引力波與廣義相對論

趙 崢，劉文彪，張軒中

（1．北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875；2．北京市科學(xué)技術(shù)協(xié)會 蝌蚪五線譜網(wǎng)，北京 100101）

引力波與廣義相對論

趙 崢1，劉文彪1，張軒中2

（1．北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875；2．北京市科學(xué)技術(shù)協(xié)會 蝌蚪五線譜網(wǎng)，北京 100101）

介紹了引力波的廣義相對論理論基礎(chǔ)．介紹如何通過雙星周期的時間改變間接檢測引力輻射，如何利用引力波的偏振效應(yīng)直接檢測引力波．

引力波；廣義相對論；雙星；偏振；LIGO

今年2月11日，美國國家科學(xué)基金會宣布：人類首次探測到了引力波．并宣稱，這次探測到的引力波來自13億年前的2個黑洞的碰撞．這一爆炸性新聞在社會上引起了巨大反響，“引力波”與“黑洞”2個耀眼的名詞同時躍入了廣大讀者的眼簾［1］．

這次探測到的引力波事件，實際發(fā)生在2015年9月14日（因此標記為 GW150914）．有關(guān)研究團隊出于謹慎，對觀測數(shù)據(jù)進行了反復(fù)推敲，直到確認無誤后，才予以公布，所以發(fā)表時間推遲了近5個月．因此可以認為，他們的發(fā)現(xiàn)可信度很高，大多數(shù)科學(xué)家均對這一發(fā)現(xiàn)予以了正面肯定．

引力波的發(fā)現(xiàn)是科學(xué)史上的一件大事，是對愛因斯坦廣義相對論的又一重大驗證．近來，報道這一發(fā)現(xiàn)的文章很多，但一般都不介紹產(chǎn)生和探測引力波的基本原理．這篇文章將向具備大學(xué)物理知識的教師、學(xué)生和一般讀者簡單介紹引力波的理論基礎(chǔ)和現(xiàn)有探測手段的基本原理［2-5］．

1 引力場以光速傳播

1915年，愛因斯坦發(fā)表了廣義相對論，這一理論既可以看作他的狹義相對論的發(fā)展，也可以看作牛頓萬有引力定律的發(fā)展．

廣義相對論認為，萬有引力不同于電磁力等人們熟悉的力，本質(zhì)上是一種幾何效應(yīng)，是時空彎曲的表現(xiàn)．

在牛頓理論中，萬有引力是瞬時傳播的，從一點傳播到另一點不需要時間，也就是說引力的傳播速度可視為無窮大．

在愛因斯坦的廣義相對論中，時空彎曲情況（即萬有引力）的傳播速度不是無窮大，而是與光速相同．

廣義相對論的基本方程是愛因斯坦場方程［2-7］：

方程的左邊表示時空彎曲的情況，是幾何量；其中g(shù)μν是度規(guī)張量，可以簡單理解為萬有引力定律中的引力勢；但引力勢一般只有1個分量，而gμν有16個分量（當(dāng)μ、ν分別取0，1，2，3時.其中0對應(yīng)時間坐標；1、2、3對應(yīng)空間坐標），不過由于對稱性（gμν=gνμ），其中只有10個分量獨立，所以度規(guī)張量所含信息量要多于通常所說的“引力勢”；Rμν和 R分別為里奇張量和曲率標量，它們是由度規(guī)及其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)組成的非線性函數(shù).方程的右邊是物質(zhì)項，Tμν是能量動量張量，由物質(zhì)的能量、動量、能流和動量流組成.式中常數(shù)

其中G是萬有引力常數(shù)，c是真空中的光速.

場方程（1）告訴我們：物質(zhì)的存在和運動如何決定時空的彎曲.人們求解場方程，就是要解出滿足方程（1）的度規(guī)張量 gμν，知道度規(guī)張量就可以算出時空的曲率，從而了解時空彎曲的情況.

考慮到式中張量的對稱性（Rμν=Rνμ，gμν=gνμ，Tμν=Tνμ），場方程（1）是由10個二階非線性偏微分方程組成的方程組.遺憾的是，這10個方程中含有4個恒等式，獨立的方程只剩6個.6個方程無法決定10個未知函數(shù)gμν，于是人們引進所謂“坐標條件”.由4個方程組成的坐標條件，從物理上講就是選擇坐標系.加上坐標條件后，我們就有了10個方程，待求解的函數(shù)也是10個，正好自洽，這一點與電磁學(xué)類似.用電磁四矢Aμ表述的麥克斯韋方程組中含有一個恒等式，因而要引進規(guī)范條件，例如洛倫茲規(guī)范或庫侖規(guī)范.加上規(guī)范條件后就得到了4個方程，用4個方程恰好可以解出4個電磁四矢的分量.所以，廣義相對論中的“坐標條件”也可以視為規(guī)范條件［2-4］.

