*-素環(huán)上的廣義導(dǎo)子

劉雙雙

(吉林師范大學(xué) 研究生院,吉林 長(zhǎng)春 130103)

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*-素環(huán)上的廣義導(dǎo)子

劉雙雙

(吉林師范大學(xué) 研究生院,吉林 長(zhǎng)春 130103)

R是2-扭自由*-素環(huán),L是R上的平方封閉的非零*-Lie理想.f,g是R上的廣義導(dǎo)子,d,h分別為f,g的非零伴隨導(dǎo)子,有(i)f(u)v=ug(v),(ii)f(uv)-uv∈Z,(iii)f(u)f(v)-uv∈Z,u,v∈L,若d,h≠0,則U?Z.

*-素環(huán);*-Lie理想;廣義導(dǎo)子

在過去的30年,素環(huán)R的交換性與環(huán)的特殊映射之間的關(guān)系被廣泛關(guān)注.近期,許多素環(huán)的著名結(jié)果由Oukhtite[1-4]等推廣到*-素環(huán)上.2005年,Ashraf[5]等證明了許多素環(huán)的交換性定理.最近,AL-Omary[6]等證明了帶有廣義導(dǎo)子的*-素環(huán)的交換性.

1 主要結(jié)果

引理1 ([6,引理4]) R是2-扭自由*-素環(huán),L是R的非零*-Lie理想.若aLb=a*Lb=0,則a=0或b=0或L?Z.

引理2([7,引理2.7]) R是2-扭自由*-素環(huán),L是R的非零*-Lie理想.若a∈R,使得[a,L]?Z,則a∈Z或L?Z.

引理3([8,引理2.7]) R是2-扭自由*-素環(huán),L是R的非零*-Lie理想.若a∈R,使得[L,L]?Z,則L?Z.

引理4([8,引理2.7]) R是2-扭自由*-素環(huán),L是R的非零*-Lie理想.d是R上的導(dǎo)子,且可與*交換.若ad(L)=0,則a=0或L?Z.

引理5([9，引理2.2]) R是2-扭自由*-素環(huán),L是R的非零*-Lie理想.若d是R上的導(dǎo)子,與*可交換,且d(U)=0,則d=0或U?Z.

引理6 R是2-扭自由*-素環(huán),若L是R的非零*-Lie理想,則CR(L)=Z

引理7 R是2-扭自由*-素環(huán),若L是R的非零*-Lie理想,若aL?Z(La?Z),a∈R,則a∈Z

定理1 R是2-扭自由*-素環(huán),L是R的非零*-Lie理想.R的非零廣義導(dǎo)子(F,d),(G,h)使得F(u)v=uG(v),u,v∈L,若d,h≠0,則L?Z.

證明F(u)v=uG(v)

(1)

在(1)中,用[x,u]u替換u,x∈R,得到

F([x,u])uv+[x,u]d(u)v=[x,u]uG(v)

[x,u]G(u)v+[x,u]d(u)v=[x,u]uG(v)

即[x,u](G(u)v+d(u)v-uG(v))=0,u,v∈L,x∈R

(2)

在(2)式中,用xy替換x,得到[x,u]R(G(u)v+d(u)v-uG(v))=0 u,v∈L,x∈R

由于R是*-素環(huán),所以有[x,u]*R(G(u)v+d(u)v-uG(v))=0 u,v∈L,x∈R

由引理1知[x,u]=0或G(u)v+d(u)v-uG(v)=0

即u∈Z或G(u)v+d(u)v-uG(v)=0 u,v∈L,x∈R

在G(u)v+d(u)v-uG(v)=0中,用2vω替換v得到uvh(ω)=0,u,v,ω∈L

即uUh(U)=0,由引理知u=0或L?Z.

定理2 R是2-扭自由*-素環(huán),L是R的非零*-Lie理想.R的非零廣義導(dǎo)子(F,d),(G,h)使F(uv)-uv∈Z,u,v∈L.若d≠0,L?Z

證明 若F=0,則uv∈Z,u,v∈L.特別的,uU∈Z,u∈L,因此由引理知L?Z

若F≠0,由假設(shè)得到F(u)v+ud(v)-uv∈Z,u,v∈L

(3)

在(3)式中用2uω替換u得到2(F(uω)-uω)v+uωd(v))∈Z,u,v,ω∈L

上式與v∈L做交換子得到uω[d(v),v]+u[ω,v]d(v)+[u,v]ωd(v)=0,u,v,ω∈L

(4)

在(4)中用2tu替換u,結(jié)合等式得到[t,v]uωd(v)=0,u,v,ω,t∈L

即[t,v]Ld(v)=0,v,t∈L

由于L是*-Lie理想,所以有[t,v]*Ld(v)=0,v,t∈L這樣就可以得到[t,v]=0或d(v)=0

由Braur trick知L=A或L=B.

