高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法探索

詹涌強(qiáng)

(華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，廣州 510800)

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高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法探索

詹涌強(qiáng)

(華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，廣州 510800)

為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，教師在備課時(shí)需要不斷的摸索，在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的教學(xué)情境，探索新的教學(xué)方法。作者通過(guò)幾個(gè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例，說(shuō)明在教學(xué)中如何摸索出新的教學(xué)方法，更好地吸引學(xué)生、啟發(fā)學(xué)生，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

高等數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)興趣；教學(xué)方法

高等數(shù)學(xué)是理工科專業(yè)的學(xué)生在大一時(shí)就要學(xué)習(xí)的一門公共基礎(chǔ)課，它是理工科學(xué)生后續(xù)許多專業(yè)課程的基礎(chǔ)。因此，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞對(duì)學(xué)生后繼專業(yè)課程的學(xué)習(xí)起著舉足輕重的作用。為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，使高等數(shù)學(xué)課程學(xué)起來(lái)更加生動(dòng)有趣，教師在備課的時(shí)候應(yīng)該不斷地摸索教學(xué)方法，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)的教學(xué)情境，教學(xué)中采取引導(dǎo)式教學(xué)與啟發(fā)式教學(xué)，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。下面結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)歷從以下幾個(gè)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)談?wù)勅绾胃玫貑l(fā)誘導(dǎo)學(xué)生。

1 數(shù)列極限的概念

學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》[1]這門課，碰到的第一個(gè)較為抽象的概念就是數(shù)列極限的ε-N定義。把數(shù)列極限的ε-N定義講好，將對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》后面的內(nèi)容產(chǎn)生積極的促進(jìn)作用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。關(guān)于數(shù)列極限的概念的講授，作者采用了如下的方法，先給學(xué)生介紹數(shù)列的概念。

例1 觀察下面4個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)。

(2)2,4,8,…,2n,…

(3)1,-1,1,-1,…,(-1)n+1,…

觀察這4個(gè)數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列(1)、(4)具有同樣的特點(diǎn)：隨著項(xiàng)數(shù)n的增大，數(shù)列的通項(xiàng)無(wú)限地接近于一個(gè)數(shù)。而數(shù)列(2)、(3)則沒(méi)有這樣的特點(diǎn)。具有(1)、(4)這種特點(diǎn)的數(shù)列，就是我們所關(guān)心的、所要研究的數(shù)列。

定義1：當(dāng)數(shù)列{xn}的項(xiàng)數(shù)n無(wú)限大時(shí)，通項(xiàng)xn無(wú)限趨近于某一個(gè)數(shù)a，則稱數(shù)列{xn}的極限是a，記作

定義1簡(jiǎn)單直觀，學(xué)生對(duì)這個(gè)定義的理解沒(méi)有問(wèn)題。接著可向?qū)W生指出：定義1雖然簡(jiǎn)單，但有著嚴(yán)重的缺陷：對(duì)兩個(gè)“無(wú)限”的提法不確切。什么才叫“無(wú)限大”和“無(wú)限趨近”，沒(méi)有一個(gè)衡量的標(biāo)準(zhǔn)，不同的人會(huì)有不同的看法。如下面的例子：

例2 判斷數(shù)列的極限。

對(duì)于(1)，學(xué)生很容易判斷出這個(gè)數(shù)列的極限為1。而對(duì)于(2)，看法就各種各樣：有的同學(xué)認(rèn)為是0.8，有的認(rèn)為是0.89，有的則認(rèn)為是0.889……這時(shí)可給出幾分鐘的時(shí)間讓學(xué)生思考。

0.8…8…=0.8+0.08+0.008+…

例2一方面很好地訓(xùn)練了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，另一方面說(shuō)明定義1對(duì)數(shù)列極限的描述是不確切的。那么，如何準(zhǔn)確地描述這兩個(gè)無(wú)限：當(dāng)n無(wú)限大(n→)，xn無(wú)限趨近于a(xn→a)？為了說(shuō)明n→，可引入如下的語(yǔ)言：?N(無(wú)論它多么大)，都有n>N；而對(duì)于xn→a，可用下面的語(yǔ)言描述：?ε>0(無(wú)論它多么小)，都有|xn-a|<ε。這樣就把這兩個(gè)“無(wú)限”精確地表述出來(lái)了，這樣就自然地得到下面定義2關(guān)于數(shù)列極限的ε-N定義。