場方程的非線性耦合很強，很少能求出嚴格解.研究者往往采用近似方法求解，其中一種線性近似方法?？梢栽谝鲚^弱的情況下使用.這種方法是，在時空彎曲得不太厲害的情況下，可以假想度規(guī)張量偏離平直的閔可夫斯基度規(guī)很小，gμν可寫成

其中ημν是平直的閔可夫斯基度規(guī)：

偏離平直情況的函數(shù)hμν很小，即

在廣義相對論中，經(jīng)常采用?？私ㄗh的諧和坐標條件，這個條件決定的時空坐標滿足調(diào)和方程.諧和坐標條件的優(yōu)點是，在引力場趨于零時，可以自動回到平直時空的慣性坐標系.

可以證明，在弱場線性近似式（3）和諧和坐標條件下，場方程（1）可化為

其中，□為達朗貝爾算符，

方程（5）的解為

值得注意的是，這是一個推遲解.它表明，t時刻空間r處的引力場，由此前時刻位于′處的源決定.這就是說，物質(zhì)源的變化所造成的引力場的變化，不是瞬時傳播的，而是以光速傳播的.這種情況與平直時空的電磁場情況類似.在電動力學(xué)中，我們知道，在洛倫茲規(guī)范下麥克斯韋電磁四矢方程可寫為

方程（8）的解恰是我們熟悉的電磁勢的推遲解：

它表明電磁場是以光速傳播的.

2 對引力波的預(yù)言和討論

既然引力場本質(zhì)上是時空彎曲效應(yīng)，這種效應(yīng)又以光速傳播，那么引力源運動、變化所造成的時空彎曲改變也一定會以光速傳向遠方，這就是引力波.愛因斯坦在發(fā)表廣義相對論的第2年（1916年），就預(yù)言了引力波的存在.

不過，很快就弄清楚了：不存在球?qū)ΨQ的引力波，這是因為發(fā)現(xiàn)了一條定理——伯克霍夫定理.它告訴我們，當(dāng)球?qū)ΨQ引力源的外部是真空的時候，如果引力源在變化過程中保持嚴格的球?qū)ΨQ，例如球?qū)ΨQ的膨脹、收縮或脈動（即脹縮交替），則外部時空彎曲的情況將不會隨時間變化，也就是說外部時空會一直保持靜態(tài)，不會有引力波發(fā)出.

對于是否存在非球?qū)ΨQ引力波的探討，也是一波三折.1936年，在研究平面引力波時，愛因斯坦曾一度誤以為不存在引力波，后經(jīng)審稿人指出錯誤后，又改而認為存在柱對稱的引力波［8］.

考慮到地球附近不存在足夠強的、易于觀測到的引力波，一般認為人類可能探測到引力波的波源都距離我們十分遙遠.因此，不管這些引力波的波源具有什么對稱性，誕生時引力波的對稱性如何，強度多大，來到我們附近的引力波都可以近似看作強度很弱的平面波.

下面我們就以平面波為例，來說明引力波的性質(zhì).我們用與電磁波做比較的方式來進行討論.

當(dāng)電流源Jμ為零時，方程（8）化為波動方程.它表明電磁場以波動的方式傳播，傳播速度為光速.同樣，當(dāng)物質(zhì)源Tμν為零時，方程（5）也化成波動方程，這說明引力場與電磁場類似，也以波動方式傳播，引力波的傳播速度也是光速［2-5］.

不難看出，電磁波有2個獨立的極化矢量，且都與波矢垂直，所以電磁波是有兩種獨立極化方式的橫波.研究表明，引力波也只有2種獨立極化方式，而且極化方向也都與引力波的波矢方向垂直.所以，引力波也是有2種獨立極化方式的橫波.