若L=A,則L?Z.

若L=B,由引理5知L?Z

定理2 R是2-扭自由*-素環(huán),L是R的非零*-Lie理想.R的非零廣義導(dǎo)子(F,d),(G,h)

F(uv)-vu∈Z,u,v∈L.若d≠0,L?Z.

證明 若F=0,則vu∈Z,u,v∈L.特別的,uU∈Z,u∈L,因此由引理知L?Z.

若F≠0,由假設(shè)F(uv)-vu∈Z,u,v∈L

(5)

在(5)中,用2ωv替換v得到F(2uωv)-2ωvu∈Z,u,v,ω∈L

將上式與v作交換子得到[F(uω)v+uωd(v)-ωvu,v]=0

也就是[F(uω)v-ωuv+ωuv+uωd(v)-ωvu,v]=0,u,v,ω∈L

結(jié)合(5)可以得到[ωuv+uωd(v)-ωvu,v]=0

[ω,v][u,v]+ω[[u,v],v]+uω[d(v),v]+[u,v]ωd(v)+u[ω,v]d(v)=0

(6)

在(6)中,用2uω替換ω,得到[u,v]ω[u,v]+[u,v]uωd(v)=0,u,v,ω∈L

(7)

對(duì)(7)做線性變換得到[u,v]uωd(v)=0,u,v,ω∈L,即[u,v]Ld(v)=0.

L是非零*-Lie理想,則有[u,v]*Ld(v)=0,這樣就可以得到[u,v]=0或d(v)=0

由Braur trick知L=A或L=B.

若L=A,則L?Z.

若L=B,由引理5知L?Z

定理3 R是2-扭自由*-素環(huán),L是R的非零*-Lie理想.R的非零廣義導(dǎo)子(F,d),(G,h)

F(u)F(v)-uv∈Z,u,v∈L.若d≠0,L?Z.

證明：若F=0,則vu∈Z,u,v∈L.特別的,uU∈Z,u∈L,因此由引理知L?Z.

若F≠0,由F(u)F(v)-uv∈Z,u,v∈L

在上式中,用2vω替換v得到2(F(u)F(v)-uv)ω+F(u)vd(ω))∈Z,u,v,ω∈L

(8)

(8)式與ω∈L做交換子得到[F(u)vd(ω),ω]=0,u,v,ω∈L

(9)

在(9)式用2uω替換ω得到[u,v]ω[u,v]+[u,v]uωd(v)=0,u,v,ω∈L

(10)

對(duì)(10)做線性變換得到[u,v]uωd(v)=0,u,v,ω∈L

L是非零*-Lie理想,則有[u,v]*Ld(v)=0,這樣就可以得到[u,v]=0或d(v)=0

由Braur trick知L=A或L=B.

若L=A,則L?Z.

若L=B,由引理知L?Z

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[3]Oukhtite L,Salhi S.On generalizde derivations of σ-prime ring[J].Afr,Diaspora J.Math.,2007,5(1):21-25.

[4]Oukhtite L,Salhi S.On generalizer derivations of σ-prime ring[J].Afr.Diaspora J.Math.,2006,5(1):19-23.

[5]Ashraf M,Ali A,Rani R.On generalizer derivations of prime ring[J].Southeast Asian Bull.MaTh.,2005,29(4):669-675.

[6]Oukhtite L,Salhi S.Centralizing automorphisms and Jordan left derivations on *-prime ring[J].Adv,Algebra,2008,1(1):19-26.

[7]Ashraf M,Khan A.Commutativity of *-prime ring with generalized[J].Rend.Semin.Mat.Univ.Padova,2011,125:71-79.

[8]Nadeem ur Rehman,AL-Omary RM.On commutativity of 2-torsion free *-prime rings with generalized derivations[J].Mathematica,2001,53(2):171-180.

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[責(zé)任編輯：王軍]

2016-01-09

劉雙雙(1990-)，女，滿族，吉林師范大學(xué)碩士研究生，主要從事環(huán)論的研究.

O153.3

A

1672-3600(2016)12-0022-03