量子拜占庭協(xié)議中的糾纏態(tài)探測(cè)

武霞，賈恒越，朱建明

（中央財(cái)經(jīng)大學(xué)信息學(xué)院，北京 100081）

量子拜占庭協(xié)議中的糾纏態(tài)探測(cè)

武霞，賈恒越，朱建明

（中央財(cái)經(jīng)大學(xué)信息學(xué)院，北京 100081）

在分布式計(jì)算系統(tǒng)中，拜占庭協(xié)議是解決其容錯(cuò)問題的一種實(shí)用方法。拜占庭問題有一種演變形式，稱之為檢測(cè)的拜占庭協(xié)議。這類協(xié)議在經(jīng)典世界中無法解決容錯(cuò)問題，但在量子系統(tǒng)中利用糾纏態(tài)卻可以。GBKCW協(xié)議是一種典型的量子檢測(cè)拜占庭協(xié)議。針對(duì)GBKCW協(xié)議中數(shù)據(jù)列表的生成和分發(fā)部分，利用量子糾纏態(tài)的確定性，探測(cè)了參與者共享的量子態(tài)，以抵御針對(duì)GBKCW的截獲重發(fā)攻擊。

檢測(cè)的拜占庭協(xié)議；GBKCW協(xié)議；量子系統(tǒng)；糾纏態(tài)的確定性

1 引言

在分布式計(jì)算系統(tǒng)中，只有每一個(gè)組件都協(xié)調(diào)合作，整個(gè)系統(tǒng)才能正常運(yùn)行。但現(xiàn)實(shí)生活中，分布式系統(tǒng)的某些組件出現(xiàn)問題的情況難以避免，如有問題的組件可能發(fā)送無效或錯(cuò)誤的信息給系統(tǒng)中其他的組件。如果這種情況發(fā)生，那么將威脅系統(tǒng)的正常運(yùn)作。而拜占庭協(xié)議[1,2]就是一種解決分布式系統(tǒng)容錯(cuò)問題的實(shí)用的方法。

詳細(xì)地說，最簡(jiǎn)單的拜占庭問題具體可被描述如下[3]。有3路拜占庭軍隊(duì)，分散駐扎于敵軍城外，其中每一支軍隊(duì)都有一個(gè)將軍，稱他們?yōu)锳、B、C。將軍們彼此之間可以通信來傳遞消息，他們想通過傳遞消息來達(dá)成一致的行動(dòng)計(jì)劃，即攻擊或撤退。指揮官將軍A決定了一個(gè)計(jì)劃，并且將他的計(jì)劃發(fā)送給了B和C，接下來B和C交換他

們手中收到的消息，來保證行動(dòng)計(jì)劃的一致性。然而在他們中可能有將軍已經(jīng)被敵軍收買，變成了叛徒（包括指揮官 A），他試圖阻止所有誠實(shí)的將軍們達(dá)成一致的行動(dòng)計(jì)劃。拜占庭問題是指設(shè)計(jì)滿足下面2個(gè)條件的協(xié)議：1) 所有誠實(shí)的將軍們執(zhí)行同一個(gè)計(jì)劃；2) 如果指揮官將軍A是誠實(shí)的，那么所有誠實(shí)的將軍都遵守A所制定的行動(dòng)計(jì)劃。

