The output spectrums of Duffing systemwhen Δf=18 Hz, k=13.9, a=b=1 and R=1 000

從圖11中可以看出頻率f0=27.77 Hz的信號(hào)譜峰，遠(yuǎn)大于其他信號(hào)成分，是故障信號(hào)的基頻特征。這意味著滑動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)存在著軸彎曲故障或不對(duì)中故障，二者的最大區(qū)別在于軸彎曲故障的信號(hào)頻譜中存在著二倍頻及高次諧波成分，但我們無(wú)法從圖11進(jìn)行判斷。為了判斷待測(cè)信號(hào)中是否存在基頻信號(hào)的高次諧波成分，我們進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)。為了使經(jīng)過(guò)頻譜重構(gòu)和尺度變換后的m次諧波信號(hào)頻率(mf0-Δf)/R滿足小參數(shù)條件，我們須在圖11的基礎(chǔ)上增大Δf、減小R。當(dāng)Δf=25 Hz，R=1 500，同時(shí)調(diào)節(jié)Duffing系統(tǒng)(6)中參數(shù)k=1.7，a=b=1時(shí)，系統(tǒng)輸出信號(hào)頻譜如圖12所示，從中可以看出明顯的基頻、二倍頻及高次諧波成分。這樣，我們就能夠判斷出該滑動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)存在轉(zhuǎn)子軸彎曲故障，從而實(shí)現(xiàn)故障診斷。

圖12 Δf=25 Hz，k=1.7，a=b=1，R=1 500時(shí)，Duffing系統(tǒng)的輸出頻譜Fig.12. The output spectrums of Duffing system when Δf=25 Hz, k=1.7, a=b=1 and R=1 500

5 結(jié) 論

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Signal spectrum reconstruction stochastic resonance method based on a Duffing oscillator

LAI Zhihui1,2, RAO Xixin1, LIU Jiansheng1, LENG Yonggang2

(1. School of Mechatronical & Electrical Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China；2. School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

The matching relation between signal characteristic frequency and sampling frequency has a restriction on the scale-varying stochastic resonance (SR) of a Duffing oscillator. Therefore, a signal pre-processing approach based on spectrum reconstruction was studied here, and a signal spectrum reconstruction SR method based on a Duffing oscillator was further proposed. This method introduced spectrum reconstruction parameters to realize the flexible varying of signal characteristic frequency. When combined with the scale varying and damping-ratio-adjustment methods, this method realized the large parametric SR of a Duffing system under any signal characteristic frequency and sampling frequency, thus its application in weak-signal detection was extended. Both numerical simulation and fault diagnosis example analysis verified the effectiveness of the proposed method.

Duffing oscillator; stochastic resonance; spectrum reconstruction; scale varying; fault diagnosis

國(guó)家自然科學(xué)基金(51275336)；江西省自然科學(xué)基金(20161BAB216111)；江西省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(GJJ150068)

2015-07-06 修改稿收到日期：2015-10-16

賴志慧 男，博士，講師，1989年7月生

劉建勝 男，博士，副教授，1978年7月生

E-mail: victorljs@163.com

TH17；TN911.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.21.002