彈簧靜變形和重力加速度從固有頻率表達式中消失的條件

陳奎孚，蔡 春

（1．中國農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院74＃，北京 100083；2．北京聯(lián)合大學(xué) 應(yīng)用文理學(xué)院，北京 100191）

《對玻恩及其學(xué)派的系列研究》連載

彈簧靜變形和重力加速度從固有頻率表達式中消失的條件

陳奎孚1，蔡 春2

（1．中國農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院74＃，北京 100083；2．北京聯(lián)合大學(xué) 應(yīng)用文理學(xué)院，北京 100191）

教學(xué)經(jīng)常使用固有頻率表達式不顯含彈簧靜變形和重力加速度的振子；但也能找到相反的情形．本研究探討前者的充要條件．分析發(fā)現(xiàn)如果彈簧軸線在質(zhì)點通過靜平衡位置時沿其軌跡的切向，則彈簧靜變形從固有頻率表達式中消失．在滿足這一前提下，進一步要求質(zhì)點軌跡在靜平衡位置的曲率為0，或沿鉛垂方向，則重力也無回復(fù)力的效果，從而重力加速度在固有頻率表達式中不出現(xiàn)．該結(jié)論不僅有助于理解重力與固有頻率之間的關(guān)系，也可指導(dǎo)振動例題編制和選用．

振動；彈簧；靜變形；勢能；固有頻率；曲率

彈簧振子是典型的物理教學(xué)模型．最簡單的情形是圖1（a）所示的平放振子（本文只考慮無質(zhì)量的輕彈簧），稍微復(fù)雜一點是圖1（b）的豎直懸掛的彈簧振子（僅考慮豎直方向的振動）．后者的一個顯著特點是固有頻率與重力引起的彈簧靜變形無關(guān)．同樣，圖1（c）和圖1（d）的兩個振子也不用考慮重力引起的彈簧靜變形．我們自然會問：是否彈簧振子都不需要考慮重力的影響呢，比如像圖2這樣的例子（圖中m為彈簧振子質(zhì)量，k為彈簧屈強系數(shù)，δst為彈簧的靜伸縮量）？答案是否定的，筆者已經(jīng)給出了反例［1，2］，如圖2（a）所示的振子.

圖1　固有頻率表達式中不顯含彈簧靜變形的振子

圖2　固有頻率表達式涉及彈簧靜變形的振子

在很多工程場合，彈簧都有維持靜平衡的靜變形，但即使像機械振動、結(jié)構(gòu)動力學(xué)這些專業(yè)課程教材也沒有就彈簧靜變形和重力加速度影響給出很確切的說法［3，4］，更遑論大學(xué)物理教材.在這些課程教學(xué)中，經(jīng)常使用圖1這組例題（m是彈簧振子質(zhì)量，k是彈簧倔強系數(shù)）.這組特例，如果沒有特別的提醒，當(dāng)然會導(dǎo)致學(xué)生誤認為固有頻率總與彈簧靜變形無關(guān).一方面我們需要提醒學(xué)生以避免這種錯誤的認識，另一方面為了與圖1這樣例題的銜接，我們需要知道在什么樣條件下，靜變形和重力加速度不會出現(xiàn)在固有頻率表達式中.明確了這個條件，一方面能加深對工程場合中靜變形作用的認識，另一方面也可有效地避免編制新習(xí)題和例題的不當(dāng)或錯誤.

1 彈簧靜變形消失的條件

我們只討論無阻尼情形.教學(xué)中廣泛使用無阻尼振子，這是因為，一方面它是研究有阻尼振子的基礎(chǔ)，另一方面就工程分析最感興趣的目標(biāo)參數(shù)固有頻率而言，阻尼固有頻率和無阻尼固有頻率差異不大（大部分工程結(jié)構(gòu)的阻尼都很?。?

無阻尼振子的運動規(guī)律完全被勢能和動能兩個能量所確定.