3個(gè)將軍的拜占庭問題是無解的[4,5]，除非將軍們事先分享某些合適的私人數(shù)據(jù)。即每個(gè)將軍必須擁有不為其他將軍所知的數(shù)字列表，但這個(gè)數(shù)字列表還要與其他將軍的數(shù)字列表有適當(dāng)?shù)年P(guān)聯(lián)關(guān)系。因此解決拜占庭問題可以簡(jiǎn)化為解決生成和安全分發(fā)這些列表的問題。然而，無論在經(jīng)典世界還是量子世界中，都沒有方法來保證所需要的數(shù)字列表分發(fā)成功。然而3個(gè)將軍的拜占庭問題可以產(chǎn)生一類演化問題，稱之為檢測(cè)的拜占庭協(xié)議或者檢測(cè)廣播[3,6～14]，這種條件放松后的拜占庭協(xié)議，利用經(jīng)典方法無法解決，但是利用量子資源——量子糾纏態(tài)卻可以。在檢測(cè)的拜占庭協(xié)議中，條件 1)和 2)放松為：1') 所有誠實(shí)的將軍要么執(zhí)行相同的計(jì)劃，要么終止行動(dòng)；2') 如果A是誠實(shí)的，那么每個(gè)誠實(shí)的將軍要么遵守A所制定的計(jì)劃，要么終止行動(dòng)。而達(dá)成這個(gè)協(xié)議，所依賴的就是量子世界所獨(dú)有的性質(zhì)。

眾所周知，量子力學(xué)是20世紀(jì)物理學(xué)中最偉大的進(jìn)展之一[15,16]，它能夠解釋許多經(jīng)典物理所不能解釋的現(xiàn)象[17]。量子系統(tǒng)中，存在一種被我們所熟知的量子態(tài)，即量子糾纏態(tài)[18]。量子力學(xué)不同于經(jīng)典物理，最神奇的特征就是量子糾纏，糾纏反映了量子理論的本質(zhì)。而與經(jīng)典信息論中的信息資源截然不同的是，糾纏是一種嶄新的量子資源，一些利用經(jīng)典手段所不能實(shí)現(xiàn)的任務(wù)卻可以利用糾纏來實(shí)現(xiàn)。因此利用量子糾纏可以實(shí)現(xiàn)許多令人驚嘆的應(yīng)用，如單向量子計(jì)算[19,20]、量子密鑰分發(fā)[21,22]、量子隱形傳態(tài)[23]。本文介紹的檢測(cè)拜占庭協(xié)議，也是量子糾纏態(tài)的一次非常完美的應(yīng)用。

一般的量子檢測(cè)的拜占庭協(xié)議包括 2個(gè)部分。第一部分主要給3個(gè)將軍生成和分配數(shù)據(jù)列表，在這一部分中主要利用的就是量子糾纏態(tài)特殊的性質(zhì)。這一部分最重要的是檢測(cè)糾纏態(tài)，即3個(gè)將軍采取適當(dāng)?shù)姆椒?，來確認(rèn)他們之間分配的量子糾纏態(tài)是協(xié)議第二部分中所用到的那個(gè)態(tài)。第二部分是協(xié)議的主體部分，一旦3個(gè)將軍擁有了各自的數(shù)字列表，在協(xié)議的第二部分中，他們利用這些數(shù)字列表，并結(jié)合雙向經(jīng)典通信來達(dá)成一致行動(dòng)。

由此可見，分發(fā)和檢測(cè)量子態(tài)在量子檢測(cè)拜占庭協(xié)議中至關(guān)重要，本文提出一種新的檢測(cè)拜占庭協(xié)議中量子態(tài)的方法，即利用量子糾纏態(tài)的確定性。

量子糾纏態(tài)的確定性問題，是量子糾纏理論研究中最重要的問題之一[24～29]。在這個(gè)問題中，人們主要研究量子糾纏態(tài)與其子系統(tǒng)的約化密度矩陣之間的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。簡(jiǎn)而言之，對(duì)幾乎所有的量子態(tài)，它們都可以由其約化密度矩陣唯一確定。本文利用三體糾纏態(tài)可以由其兩體約化密度矩陣所唯一確定的性質(zhì)，來討論GBKCW協(xié)議第一部分有關(guān)量子態(tài)探測(cè)的問題。

2 準(zhǔn)備知識(shí)