量子電動力學(xué)告訴我們，光量子是靜質(zhì)量為零、自旋為1的粒子.引力場量子化的研究也告訴我們，如果有引力子的話，它也應(yīng)該是靜質(zhì)量為零（“靜質(zhì)量為零”與“傳播速度為光速”是互為因果的）的粒子，但它不是自旋為1的矢量粒子，而是自旋為2的張量粒子.

需要說明的是，迄今為止，引力場量子化的企圖一直未能成功，研究遇到很大困難，這是一個目前正在探討的課題.比較有希望獲得突破的是“超弦”和“圈量子引力”2種方案，感興趣的讀者可參看有關(guān)書籍和文獻.

人類目前對引力波的實驗探測，是把它作為連續(xù)的經(jīng)典波來對待的，還沒有考慮引力波量子化后的性質(zhì).

3 引力波的偏振效應(yīng)

廣義相對論認為，彎曲時空中的自由質(zhì)點（即不受引力之外任何力作用的質(zhì)點），將作慣性運動.彎曲時空中沒有直線，但有直線在彎曲時空中的推廣——測地線.自由質(zhì)點和自由光線就沿測地線作慣性運動.在廣義相對論采用的黎曼幾何中，測地線就是短程線.它是在四維時空中長度取極值的線，但不一定是最短線，還可能是最長線.實際上，對于質(zhì)點，短程線恰是2點間的最長線，而不是最短線，這是不熟悉廣義相對論的人容易誤解的事情.

愛因斯坦建立廣義相對論時，認為他的理論有2個基本方程，一個就是前面說到的場方程（1），它表明“物質(zhì)告訴時空如何彎曲”.另一個是運動方程，即測地線方程：

它表明“時空告訴物質(zhì)如何運動”.式中，τ為固有時，即質(zhì)點自己“經(jīng)歷”的真實時間.叫做聯(lián)絡(luò)，它由度規(guī)及其一階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成，相當(dāng)于牛頓引力論中的“引力場強”．式（10）中，重復(fù)的上下指標代表從 0到3求和，這是愛因斯坦提出的“慣例”，也是他對數(shù)學(xué)做出的一點小貢獻：此規(guī)定省略了求和符號，使方程更加簡潔．

后來的研究表明，從場方程可以推出運動方程，因此，廣義相對論的基本方程歸根結(jié)底只有一個，那就是場方程．

一些人研究了2個相鄰的自由質(zhì)點在彎曲時空中沿測地線運動時，質(zhì)點間的距離如何變化．他們得到了測地偏離方程［2-4］：

此式給出了2個自由質(zhì)點間的相對加速度.注意，這是引力場產(chǎn)生的特別的潮汐效應(yīng)，純粹的慣性力場無此效應(yīng).這是因為“相對加速度”起源于非零的時空曲率，而平直時空中的曲率張量肯定為零.

作為廣義相對論基礎(chǔ)的等效原理告訴我們，引力場與慣性場等效：在時空一點的鄰域，任何物理效應(yīng)都無法區(qū)分引力場與慣性場.但要注意，“等效”僅限于時空一點的鄰域，如果考慮2個以上的時空點，引力場與慣性場肯定可以區(qū)分.2個自由質(zhì)點間的相對距離是否發(fā)生變化，就是區(qū)分引力場與慣性場的方法之一.所以，等效原理是一個局域性原理.

現(xiàn)在我們把測地偏離方程應(yīng)用于平面引力波的研究.

首先讓我們來看一組瞬時相對靜止的自由質(zhì)點（例如都在引力場中自由下落），它們的相對速度為零，即

從式（11）不難看出，這時質(zhì)點間的相對加速度為

或

考慮沿x3軸運動的平面引力波，它的波面處在垂直于x3軸的x1x2平面內(nèi).設(shè)在此平面內(nèi)有一組相對瞬時靜止且排成圓圈的自由質(zhì)點，還有一位處于圓心的自由下落觀測者，觀測者到各點的距離用坐標差δx1和δx2來描述.

在式（3）所示的弱場線性近似下，按照曲率張量的定義，不難算出不為零的、獨立的曲率張量分量僅剩下2個：

式中

式（16）寫成矩陣形式為

上述相對加速度是引力波的極化（偏振）效應(yīng)（四極共振）產(chǎn)生的，是引力波造成的一種潮汐效應(yīng).研究表明，引力波的偏振有2種類型，一般用⊕和?來標記.

即分別決定于h11和h12隨時間的變化.