先考慮廣義坐標(biāo).除了某些極個別情形外［5］，廣義坐標(biāo)幾乎是可以任意選擇的.我們這里選擇從平衡位置出發(fā)沿質(zhì)點軌跡的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo).采用此種做法，質(zhì)點m的動能表達式為Ek=，肯定不含靜變形 δst.接下來只需研究勢能即可.

圖3是振子示意圖，先考慮其在光滑的水平面內(nèi)運動（即暫不考慮重力的影響）.不失一般性，研究其中一條彈簧AB的勢能.彈簧AB一端固定在A點，另一端連在質(zhì)點m上.質(zhì)點m被約束在固定的光滑約束曲線 L上運動.圖中符號：l代表自然長度；δst代表彈簧的靜伸縮量（靜變形）.運動中質(zhì)點從靜平衡位置B移動到C，其弦長記為λ.

圖3　振動中的彈簧

利用余弦定理有

選定弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo)后，所有與振子相關(guān)的變量都可以表示為s的單變量函數(shù)，如AC、λ、β都是s的函數(shù) AC（s）、λ（s）、β（s）.先看 BC（s），對于微幅線性振動，只需關(guān)心到它的泰勒級數(shù)的s2即可，即

在式（2）中，因靜平衡位置對應(yīng)s=0而有

為了做進一步的運算，我們對“弧長的導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容放到第4節(jié)里，由第4節(jié)的式（23）和式（24）可得

將β（s）也展開到泰勒級數(shù)的s2，得

把式（4）和式（5）代入式（1），并且也保留到s2有

下面利用式（6）分析勢能.選擇靜平衡狀態(tài)為此彈簧的勢能零點，則彈性勢能為（需指出：彈性勢能Ep的二次項與的不同，不可簡單套用）

將式（6）代入式（7）并保留到s2有

選擇靜平衡位置為坐標(biāo)原點，式（8）右邊第一項會被其他勢能（比如其他彈簧或重力等有勢力）抵消.對固有頻率有實質(zhì)影響的是式（8）右邊第二項.

l和δst是靜變形彈簧的兩個獨立參數(shù)，要使它們從式（8）右邊的第二項中消失，當(dāng)且僅當(dāng)

幾何上，這就要求當(dāng)質(zhì)點過靜平衡位置時，彈簧軸線與B端（質(zhì)點）軌跡相切，或者說振子偏離靜平衡位置所導(dǎo)致的彈簧伸縮是主導(dǎo)的，而彈簧在運動平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動是可忽略的更高階微幅量.

綜上所述：彈簧靜變形從振子固有頻率表達式中消失的充要條件是彈簧軸線與質(zhì)點軌跡在靜平衡位置處相切.

顯然圖1（b）、1（c）和1（d）滿足上述條件，故而固有頻率表達式不顯含彈簧靜變形．然而，對圖2（a）、圖 2（c）（θ≠90°）、圖 2（d）的3個振子，因彈簧軸線與質(zhì)點的運動軌跡在靜平衡位置不相切，所以固有頻率表達式必然出現(xiàn)彈簧的靜變形．對圖2（b）的振子，若系統(tǒng)參數(shù)很巧，使得彈簧軸線在靜平衡位置與固定圓弧相切，則固有頻率表達式不含彈簧靜變形．

2 重力加速度消失的條件

重力有兩個獨立的效果，第一個效果是決定靜平衡位置，第二個效果是作為回復(fù)力的一部分．重力第一個效果引起了彈簧靜變形，其消失條件就是上節(jié)的結(jié)論：要求彈簧軸線與質(zhì)點運動軌跡相切于平衡位置處．

重力的第二個效果是成為回復(fù)力的一部分．如果質(zhì)點發(fā)生直線運動，比如圖1的4個例子，重力都沒有回復(fù)的效果．然而對單擺，重力則是該振子的前提，因為重力沿擺錘軌跡切線的分量構(gòu)成單擺的回復(fù)力．

下面討論重力無回復(fù)力效果的條件．

重力勢能Epg=mgy，其中y是振動過程中質(zhì)點離平衡位置的垂直高度.同樣以平衡位置為原點，沿質(zhì)點軌跡的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo).對于微幅線性振動，對固有頻率有貢獻的是勢能對s的泰勒展開式的s2項，其系數(shù)為（mg/2）（d2y/ds2）.因此重力對固有頻率沒有貢獻的充要條件是：在平衡位置有

對弧長導(dǎo)數(shù)的幾何意義很難理解，因此我們把式（10）換成對直角坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù).

