LuGre摩擦模型的質體-彈簧-帶自振系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

李加勝,李小彭,安鐮錘,聞邦椿

(東北大學 機械工程與自動化學院,遼寧 沈陽 110819)

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LuGre摩擦模型的質體-彈簧-帶自振系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

李加勝,李小彭,安鐮錘,聞邦椿

(東北大學 機械工程與自動化學院,遼寧 沈陽 110819)

為了能夠深入研究摩擦自振系統(tǒng)的振動-摩擦耦合動力學特性,建立基于LuGre摩擦模型的質體-彈簧-帶摩擦自激振動系統(tǒng)的非線性動力學模型,使用數值仿真等技術探討了摩擦導向系統(tǒng)的動力學行為,并分析了該自振系統(tǒng)的穩(wěn)定性.結果表明:摩擦自激振動系統(tǒng)的運動狀態(tài)會隨著進給速度的不同取值而發(fā)生變化.從仿真圖可以看出,系統(tǒng)在不同進給速度下的行為是不一樣的.系統(tǒng)的運動形式分別為:混沌運動、粘滑運動、純滑動振動和穩(wěn)定運動,不同的運動狀態(tài)之間存在一個臨界值,在臨界值附近運動狀態(tài)會發(fā)生變化.此外,該模型的自激振動系統(tǒng)動力學行為中含有隨機性的混沌振動現象,基于LuGre摩擦模型可以預測出比Stribeck摩擦模型速度更低時的動力學行為.

LuGre 摩擦模型; 非線性動力學; 系統(tǒng)穩(wěn)定性; 自激振動; 混沌振動

LIJia-sheng,LI Xiao-peng,AN Lian-chui,WEN Bang-chun

(School of Mechanical Engineering &Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,China).

摩擦的存在往往會使零部件產生嚴重磨損,引起噪聲和振動,降低機械系統(tǒng)的精度和運轉效率[1].隨著機械工業(yè)的發(fā)展以及新的摩擦模型的不斷發(fā)展變化,國內外學者從不同角度對摩擦引起的振動問題展開了廣泛的研究.李小彭[2]等從微觀角度來研究了平面結合面的摩擦對振動的影響.通過建立含有摩擦的分形模型,研究幾個參數對法向接觸阻尼的影響,為結合面動力學的建模和特性分析奠定了基礎.GDANIEC[3]等通過采用LuGre模型對單自由度的摩擦振子進行了研究,發(fā)現對于不同的摩擦系數和進給速度會產生摩擦誘發(fā)振動中的分岔和混沌現象,而且大部分運動都為混沌運動.MADELEINE[4]研究了一個兩自由度的質量-阻尼-彈簧系統(tǒng)在受到間歇加載時的摩擦激振現象.HARTOGT D[5]提出了一種近似的理想干摩擦模型,得到了兩次黏滯的對稱形式周期振動的封閉解.SHAW[6]將HARTOGT D的摩擦模型擴展為非定常摩擦系數進行研究,得到了觀察非對稱響應的分岔判據.OESTREICH[7]等研究了基于庫侖摩擦模型的單自由度振蕩器的分岔和穩(wěn)定性特性.ELMER[8]通過研究無阻尼和不同摩擦函數時質量塊-帶的黏滑和純滑動振動,提出了黏滑和純滑動振動之間相互轉換的表達式,得到了典型的局部和全局的分岔圖.但是目前摩擦自激振動機理沒有獲得深入的研究,因此本研究旨在對含有摩擦的進給振動系統(tǒng)進行動力學特性分析,以典型的機床切削系統(tǒng)和進給系統(tǒng)為研究對象,通過建立典型的動摩擦力模型,來進行摩擦和振動相互作用的研究以及自激振動的研究.通過對系統(tǒng)建立二維的動力學模型,使用數值仿真等技術探討了摩擦導向系統(tǒng)的動力學行為.本研究對于促進摩擦動力學的發(fā)展,研究和解決由于摩擦而產生的動力學問題具有重要的價值.

1 摩擦自激振動系統(tǒng)模型的建立

由于狀態(tài)參數的變化與系統(tǒng)的質量、阻尼、剛度、摩擦因素、法向振動有直接的密切的關系,所以用基于這種關系建立的模型對機床系統(tǒng)進行研究,建立如圖1所示的系統(tǒng)物理模型.

圖1 質量-彈簧-帶的自激振動系統(tǒng)模型

質量塊-彈簧-帶自激振動系統(tǒng)模型常用于分析機械進給系統(tǒng)的黏滑運動.質量塊A位于以恒速v0運行的傳動帶上,和阻尼系數為c的阻尼器和固定端剛度為k的彈簧連接,質量塊和帶間的摩擦力F為質量塊提供驅動力.圖中F1表示質量塊的法向力,ω為頻率,t為時間.

2 摩擦自激振動系統(tǒng)的解析分析

2.1 摩擦自激振動系統(tǒng)的建模

摩擦自激振動模型采用圖1所示的系統(tǒng)動力學模型,摩擦力采用LuGre摩擦模型,可得:

(1)

式中:m為被驅動件A的質量;x為位移量.

將式(1)中的量無量綱化,則式(1)變?yōu)?/p>

(2)

2.2 LuGre摩擦力穩(wěn)定性分析

(3)

式中:σ0為變形剛性系數;Fc為庫倫摩擦力;Fs為最大靜摩擦力;e為常數2.718;vs為邊界潤滑摩擦臨界速度.