表1和表2給出了上述2種情況下算出的圓周上各點的相對加速度.圖1和圖2畫出了圓周上各自由質(zhì)點相對加速度的方向，及圓周的形變趨勢［4］.

表1　⊕型偏振，即α＞0，

表2　?型偏振，即α＝0，

圖1中位于正圓周上的自由質(zhì)點，在引力波四極共振下，先是變成左右拉伸、上下壓縮的橢圓，然后退回正圓，再形成上下拉伸、左右壓縮的橢圓，……，這樣反復(fù)交替．圖2中的正圓，也是反復(fù)拉伸壓縮，兩種正交的橢圓不斷交替．顯然，這是一種引力波偏振產(chǎn)生的潮汐加速度所特有的“剪切效應(yīng)”．

圖1　⊕型偏振，即α＞0，

圖2　?型偏振，即　α=0，β＞0

4 引力輻射能的計算

現(xiàn)在我們來介紹引力源對引力能的輻射，也就是計算引力波從輻射源帶走的能量［2，3］．

推遲解式（7）可簡寫為

式中

為引力源物質(zhì)的質(zhì)量四極矩，μ為靜質(zhì)量密度.

式（22）可改寫為

這是在弱場近似下得到的結(jié)果.式（24）表明引力波輻射按多極輻射展開時，最低階為四極輻射，偶極輻射沒有貢獻.實際上，偶極矩部分是決定場源質(zhì)心位置r0的，.由于孤立系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速運動，所以不存在偶極輻射.我們知道，電磁系統(tǒng)是以偶極輻射為主的，四極輻射比偶極輻射弱得多.引力源只產(chǎn)生四極輻射，沒有偶極輻射，所以引力波遠弱于電磁波，探測起來十分困難.

研究引力輻射的另一個重要困難是“能量表述”問題.愛因斯坦等人早就發(fā)現(xiàn)，引力能與電磁能不同，引力場能量的密度不是張量，依賴于坐標系的選擇.在反復(fù)推敲之后，愛因斯坦和托曼提出了一個引力能的表達式，稱之為引力能的愛因斯坦-托曼表述.此表述提出后，蘇聯(lián)的朗道和栗弗席茲指出這種表述存在嚴重缺陷.他們又提出了一個新表述，朗道-栗弗席茲表述.但過了不久，有人指出朗道表述也有缺點，又提出新的表述.然而，不管哪一種表述，都存在嚴重缺點.人們終于認識到，引力場的能量密度不可能嚴格定義，只能定義所謂的準局域能.不過，人們又發(fā)現(xiàn)，以前提出的那些“能量表述”雖然有缺點，但在計算引力輻射時都還可以使用.

各種能量表述的表達式均十分復(fù)雜.例如，純引力場能量-動量的朗道-栗弗席茲表述為［2，3，6］

采用朗道-栗弗席茲表述后，經(jīng)過繁復(fù)的計算，可得到平面引力波的能流密度為

或用四極矩的變化表出

可見，引力輻射的能流密度決定于引力源質(zhì)量四極矩對時間的三階導(dǎo)數(shù).

進一步的計算表明，由于引力輻射，引力源能量的減少可用下式給出

式中ω為引力源的轉(zhuǎn)動角速度，而

為在隨動坐標系中算出的引力源繞x3軸（即引力波前進方向）的轉(zhuǎn)動慣量，而

為赤道橢率.用式（28）可以算出引力源輻射引力波的功率，下面舉幾個例子.

例1 回轉(zhuǎn)對稱球.

例2 以半徑為r的圓周作公轉(zhuǎn)的質(zhì)點m.

由于I=I1=mr2，I2=0，e=1，有

假設(shè)木星（太陽系中最大的行星）的繞日轉(zhuǎn)動可看作上述圓周運動.由于木星公轉(zhuǎn)角速度為ω=1．68×10-8s-1，木星的質(zhì)量為 m=1．9×1030g，公轉(zhuǎn)軌道平均半徑為 r=7．78×1013cm，可算出木星引力輻射的放能率為

相當(dāng)于一個電燈泡射出的能量.所以，太陽系中行星運動產(chǎn)生的引力輻射完全可以忽略不計.

例3 中子星自轉(zhuǎn).