圖4的虛線是振子質(zhì)點的約束曲線，設(shè)標(biāo)注字母處為質(zhì)點的靜平衡位置.這組靜平衡位置可分為兩類.第一類是A類，過該點的軌跡切線與x軸不垂直，如圖中的A、A1、A2、A3各點.第二類是B類，過該點的軌跡切線與x軸垂直，如圖中的B、B1、B2、B3各點.

圖4　靜平衡位置分類

在A類平衡位置的鄰域，軌跡可以表示成函數(shù)y（x）.條件式（10）可以轉(zhuǎn)化成（見4節(jié)式（17））

當(dāng)然式（12）幾何意義也可以說成是：平衡位置處的質(zhì)點軌跡曲率半徑為無窮大.常見 y=tan x，y=sin x在x=0處就是這樣的情形，它們 x=0處斜率為1，但是曲率半徑為無窮大.

任何一條光滑曲線，當(dāng)曲線弧段比較短時都接近直線.再進一步，在曲率為0處，弧段接近直線的程度更高.在相同的近似精度下，在曲率為 0的附近，曲線能用一條直線近似的范圍要比其他地方長得多.因此曲率為0的平衡位置將更接近圖1的振子情形.

如果y′在平衡位置兩側(cè)改變符號，則式（11）的y″=0就變成了拐點條件.圖5是刻意構(gòu)造的彈簧振子，質(zhì)點 m限制在曲線軌跡 y（x）=x3-6x2-7x+60上運動.調(diào)整振子參數(shù)，使其平衡位置為（2，30），且彈簧軸線在該點與曲線相切.因為曲線 y（x）在（2，30）處曲率為0，故重力加速度不會在這個振子的固有頻率表達式中出現(xiàn).圖5這樣的振子在教材中幾乎不會出現(xiàn)，但是一個科學(xué)結(jié)論則應(yīng)覆蓋盡可能大的范圍.對圖2（b）的振子，因固定圓弧的曲率不為零，即使彈簧軸線與固定圓弧相切，其固有頻率表達式仍含有重力加速度.

圖5　固有頻率不顯含重力加速度的振子

如果y″≡0，軌跡就變成了直線，這就是圖1（c）的情形.

該散熱器主體尺寸為：520×445×220mm，風(fēng)扇轉(zhuǎn)速為2 000r/min，仿真分析液壓模型，系統(tǒng)最終平衡時油箱溫度為71℃。此時散熱器的冷卻功率為8.6kW(圖11)。

在B類平衡位置附近，軌跡可以表示成函數(shù)x（y）.式（10）條件可變?yōu)椋ㄒ?節(jié)式（18））

綜上所述，在平衡位置處，如果質(zhì)點的軌跡沿垂直方向，或者軌跡曲率為零，則重力加速度會從微幅振動的固有頻率表達式中消失．除此之外，都必須考慮重力的貢獻．

4 對弧長的導(dǎo)數(shù)

在第2節(jié)和第3節(jié)中使用了對弧長導(dǎo)數(shù)的若干結(jié)果．就筆者所接觸的資料，未見對弧長導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)介紹和演繹，因而在本節(jié)給出相應(yīng)的論證過程．

4．1坐標(biāo)對弧長的導(dǎo)數(shù)

弧長微元和坐標(biāo)微元的關(guān)系為

因此當(dāng)x（s）和y（x）的兩個函數(shù)存在時

其中y′=dy/dx.

