借助圓錐曲線知識(shí)和求導(dǎo)方法解決拋體運(yùn)動(dòng)問題
——對(duì)2015年高考海南物理卷第14題的另解

馮海燕

(大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué) 黑龍江 大慶 163316)

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借助圓錐曲線知識(shí)和求導(dǎo)方法解決拋體運(yùn)動(dòng)問題
——對(duì)2015年高考海南物理卷第14題的另解

馮海燕

(大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué) 黑龍江 大慶 163316)

在高中階段， “拋體運(yùn)動(dòng)”是在物理學(xué)科的“曲線運(yùn)動(dòng)”部分學(xué)習(xí)的，主要是利用運(yùn)動(dòng)的分解將拋體運(yùn)動(dòng)分解成水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的加速度為g 的勻變速直線運(yùn)動(dòng)．“拋物線”是在數(shù)學(xué)學(xué)科的“4圓錐曲線”部分學(xué)習(xí)的，主要是學(xué)習(xí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線、焦點(diǎn)等知識(shí)．鑒于拋體運(yùn)動(dòng)中平拋和斜拋運(yùn)動(dòng)的軌跡就是拋物線，故在教學(xué)中完全可以將兩者有機(jī)地結(jié)合起來，以更好地落實(shí)《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于加強(qiáng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題能力的要求，更好地促進(jìn)學(xué)生綜合能力的發(fā)展．下面筆者就2015年高考海南物理卷第14題(2)問嘗試用與參考答案不同的方法——用圓錐曲線知識(shí)和求導(dǎo)的方法來解決拋體運(yùn)動(dòng)問題．

(1)一小環(huán)套在軌道上從a點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軌道之間無相互作用力，求圓弧軌道的半徑；

(2)若環(huán)從b點(diǎn)由靜止因微小擾動(dòng)而開始滑下，求環(huán)到達(dá)c點(diǎn)時(shí)速度的水平分量的大?。?/p>

圖1

原參考答案如下：

(1)環(huán)在bc段與軌道無相互作用，即環(huán)在這段以某一初速度v0做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡與軌道相同．由平拋運(yùn)動(dòng)公式有

s=v0t

(1)

(2)

設(shè)圓弧軌道半徑為R，由機(jī)械能守恒定律得

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)，并代入題給條件得

R=0.25 m

(4)

(2)環(huán)由b處靜止下滑過程中機(jī)械能守恒，設(shè)環(huán)下滑至c點(diǎn)的速度大小為v，有

(5)

環(huán)在c點(diǎn)速度的水平分量為

vx=vcos θ

(6)

式中，θ為環(huán)在c點(diǎn)速度的方向與水平方向的夾角．由題意知，環(huán)在c點(diǎn)速度的方向和以初速度v0做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在c點(diǎn)速度的方向相同；而做平拋運(yùn)動(dòng)的物體末速度的水平分量為

(7)

因此

(8)

聯(lián)立式(1)、(2)、(5)～(8)，得

(9)

筆者對(duì)該題目(2)問的解答方法如下：

以b點(diǎn)為原點(diǎn)O′，以過b點(diǎn)的水平線為x軸，以過b點(diǎn)的豎直線為y軸建立坐標(biāo)系，如圖2所示.由題目可知，該拋物線軌道過原點(diǎn)(0，0)和(s，h)點(diǎn)．令該拋物線軌道的軌跡方程為

y=ax2+bx+c

圖2

易知b=0，c=0，則軌跡方程可簡(jiǎn)化為

y=ax2

將點(diǎn)(0，0)和點(diǎn)(s，h)代入軌跡方程可得

則該拋物線的軌跡方程為

y=x2(x>0)

其導(dǎo)數(shù)方程為 y′=2x

圖3

易知

根據(jù)機(jī)械能守恒定律

得

則

上述方法方法也可以作為檢驗(yàn)解答是否正確的一個(gè)方法．

2015-11-30)