設(shè)一顆質(zhì)量 m=1M⊙（M⊙為太陽質(zhì)量），半徑r=10 km，轉(zhuǎn)動慣量I=1．0×1045g·cm2，自旋角速度為ω=1．0×104s-1的中子星，可算出

中子星自轉(zhuǎn)動能為 1．0×1053erg，只要 e不小于1．0×10-4，中子星的自轉(zhuǎn)動能就會在幾年內(nèi)輻射掉．但由于輻射阻尼的影響，轉(zhuǎn)速會迅速降低，輻射放能率也就會迅速減?。贿^，中子星在形成初期，引力輻射應(yīng)該十分重要．

例4 雙星．

先看圓運動情況．設(shè)雙星運動可近似看作其中一顆以折合質(zhì)量圍繞另一顆作圓周轉(zhuǎn)動．根據(jù)開普勒第三定律

可知轉(zhuǎn)動角速度

R為2顆星的距離，轉(zhuǎn)動慣量為

如果軌道是橢圓，研究表明放能率為

其中

式（36）中，e為偏心率，R為軌道半長軸的長度.對于一般雙星有-dE/dt≈1.0×1029～1.0×1031erg／s，射到地球的能流為1．0×10-13～1．0×10-10erg／（cm2·s）．

5 脈沖雙星的引力輻射

1978年前后，泰勒 （J．H．Taylor）和休 斯（R．A．Hulse）通過對脈沖雙星PSR1913+16（其中至少有一顆星是中子星）的長期觀測，發(fā)現(xiàn)這對雙星的公轉(zhuǎn)周期每年減少約萬分之一秒［9］．他們研究認為，這是雙星公轉(zhuǎn)輻射引力波，造成公轉(zhuǎn)能量損失導(dǎo)致的（圖3）．他們理論計算的結(jié)果與觀測結(jié)果定量符合得很好．他們的工作被認為是發(fā)現(xiàn)引力波的第一個證據(jù)，雖然是間接證據(jù)．

圖3　脈沖雙星輻射引力波

由于沒有看到他們的具體計算過程，我們就用前面講到的方法做了一下計算，可以得到與他們相近的結(jié)果［2，3，10-12］．

設(shè)雙星在 x-y平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，取質(zhì)心坐標系，m1、m2為兩顆星的質(zhì)量，d為兩顆星的距離.從萬有引力定律可以得到雙星運動的軌道方程

式中a為橢圓軌道的半長軸，e為偏心率，ψ為公轉(zhuǎn)角.

用式（23）可算出雙星系統(tǒng)的非零四極矩

從開普勒第二定律（面積定律）可知，雙星公轉(zhuǎn)角速度為

用式（27）可算出系統(tǒng)的放能率為

再用式（38）—式（40）算出質(zhì)量四極矩的三階導(dǎo)數(shù)，并把它們代入式（41），可算出雙星在一個公轉(zhuǎn)周期內(nèi)的平均輻射功率為

利用開普勒第三定律可算出公轉(zhuǎn)周期變化率 T·b與輻射功率的關(guān)系

f（e）如式（37）所示.式中m1為主星質(zhì)量，m2為伴星質(zhì)量，a1由下式給出

把泰勒等人公布的觀測數(shù)據(jù)代入，可得引力輻射導(dǎo)致的周期減小的理論計算值為

他們對周期減少的直接觀測值為

以上是我們1980年的計算結(jié)果，理論值與觀測值的誤差約28%［10，11］．1981年，胡寧、章德海、丁浩剛用不同的方法在朗道表述和適當(dāng)?shù)淖鴺藯l件下，也算出了與觀測基本一致的結(jié)果［12］．1984年，鄭玉昆用多種能量表述作了計算，也得到相似的結(jié)果［13］．可見，上述計算的結(jié)果與“能量表述”無關(guān)．所以，雖然各種能量表述均有缺點，但用來計算引力輻射還都可以使用．

1989年，泰勒等人得到精確度更高的結(jié)果

1993年，休斯和泰勒由于“對脈沖雙星的研究開創(chuàng)了研究引力的新途徑”，而獲得了諾貝爾物理獎．為慎重起見，諾貝爾獎評委會未明確說明，真正的頒獎原因是“他們的觀測證實了引力波的存在．”一般認為，休斯與泰勒對脈沖雙星周期變化的研究結(jié)果，是引力波存在的一個可靠的間接證據(jù)．

