帶非線性阻尼項的等熵歐拉方程軸對稱解的爆破

熊顯萍，黃激珊

（興義民族師范學院數(shù)學科學學院，貴州興義562400）

帶非線性阻尼項的等熵歐拉方程軸對稱解的爆破

熊顯萍，黃激珊

（興義民族師范學院數(shù)學科學學院，貴州興義562400）

考慮三維空間中帶非線性阻尼項的可壓縮等熵歐拉方程組的初邊值問題，研究其軸對稱解的爆破.采用泛函方法，利用均值不等式及Schwartz不等式等對方程組的非線性阻尼項進行處理，證明了當初始速度足夠大時，經典解在某一時間內必定爆破.

非線性阻尼項；等熵歐拉方程組；軸對稱解；爆破

關于帶阻尼項的可壓縮歐拉方程組經典解的研究一直是相關領域內學者關注的熱點問題[1-5].多數(shù)研究都是針對可壓縮歐拉方程組 Cauchy問題或Dirichlet問題經典解的整體存在性和爆破問題進行討論，其中關于經典解的整體存在性一般采用能量估計的方法，爆破問題的研究大多采用泛函方法，即在某些初始數(shù)據(jù)的泛函較大時[5]，證明解必定在有限時間內爆破.文獻[6]通過構造近似解以及對解與近似解的差進行估計，證明了解的爆破.文獻[7]對文獻[6]的方法進行了改進，采用了新的泛函研究外區(qū)域的等熵歐拉方程組初邊值問題的經典解的爆破.文獻[8]在對初始速度進行假設的基礎上，研究了三維空間中帶線性阻尼項的等熵歐拉方程組的經典解，證明了其經典解必定在有限時間內發(fā)生爆破.文獻[9]利用平面動力系統(tǒng)分析的方法研究了一類特殊形式的解，證明了當初值落入平面上的某一區(qū)域時解會爆破，而落入另一些區(qū)域時則不會發(fā)生爆破.本研究考慮帶非線性阻尼項的等熵歐拉方程組初邊值問題的經典解，證明了當初始速度足夠大時，經典解在某一時間內必定爆破.

考慮如下三維空間中帶非線性阻尼項的等熵歐拉方程組的初邊值問題

其邊值條件為

其中：ρ、u、P分別為流體的密度、速度和壓強；氣體狀態(tài)方程為P=Aργ，1＜γ≤3；設非線性阻尼項f（u）為線性項和非線性項之和，即f（u）=αu+g（u），滿足α為正常數(shù)，g（u）為光滑函數(shù)，且0＜g（u）＜α1（α1∈（0，n為單位球面上的單位外法向量.

本研究采用文獻[8]的處理方法定義泛函，利用均值不等式及Schwartz不等式等對方程組的非線性阻尼項進行處理.考察初邊值問題（1）～（2）的軸對稱解，即解

將式（3）代入方程（1）～（2），則得對應方程組

邊值條件為

對于初邊值問題（4）～（5），其初始條件為

引理1 假設（ρ，u）是初邊值問題（4）～（6）的C（1[1，+∞）×[0，T））解，則當r≥R時，ρ（r，0）=，u（r，0）=0，且當r≥R+σt，t＜T時，ρ（r，t）=，u（r，t）=0.

年輕人應該有正確的消費行為，這不僅僅是其作為未來社會主力的責任感，也是其成長過程中所需要的重要因素。從表面上看，正確的消費行為是一種舉動，但是真正影響其消費行為的因素還是消費心理。目前在大學的課程中，并沒有關于健康消費理念的教育，所以這實際上是缺失的。從經濟影響角度看，形成正確的消費心理，這將讓社會資源實現(xiàn)充分應用，同時也能夠讓這些資源實現(xiàn)經濟價值的最大挖掘。特別是處于青春期的年輕人目前正是消費心理形成的重要階段，所以培養(yǎng)其形成綠色消費等正確理念，也將會為整個社會的綠色經濟發(fā)展提供一些幫助。

由引理1知，當r≥R+σt時，p（ρ（r，t））=p（ρ）.以下記定義

記A（t）=eα（tR+σt）2[m（0）+（（R+σt）3-1）/3].由文獻[7]可得引理2.

引理2 設（ρ，u）是初邊值問題（4）～（6）在[1，+∞）× [0，T）上的C1解，則對所有0＜t＜T，有m（t）=m（0）.

定理1 設（ρ，u）是初邊值問題（4）～（6）在[1，+∞）× [0，τ），τ＞0上的C1解.若m（0）≥0，且對任意T＞0，有

則τ＜T.

證明 對式（8）兩邊關于t求導并由方程組（4）得

當m（0）≥0時，與不帶阻尼項的情況一樣，有

對ρug（u）（r3-1）利用均值不等式，有

因此可得

令G（t）=eαtF（t），因A（t）=eα（tR+σt）2[m（0）+（（R+ σt）3-1）/3]，故A（t）＞0為單調遞增函數(shù)，因此有

將式（12）在[0，τ]上積分，得

因為G（t）=eαtF（t），所以

故必有τ＜T，否則上式與式（9）矛盾.證畢.

對定理1中的不等式（12）重新處理，可得到如下定理.

定理2 設（ρ，u）是初邊值問題（4）～（6）在[1，+∞）× [0，T）上的C1解.若對某一常數(shù)τ＞0，有

則T＜τ.

證明 利用與定理1類似的處理方法可得

定理1和定理2的結果表明，雖然出現(xiàn)了非線性阻尼項，但當初始泛函足夠大時，經典解必定不會整體存在.

[1]SIDERIS T，THOMASSES B，WANG D.Long time behavior of solutions to the 3D compressible Euler equations with damping[J].Comm Partial Diff Equns，2003，28：795-816.

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[8]朱旭生，俞銀晶，李翠.帶阻尼項的三維等熵可壓縮歐拉方程組軸對稱解的爆破[J].廈門大學學報：自然科學版，2014，53（6）：780-784. ZHU X S，YU Y J，LI C.Blowup of the axis-symmetric solutions for the IBVP of the compressible isentropic Euler equations with damping[J]. Journal of Xiamen University：Natural Science，2014，53（6）：780-784（in Chinese）.

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（責任編校 馬新光）

Blowup of axis-symmetric solutions for initial-boundary value problem of compressible isentropic Euler equations with nonlinear damping

XIONG Xianping，HUANG Jishan
（School of Mathematical Sciences，Xingyi Normal University for Nationalities，Xingyi 562400，Guizhou Province，China）

The blowup of axis-symmetric solutions for the initial-boundary value problem of the compressible isentropic Euler equations with nonlinear damping in R3is investigated.By functional methods and managing the nonlinear damping using mean value inequality and Schwartz inequality，it is proved that the classical solutions will blow up before a certain time under the assumption that the functional associated with the initial velocity is sufficiently large.

nonlinear damping；isentropic Euler equations；axis-symmetric solutions；blowup

O175.4

A

1671-1114（2016）06-0010-03

2016-06-05

國家自然科學基金資助項目（11161021）；貴州省教育廳自然科學基金資助項目（黔教科研發(fā)[2014]279號）.

熊顯萍（1978—），女，副教授，主要從事偏微分方程方面的研究.