Smith-Toda譜同倫群中的非平凡元素

劉艷芳，王俊麗，王玉玉

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

Smith-Toda譜同倫群中的非平凡元素

劉艷芳，王俊麗，王玉玉

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387）

考慮V（1）譜的同倫群.首先借助May譜序列得到V（2）譜的上同調(diào)群的一些結(jié)論，然后用代數(shù)方法證明了在Adams譜序列中，是永久循環(huán)且不是dr邊緣,從而收斂到中的非零元.

Smith-Toda譜；Ext群；Adams譜序列；May譜序列；穩(wěn)定同倫群

球面穩(wěn)定同倫群是代數(shù)拓撲中的一個重要研究課題，Smith-Toda譜V（n）的同倫群與球面穩(wěn)定同倫群有極其緊密的聯(lián)系.Adams譜序列是計算球面穩(wěn)定同倫群的一個重要工具[1]，其E2項其中為模p的Steenrod代數(shù)A的上同調(diào)（p≥2），它在Cup積下是一個分次代數(shù)，Adams微分為

Smith-Toda譜V（n）的Zp上同調(diào)群為H*V（n）?E[Q0，Q1，…，Qn]，其中Qi（i=0，1，…，n）是mod p Steenrod代數(shù)A的Minlor基元，E[]是外代數(shù).由文獻[6-8]知，當(dāng) n=0，1，2，3且p＞2n時，V（n）可實現(xiàn).由上纖維序列

可導(dǎo)出短的Zp上同調(diào)群的正合序列，進一步導(dǎo)出如下

Ext群長正合序列

其中V（-1）=S，當(dāng)n=0，1，2，3時，αn分別為p，α，β，γ.

當(dāng)t-s＜（p3+3p2+2p+1）q-4時，文獻[9]得到Hs，t（U（L））由以下上同調(diào)類（乘法）生成

關(guān)于加法有

本研究考慮V（1）譜的同倫群，首先借助May譜序列得到V（2）譜的上同調(diào)群的一些結(jié)論，然后利用Adams譜序列作為工具，證明了如下結(jié)論.

以下記全次數(shù)為|*|，記第二次數(shù)為Sdim.

1 Ext群的相關(guān)結(jié)論

命題1[10]，其中t-s＜ 2p4-1.

證明 由推論知

表1 生成元λ及其全次數(shù)|λ|（mod pq-2）Tab.1 Generator λ and its degree|λ|（mod pq-2）

此時（i3）*x的全次數(shù)為Q=3p2q+2pq-7=3q+3（mod pq-2）.由表1可知，x可能為其相應(yīng)的全次數(shù)分別為2p2q+2pq+q-5、p2q+3pq+ 2q-5，均與（i3）*x的全次數(shù)3p2q+2pq-7不等，故（i3）*x=0.

考慮如下長正合序列

由表1可知x1可能為h0，其相應(yīng)的全次數(shù)與（i3）*x的全次數(shù)不等，故

重復(fù)上述做法，x1=（α3）*x2其中

由表1知x2不存在，故（i3）*x2=0.

同理 x2=（α3）*x3，其中（H*V（2），Zp）=0，滿足x2=（α3）*x3=0.因此可得x=（α3）*（α3）*（α3）*x3=0，即

證明 當(dāng)r≥6時，命題顯然成立.下面考慮2≤r≤5的情形.

Sdim（（i3）*y）=3p2q+2pq+1-r≡q+1-r≠0（modq）且當(dāng)t≠0（mod q）時，Extr，tp（Zp，Zp）=0，由命題1得

同理（α3）*y3=y2，其中Zp）=0.由|y3|＜0，故有y=（α3）*（α3）*（α3）*y3=0.

2 定理的證明

引理1 當(dāng)p≥11，s≥2時，有

則由長正合序列

此時

（1）當(dāng)k=1，2，3時，

當(dāng)k=2時，Q=q-1（mod pq-2）.此時λ可能為h0，滿足|λ|=q-1（mod pq-2），其全次數(shù)為q-1，與（i3）*（i2）*zk的全次數(shù)不相等，故（i3）*（i2）*zk=0.

當(dāng)k=3時，Q=-3（mod pq-2）.由表1可得,無元滿足Q=-3（mod pq-2），故（i3）*（i2）*zk=0.