6 引力波的探測

目前認為，宇宙中可能存在的引力波源，有以下幾種情況［14］．

1）兩顆致密星相互靠近，直至碰撞、合并．

這兩顆致密星，有可能是兩顆中子星，也有可能是兩個黑洞，或者一顆中子星與一個黑洞．它們圍繞共同的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，不斷輻射出引力波，而自身的引力勢能不斷減少，旋轉(zhuǎn)周期不斷減?。缜懊嬲劦降拿}沖雙星PSR1913+16就是這種情況．

隨著公轉(zhuǎn)周期的減小，相互旋轉(zhuǎn)的兩顆致密星會越來越靠近．研究表明，它們會接觸、碰撞、合并，同時釋放出大量引力波．例如這次探測到的GW150914事件，就很可能是兩個黑洞合并而釋放出的引力波造成的．研究表明，這次事件很可能是13．4億年前，兩個黑洞（質(zhì)量分別為36M⊙和29M⊙）合并成為一個質(zhì)量為62M⊙的黑洞造成的．在此過程中，有大約3M⊙的黑洞質(zhì)量轉(zhuǎn)化成了引力輻射能，形成強大的引力波信號．

2）非對稱中子星

如前文所述，非對稱（e≠0）的快速旋轉(zhuǎn)的中子星，在誕生初期，會產(chǎn)生極強的引力輻射，輻射阻尼使中子星轉(zhuǎn)速很快減慢，引力輻射隨之逐漸減弱．

3）超新星爆發(fā)

研究表明，超新星的非球?qū)ΨQ猛烈爆發(fā)，有可能產(chǎn)生很強的引力波．

4）原初引力波

在宇宙誕生的初期，由于初始的大爆炸，特別是隨后的暴脹過程，會有原初引力波產(chǎn)生．這種原初引力波會與其他物質(zhì)（宇宙微波背景輻射）產(chǎn)生相互作用，形成某些可觀測的遺跡，保留到今天．

前面談到的脈沖雙星 PSR1913+16的周期變化，是人類第一次用間接的方法探測到引力波．那么有沒有直接探測引力波的方法呢？這就需要提到以美國的LIGO為代表的地面引力波探測實驗了［15］．

實際上，早在上世紀60年代，美國物理學(xué)家韋伯，就試圖利用引力波的偏振在大型金屬圓柱體內(nèi)造成的四極共振效應(yīng)（力學(xué)效應(yīng)），來探測引力波（圖4）．他在相距1000 km的兩個地方設(shè)置了同樣的裝置．1969年他曾宣布收到頻率為1660 Hz的來自銀河系中心的引力波，但此后無法重復(fù)，最終結(jié)論被否認．今天看來，韋伯測到的信號肯定不是引力波［2，3，16］．

LIGO也是利用引力波偏振造成的四極共振來探測引力波，不過它不是直接觀測力學(xué)效應(yīng)，而是觀測精度更高的激光干涉效應(yīng)．為此，美國在東南部的路易斯安那州的利文斯頓和西北部的華盛頓州的漢福德建造了兩座激光干涉引力波觀測臺（圖5），它們之間的直線距離大約有3 000 km．在LIGO的這兩個觀測臺上各有一個L形真空管探測臂，兩條臂長度各4 km（此外，在漢福德還有另外一臺臂長2 km的激光干涉儀）．每一座觀測臺實際上是一架邁克爾孫干涉儀，在兩臂相交處有一個半透明半反射的鏡片．在管的兩端有反射鏡，讓激光束在鏡面之間來回反射，以增加激光干涉的有效距離．因為存在光的來回反射，因此這一光學(xué)裝置也可以看成由2個相互垂直的“FP（法布里-珀羅）干涉腔”組成．

圖4　韋伯與他的引力波探測器

圖5　位于美國東南部路易斯安那州和西北部華盛頓州的兩座激光干涉引力波觀測臺

LIGO在相隔3000 km設(shè)兩個觀測臺，是為了排除地球上的地震、雷擊和火車行駛、飛機飛行等各種干擾因素，因為這些因素不可能在兩地同時發(fā)生．而且，引力波的傳播速度是有限的，可以通過兩地的探測器探測到的引力波信號的時間差，來推斷出引力波源的空間方位，并順便驗證一下引力波傳播速度是光速的理論預(yù)期．

如果有引力波通過 LIGO，引力波的偏振效應(yīng)（即圖1與圖2所示的“剪切效應(yīng)”）造成時空畸變，會使相互垂直的探測臂一個伸長、一個縮短，不斷交替（圖6），這樣就會引起光的干涉條紋的變化，從而被光電檢測器探測到此變化的光學(xué)信號．通過這個變化的光學(xué)信號的理論分析，可以推論出到底是什么樣的天體物理過程發(fā)射了該引力波．這一理論分析所依賴的模型是EOBNR模型［1］．