當(dāng)y（s）函數(shù)存在時

式（16）再次對s求導(dǎo)有

對s再次求導(dǎo)有

4．2弦對弧坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)圖3中B和C的兩個點坐標(biāo)分別為（xB，yB）和（x，y）.由勾股定理有

兩邊對弧長l求導(dǎo)得到（約去因數(shù)2）

將式（14）和（16）代入可得

式（19）再次對s求導(dǎo)有

解得

將式（14）—式（17）和式（20）代入式（21）得到

再來考察C點趨近于B點的情形.顯然式（20）和式（21）中y′和y″是C點的導(dǎo)數(shù).為了便于分析，可認為C點不動，而B點趨近于C點.記Δx=x-xB，Δy=y-xB.因為軌跡一般都是光滑的（y″是有界的），所以有

代入式（20）有

展開到Δx二次項有

顯然當(dāng)s趨近于0，有

因而有

4 結(jié)束語

本文研究了兩個有關(guān)聯(lián)的問題，一是彈簧靜變形從固有頻率表達式中消失的條件.理論分析導(dǎo)出該條件為彈簧軸線與質(zhì)點軌跡在靜平衡位置處相切.另一個問題是，重力加速度在什么樣條件下不出現(xiàn)在固有頻率表達式中.

重力對振子固有頻率有兩個效果，一是決定靜平衡位置，從而導(dǎo)致彈簧有靜變形.為了消除彈簧靜變形對振子頻率的影響，進而消除重力對振子頻率的影響，則要求質(zhì)點過靜平衡位置時，彈簧軸線與質(zhì)點軌跡相切.重力的第二個效果是回復(fù)力.為了讓重力沒有回復(fù)力效果，則質(zhì)點軌跡在平衡位置處曲率為零或沿豎直方向.

此外，筆者還推導(dǎo)了坐標(biāo)和弦長對弧長的導(dǎo)數(shù).這是采用弧坐標(biāo)分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

本文只考慮了質(zhì)點振動情形，對含有剛體的振動系統(tǒng)還需要進一步的研究.

［1］ 陳奎孚，蔡春．關(guān)于“對物理教材中兩個概念的討論”中“加減平衡力系”的商榷［J］．物理與工程，2015，25（1）：59-60．

［2］ 陳奎孚，蔡春．僅據(jù)平衡位置為系統(tǒng)彈性勢能零點就能使振子勢能為 kx2／2嗎？［J］．物理與工程，2015，25（2）：52-54．

［3］ 陳奎孚．機械振動教程［M］．北京：中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2014．

［4］ 于開平．結(jié)構(gòu)動力學(xué)［M］．3版．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2015．

［5］ 薛紜．虛功原理與廣義坐標(biāo)［J］．大學(xué)物理，2002，21（4）：3-5．

The sufficient conditions for the spring’s static deformation and gravity acceleration vanishing from the intrinsic frequency expression of a vibrator

CHEN Kui-fu1，CAI Chun2
（1．College of Science，China Agricultural University，Beijing 100083，China；2．College of Arts and Science，Beijing Union University，Beijing 100191，China）

Vibration teaching practice employs a plenty of such kind of examples with the gravity and spring’s static deformation not contributing to intrinsic frequencies．However，there exist indeed counter examples with the gravity and spring’s static deformation playing a role．We investigate the if-and-only-if conditions for the spring’s static deformation and gravity acceleration vanishing from the intrinsic frequency expression．Theoretical analysis shows that the spring’s static deformation vanishes from the intrinsic frequency expression if the spring axis is tangential to the particle trajectory at the static balance position．With this condition satisfied，the gravity acceleration vanishes from the intrinsic frequency expression if the particle trajectory transgressing the static balance position is either vertical or zero curvature．The conclusion is not only benefit to comprehend the significance of the gravity to the intrinsic frequency，but also useful in compiling and creating new examples for vibration teaching practice．

vibration；spring；static deflection；potential energy；intrinsic frequency；curvature

O 321；O 302；TB 123

A

1000-0712（2016）10-0023-05

2015-08-06；

2016-03-03

北京市屬高等學(xué)校高層次人才引進與培養(yǎng)計劃項目（CIT＆TCD201404080）資助

陳奎孚（1969—），男，江蘇泗洪人，中國農(nóng)業(yè)大學(xué)教授，主要從事力學(xué)、振動的教學(xué)和研究工作．

蔡春，E-mail：caichun＠buu．edu．cn