定義2：設(shè){xn}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式

|xn-a|<ε

都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限，或者稱數(shù)列{xn}收斂于a，記為

2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是《高等數(shù)學(xué)》[1]的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，熟練掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法對(duì)后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著重要的作用。學(xué)生在高中時(shí)就已經(jīng)接觸了簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，知道復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

定理1 如果u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，而y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為

定理1可以推廣到多個(gè)中間變量的情形。

解 本例中符合函數(shù)可分解為三個(gè)基本初等函數(shù)：y=sinu,u=tanv,v=x-5。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有

=costanx-5·sec2x-5·(-5x-6)

從本例看出，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)較為繁瑣，且容易出錯(cuò)。是否有一種簡(jiǎn)單快捷的方法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？答案是肯定的，例1也可用如下的方法求解。

=costanx-5·(sec2x-5)·(x-5)′

=costanx-5·(sec2x-5)·(-5x-6)

用這種方法求導(dǎo)過(guò)程就好比是脫衣服的過(guò)程，從外向內(nèi)一層一層進(jìn)行，形象生動(dòng)，當(dāng)學(xué)生熟練掌握了以后也可以一步寫出結(jié)果了。而更重要的是，利用“脫衣服”的方法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比求導(dǎo)法則更加不易犯錯(cuò)，如下例。

3 三角函數(shù)表的制造

學(xué)生在高中的時(shí)候就已經(jīng)學(xué)會(huì)查三角函數(shù)表了，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中教師可以制造一個(gè)懸念：三角函數(shù)表究竟是如何制造出來(lái)的？同學(xué)們想不想自己動(dòng)手制造出一個(gè)三角函數(shù)表？從而牢牢地吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教師可將三角函數(shù)表的制造分成三個(gè)部分，一步一步揭示出其中的奧秘。

第二部分介紹“函數(shù)的微分”。在講完微分的近似計(jì)算公式以后，更進(jìn)一步，學(xué)生又學(xué)會(huì)了可以利用微分近似計(jì)算公式來(lái)求出在一些特殊角30°、45°、60°等附近的三角函數(shù)值。這時(shí)，結(jié)果又揭開(kāi)了一步，學(xué)生會(huì)更加地有求知欲，渴望知道其它的三角函數(shù)值是怎么計(jì)算出來(lái)的。

圖1

圖2

圖3

圖4

從圖形中，學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)逼近正弦函數(shù)y=sinx有了一個(gè)非常清晰的直觀感受，在這個(gè)時(shí)機(jī)向?qū)W生指出：在一定的條件下，可以利用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)逼近一個(gè)已知的函數(shù)，那么什么樣的多項(xiàng)式函數(shù)才滿足要求呢？多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)是什么？從而引出泰勒公式。利用泰勒公式，可以得到各個(gè)三角函數(shù)的泰勒展式，就可以制造出三角函數(shù)表來(lái)。

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 趙樹(shù)嫄.微積分[M].3版.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008

責(zé)任編輯：劉 琳

Exploration on Teaching Methods of Higher Mathematics

ZHAN Yongqiang

(School of Computer Engineering， Guangzhou College, of South China University of Technology， Guangzhou 510800, China)

In order to improve interest for students to learn courses of higher mathematics and cultivate their quality of mathematics, teachers are required to constantly make explorations in the preparation for lessons, create vivid teaching situations and seek for new teaching methods. The author shows ways of groping new teaching methods to attract and inspire students, and improve their interest in learning through several cases of higher mathematics teaching.

higher mathematics; learning interest; teaching method

2016-02-27

廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目(GDJG20142550)；廣東省教育科研類項(xiàng)目(2015GXJK201)

詹涌強(qiáng)(1978-)，男，廣東潮州人，講師，碩士，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究。

G642

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1009-3907(2016)10-0101-04