圖6　LIGO的工作原理示意圖

本次觀測中，讓激光在干涉儀中反射了400次，相當(dāng)于把臂長（光路）加長到了1 600 km．這樣，本次引力波引起的光路長度變化為質(zhì)子半徑（1．0×10-15m）的千分之一，即 1．0×10-18m．LIGO的靈敏度在2015年9月升級后達到1．0×10-23，恰好可以探測到這樣的引力波信號．

LIGO設(shè)在利文斯頓的干涉儀首先收到信號，7 ms后漢福德的干涉儀也收到了這一信號．7 ms基本上是引力波以光速從利文斯頓到達漢福德所需的時間．這大大加強了本次觀測的可信度［17］．這次收到的信號，頻率從剛開始的35 Hz上升到250 Hz，振幅很快達到最大值，然后頻率基本保持不變，振幅逐漸減小，最后信號消失．信號持續(xù)時間約0．2 s（圖7）．

這非常像2個巨大的致密天體在相互圍繞旋轉(zhuǎn)中逐漸靠近、并合而發(fā)出的引力波（圖8）．在與事后用EOBNR理論模型計算，以及數(shù)值相對論模擬得到的大量各種參數(shù)的黑洞碰撞、并合的數(shù)據(jù)進行匹配對比后，LIGO團隊認為，他們觀測到的信號，可以用2個大質(zhì)量黑洞（分別為36M⊙與29M⊙）并合為1個黑洞（62M⊙）時發(fā)射的引力波來解釋．LIGO團隊是在反復(fù)推敲他們的觀測數(shù)據(jù)后，才正式發(fā)表觀測結(jié)論的．所以，他們這次得到的引力波的報導(dǎo)是十分可信的．

LIGO激光干涉引力波探測器是目前地球上長度最長的地面引力波探測裝置．除了LIGO，在歐洲還有Virgo，在日本還有KAGRA等規(guī)模小一些的地面引力波探測激光干涉儀，而且印度也將投資建設(shè)LIGO-India地面引力波探測激光干涉儀．

圖7　LIGO收到的引力波信號

圖8　產(chǎn)生引力波信號的黑洞并合模型

圖9　空間引力波探測裝置示意圖

除了地面引力波探測裝置，是不是還有衛(wèi)星上的空間引力波探測裝置呢？有，這就是原來的LISA計劃（當(dāng)時美國航天局還沒有退出）和目前縮小了的eLISA計劃．eLISA計劃由歐洲空間局主導(dǎo)，其技術(shù)方案是將3對探測器送入太空，讓它們組成等邊三角形，相鄰兩對探測器之間的距離大約為5×106km，它們在地球后面以 20°的夾角一起繞太陽運行．3對探測器之間用激光精確測量距離．如果有引力波傳來，它會擠壓時空，使3對探測器之間的距離發(fā)生微小的變化．靈敏的激光干涉儀可測出一個原子直徑大小的位移．由于它們所占的地域比地球上的探測器大得多，因而可能探測到波長更長、頻率更低的引力波．

圖10　利用脈沖星計時陣列探測引力波的示意圖

除去用激光干涉儀探測之外，脈沖星計時陣列也可用來探測引力波（圖10）［14，18］．因為脈沖星具有穩(wěn)定精確的脈沖周期，引力波的到來會改變脈沖星到地球的距離，從而使我們觀測到脈沖星的脈沖周期發(fā)生變化．歐洲、北美、日本和澳大利亞都在做這方面的探測準備．

圖11　西藏阿里天文臺

中國目前有由中國科學(xué)院主導(dǎo)的“太極計劃”和中山大學(xué)主導(dǎo)的“天琴計劃”，其基本思想與eLISA類似，也是發(fā)射三顆衛(wèi)星到天上去探測引力波．當(dāng)然，“太極計劃”還有一個備份方案，那就是中國直接參與eLISA計劃，與歐洲合作來探測空間引力波．此外，還有中科院高能物理所主導(dǎo)的“阿里計劃”．該計劃準備進一步建設(shè)在西藏阿里地區(qū)的天文臺，使之能夠用來探測原初引力波（圖11）．此外，還有清華大學(xué)、北京師范大學(xué)、中國科技大學(xué)和中科院高能物理所等單位分別主導(dǎo)或參加的其他探測計劃．目前“太極計劃”、“天琴計劃”和“阿里計劃”等的最終實施細節(jié)還需要等待中國政府高層領(lǐng)導(dǎo)的決策．中國科學(xué)院已經(jīng)先期支持了自己單位領(lǐng)銜的引力波探測計劃，有的已經(jīng)撥出專項研究經(jīng)費．