當系統(tǒng)處于穩(wěn)定運動時,摩擦力可以表示為速度的關系式:

F=σ0g(v)+σ2v=Fc+

(4)

式中:σ2為粘性摩擦系數.

公式(4)的偏微分方程為

(5)

當v0足夠大或者足夠小時,式(5)中的第一項相對于第二項很小.因此,v0必然存在臨界值v′0.摩擦力隨相對速度的關系如圖2所示.從圖2可以看出,當0

圖2 摩擦力隨相對速度變化的曲線圖

通過求解方程,運用迭代算法,可以得出v′0≈3vs.

3 摩擦系統(tǒng)的數值仿真分析

不同的參數會對系統(tǒng)的響應有一定的影響.現在通過改變進給速度來進行設定系統(tǒng)剛度下的仿真[9-10].工具為MATLAB,方法為ode23s,相對誤差設置為1×10-7.當系統(tǒng)剛度k=15 000 N·m時,摩擦自激振動系統(tǒng)的仿真結果如下:

圖3 v0=0.000 3 m·s-1時系統(tǒng)的動力學特性圖

圖4 v0=0.000 4 m·s-1時系統(tǒng)的動力學特性圖

圖5 v0=0.001 m·s-1時系統(tǒng)的動力學特性圖

圖6 v0=0.01 m·s-1時系統(tǒng)動力學特性圖

圖7 v0=0.1 m·s-1時系統(tǒng)動力學特性圖

(1) 從相圖、時域曲線圖和Poincare截面圖可以看出,當v0=0.000 3 m·s-1時,系統(tǒng)振動為混沌運動;而當v0=0.000 4 m·s-1時,系統(tǒng)相圖軌跡為典型的馬蹄形軌跡.當v0=0.001 m·s-1時,系統(tǒng)相圖軌跡仍然為典型的馬蹄形軌跡,不過此時位移和速度幅值均減小了,而周期卻開始逐漸增大.當v0=0.01 m·s-1時,系統(tǒng)運動為典型的黏滑自激振動;當速度繼續(xù)增大時,系統(tǒng)運動開始穩(wěn)定在穩(wěn)定點附近,此時不再有周期振動,系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài).

這說明存在3個臨界值,這個3個臨界值將系統(tǒng)運動分成了4種不同的運動狀態(tài):當v0小于最小值(v0≈3vs)時,系統(tǒng)運動為周期運動,軌跡為馬蹄形軌跡,這實際上就是周期運動和混沌的分界標志;當v0大于中間值而小于最大臨界值時,系統(tǒng)運動為黏滑的自激振動,并且隨著速度的增加,振動幅值也隨之增加;當v0大于最大臨界值時,系統(tǒng)運動開始穩(wěn)定在平衡點附近,處于靜止狀態(tài),此時不再有周期運動.

(2) 從摩擦力和鬃毛剛度隨時間變化的圖可以看出,當摩擦力一直增加到大于庫侖摩擦力時,摩擦力在庫侖摩擦力附近開始呈現一定規(guī)律的周期性變化趨勢.此外,不管進給速度如何變化,摩擦力和鬃毛剛度的變化趨勢基本都是一致的,并且后者和前者總是呈現一定的正比例關系;且隨著相對速度的增加,動態(tài)摩擦力的的變化幅度逐漸變小,最后趨向于零.

4 小結

(1) 本研究討論了穩(wěn)定狀態(tài)下的摩擦力,得到了摩擦力變化趨勢改變時的臨界速度,此時,摩擦自激振動系統(tǒng)的運動狀態(tài)會隨著進給速度的不同取值而發(fā)生變化.

(2) 運用MATLAB軟件進行系統(tǒng)的數值仿真,從仿真圖看出來系統(tǒng)在不同進給速度下的行為是不一樣,系統(tǒng)運動形式分別為:混沌運動、黏滑運動、純滑動振動和穩(wěn)定運動,不同的運動狀態(tài)之間存在一個臨界值,在臨界值附近運動狀態(tài)會發(fā)生變化.

(3) 此外,和基于Stribeck摩擦模型自激振動系統(tǒng)動力學分析結果[11]不一樣的是,基于LuGre模型的自激振動系統(tǒng)動力學行為中含有隨機性的混沌振動現象.并且可以看出,基于LuGre摩擦模型可以預測出比Stribeck摩擦模型速度更低時的動力學行為.最后,可以得出對于不同的摩擦模型,對于不同的進給速度,系統(tǒng)響應各不相同.

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Stability analysis on mass-spring-belt self-excited vibration systems via LuGre frictional model

To further elaborate the vibration-friction coupling dynamical properties on self-excited vibration systems,the nonlinear dynamic model of mass-spring-belt friction self-excited vibration system is established based on the LuGre friction model.By using the numerical simulation for friction-led dynamical behaviors,the self-excited vibration system stability is analyzed.It is found from results that the motional state varies with feeding speeds.Due that the system behaviors are differentiated with different feeding speeds,the motional forms comprise the chaotic motion,stick-slip motion,pure sliding vibration and stable motion with critical values between different motional states.In addition,the random chaotic vibration exists in dynamical behaviors.As such,this approach can predict the dynamical behaviors under lower speeds than Stribeck frictional model

LuGre frictional model; nonlinear dynamics; system stability; self-excited vibration; chaotic vibration; Stribeck frictional model

國家自然科學基金資助項目(51275079)；遼寧省人才基金(2014921018)

李加勝(1991-),男,碩士.E-mail:neujsli@163.com

TH 113.1

A

1672-5581(2016)01-0012-05