（2）當(dāng)3＜k＜p-5時，Q=（3+p-k）q-2k-1（modpq-2）或Q=（2+p-k）q+（q-2k+1）（mod pq-2），分別滿足

前者顯然無對應(yīng)元.對于后者，由于Q=3p2q+2pq-2kp2-7+2k（k≥1），故在滿足|λ|=（2+p-k）q+（q-2k+1）（modpq-2）的λ中，若含有因子或，則與的個數(shù)和最大為3.由表1知|λ|=aq+b（mod pq-2），其中a最大為8，若2+p-k=8，則q-2k+1=11，顯然滿足|λ|=8q+11（mod pq-2）的λ也不存在，即在這種情況下也無對應(yīng)元.

（3）當(dāng)k=p-5+s時，Q=（7-s）q+（9-2s）（mod pq-2），其中s=0，1，…，7，滿足表1的可能生成元μ及其全次數(shù)|μ|見表2.

表2 生成元μ及其全次數(shù)|μ|Tab.2 Generator μ and its degree|μ|

當(dāng)s=0，1，…，7時，（i3）*（i2）*zk的全次數(shù)為Q= 3p2q+2pq-2（p-5-s）p2+2（p-5+s）-7，與表2中對應(yīng)的全次數(shù)|μ|均不相等,故此情況下無對應(yīng)元.

（4）當(dāng)p+2＜k＜2p-6時，Q=（2+2p-k）q-（2k+ 1-q）（mod pq-2）或Q=（1+2p-k）q+（2q-2k-1）（mod pq-2），分別滿足

類似于（2）的討論，此時無對應(yīng)元.

（5）當(dāng)k=2p-6+s時，其中s=0，1，…，7，Q=（7-s）q+（7-2s）（mod pq-2），類似于（3）的討論，此時無對應(yīng)元.

（6）當(dāng)2p+1＜k＜3p-7時，Q=（1+3p-k）q-（2k+ 1-2q）（mod pq-2）或Q=（3p-k）q+（3q-2k-3）（mod pq-2），分別滿足

類似于（2）的討論,此時無對應(yīng)元.

（7）當(dāng)k=3p-7+s時，其中s=0，1，…，7，Q=（7-s）q+（5-2s）（mod pq-2），類似于（3）的討論，此時無對應(yīng)元.

綜上可得

由正合性知存在x4滿足（α3）*x4=（i2）*zk，另外，

其全次數(shù)為

類似于以上對Q的討論，有

類似于以上對Q的討論，仍有

所以x6=0，故x4=（α3）*（α3）*x6=0，即（i2）*zk=（α2）*x4= 0.因此，存在

引理2 當(dāng)p≥11，r≥2時，有

證明 當(dāng)r≥6時，命題顯然成立.下面考慮2≤r≤5的情形.

當(dāng)k=1時，Q=2q+3（mod pq-2）.由表1可知λ可能為，滿足|λ|=2q+3（mod pq-2），其相應(yīng)全次數(shù)為2p2q+2pq-3，而（i3）*（i2）*xk的全次數(shù)為3p2q+ 2pq-q-5，二者不相等，故（i3）*（i2）*xk=0.

當(dāng)k=2時，Q=q+1（mod pq-2）.由表1可知λ可能為h2、（b11）h1，滿足|λ|=q+1（mod pq-2），其相應(yīng)全次數(shù)分別為p2q-1、2p2q-3，而（i3）*（i2）*xk的全次數(shù)為Q=3p2q-2q-5，二者不相等，故（i3）*（i2）*xk=0.

當(dāng)k=3、4時，Q=-1，-q-3（mod pq-2），由表1可知無對應(yīng)元，故可得

A nontrivial element in homotopy group of Smith-Toda spectrum

LIU Yanfang，WANG Junli，WANG Yuyu
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The homotopy group of spectrum V（1）is considered，some conclusions about cohomolopy group of spectrum V（2）are obtained by using May spectral sequences.And then it is proved thatis a permanent cycle and can't be hit by any differential in the Adams spectral sequence by using algebra method，this is to say it converges to a notrivial homotopy element in π3p2q+2pq-6V（1）.

Smith-Toda spectrum；Ext group；Adams spectral sequence；May spectral sequence；stable homotopy group

O189.23

A

1671-1114（2016）05-0005-04

2016-01-10

國家自然科學(xué)基金資助項目（11301386）.

劉艷芳（1991—），男，碩士研究生.

王玉玉（1979—），女，教授，主要從事球面穩(wěn)定同倫群方面的研究.