［1］ Abbott B P，et al．The LIGO Scientific Collaboration，Virgo Collaboration．Observation of gravitational waves from a binary black hole merger［J］．Physical Review Letter，2016，116（6）016102． Doi：10．1103／Phys-RevLett．116．016102．

［2］ 劉遼．廣義相對論［M］．2版．北京：高等教育出版社，2008．36-144

［3］ 趙崢，劉文彪．廣義相對論基礎(chǔ)［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2010：16-71，102-121．

［4］ 梁燦彬，周彬．微分幾何入門與廣義相對論［M］．2版．北京：科學(xué)出版社，2006：188-245．

［5］ 溫伯格 S．引力論和宇宙論［M］．鄒振隆，張厲寧，等譯．北京：科學(xué)出版社，1980．187-194，287-341．

［6］ 朗道，栗弗席茲．場論［M］．魯欣，任朗，袁炳南，譯．鄒振隆，校．北京：高等教育出版社，2012：313-318，383-397．

［7］ Misner C W，Thorne K S，Wheeler J A．Gravitation［M］．SanFrancisco：FreemanWHCompany，1973：941-1044．

［8］ 劉寄星．愛因斯坦和同行審稿制度的一次沖突［J］．物理，2005，34：487．

［9］ Huse R A，Taylor J H．Discovery of a pulsar in a binary system［J］．Neutron stars，black holes，and binary X-ray sources，1975，48：433．

［10］ 桂元星，趙崢，劉遼．PSR1913+16的重力輻射．北京師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）1980（3-4）：67．

［11］ 劉遼．劉遼文集［M］．長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2008：30-37．

［12］ 胡寧，章德海，丁浩剛．雙星放射引力輻射的阻尼力［J］．物理學(xué)報，1981，30（8）：1003．

［13］ 鄭玉昆．關(guān)于引力場的能量問題［J］．物理學(xué)報，1981，30（1）：46．

［14］ 郭宗寬，蔡榮根，張元仲．引力波探測：引力波天文學(xué)的新時代［J］．科技導(dǎo)報，2016，34（3）：30．

［15］ Abramovici A，Althouse W E，Drever R W P，et al．LIGO：Thelaserinterferometergravitationalwave observatory［J］．Science，1992，256（5055）：325-333．

［16］ Weber J．Evidence for discovery of gravitational radiation［J］．Phys Rev Lett，1969，22：1320-1324．

［17］ 姬揚．引力波來了（編譯自 Sung Chang，Physics Today，2016（4）：14）［J］．物理，2016，45（4）：260．

［18］ Sesana A，Vecchio A．Gravitational waves and pulsar timing：stochastic background，individual sources and parameterestimation ［J］．ClassicalandQuantum Gravity，2010，27（8）：084016．

編者按：在大學(xué)物理教學(xué)中一般只討論勢能不隨時間變化的功能原理，勢能隨時間變化的功能原理很少涉及，因此學(xué)生在遇到此情況時可能犯錯誤，甚至有些老師也不能免．朱如曾先生對此問題作了詳盡說明，并給出實例，是一篇值得注意的文章．

Gravitational wave and general relativity

ZHAO Zheng1），LIU Wen-biao1），ZHANG Xuan-zhong2）
（1．Department of Physics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China；2．Beijing Science and Technology Association，Beijing 100101，China）

The theory about gravitational wave is introduced based on the general relativity．We introduce how to detect indirectly gravitational radiation by means of the time rate variation of the period of binary star and how to directly detect gravitational waves by means of the polarization of the wave．

gravitational wave；general relativity；binary star；polarization；LIGO

O 412．1

A

1000-0712（2016）10-0001-10

2016-05-10

國家自然科學(xué)基金項目（11235003）資助

趙崢（1943—），男，江西萍鄉(xiāng)人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師，主要從事理論物理的教學(xué)和研究工作．