2.1 拜占庭將軍問題

分布式計(jì)算的一個(gè)基本目標(biāo)是：即使在某些分布式進(jìn)程失敗的情況下，分布式計(jì)算依舊能夠進(jìn)行。這要求無故障組件在收到受干擾信息的時(shí)候依舊能夠達(dá)成一個(gè)一致性協(xié)議。解決這樣任務(wù)的問題被簡(jiǎn)稱為拜占庭將軍問題，也稱為拜占庭協(xié)議。拜占庭協(xié)議簡(jiǎn)要描述如下。

有3路拜占庭軍隊(duì)包圍了一座敵軍城市，每一路軍隊(duì)都由一個(gè)將軍帶領(lǐng)，分別為A、B、C。將軍只能通過消息進(jìn)行相互通信（通過雙方認(rèn)證無錯(cuò)經(jīng)典信道）。通過消息通信，將軍們必須決定一個(gè)一致的計(jì)劃：攻擊，用0表示；撤退，用1來表示。指揮官將軍A決定了一個(gè)計(jì)劃，并且將他的計(jì)劃傳遞給將軍B和C，傳遞給將軍B的消息記為ABm ，傳遞給將軍C的消息記為ACm 。接下來，B將其消息BCm 傳遞給 C來進(jìn)行行動(dòng)計(jì)劃的溝通，C也將消息CBm 傳遞給將軍B。然而，其中一個(gè)（有且僅有一個(gè)）將軍（包括 A）有可能是叛徒，試圖阻止誠實(shí)的將軍們達(dá)成同一個(gè)計(jì)劃。對(duì)于誠實(shí)的將軍C來說，會(huì)出現(xiàn)下面2種情況。

1) 將軍B是叛徒。指揮官A發(fā)給將軍B和C同樣的消息， mAB= mAC=1。B收到消息后為了干擾將軍C，他將A傳來的消息進(jìn)行了修改，因此他傳遞給C的消息是 mBC= 0，而C傳遞給B的消息是正確的，即 mCB= mAC=1。在這種情況下，可以看出將軍C收到了2個(gè)互相矛盾的消息，0和1。

2) 指揮官A是叛徒，他發(fā)送給B的消息為mAB=0，發(fā)送給C的是 mAC=1。因?yàn)橹荒苡幸粋€(gè)叛徒，此時(shí)將軍B和C都是誠實(shí)的，B把從A那里收到的消息發(fā)送給C，mBC= mAB=0，C傳遞給B的消息為 mCB= mAC=1。在這種情況下，將軍C又收到2個(gè)互相矛盾的消息，0和1。

眾所周知，解決拜占庭問題可以簡(jiǎn)化為解決生成和安全分發(fā)數(shù)字列表的問題，而根據(jù)量子力學(xué)的性質(zhì)，人們已經(jīng)提出了多種生成和安全分發(fā)所需數(shù)字列表的方法。迄今為止，這些方法有的基于三體三維單重量子態(tài)[3]，有的基于四量子比特糾纏態(tài)[6,7,9]，有的基于3個(gè)或者2個(gè)量子密鑰分發(fā)信道[12]，有的利用單體三維量子態(tài)[10]，還有的利用Hardy爭(zhēng)論問題[11]。Hardy爭(zhēng)論反證了量子關(guān)聯(lián)的一種局域隱變量描述，它是沒有不等式的Bell理論的一種形式。

本文主要討論的是GBKCW協(xié)議中四量子比特糾纏態(tài)的一種新穎的探測(cè)方法，即利用糾纏態(tài)的確定性。

2.2 量子糾纏態(tài)的確定性

量子糾纏理論主要研究糾纏的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，及其刻畫、操縱和度量。人們?cè)噲D從很多視角來理解多體量子糾纏態(tài)，其中的一種方法就是將糾纏看成是整個(gè)量子態(tài)與其子系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)，即從部分和整體的角度來看待量子糾纏。人們也稱之為量子糾纏態(tài)的確定性。

詳細(xì)地說，給定多體量子純態(tài)的一部分，其中，部分是指子系統(tǒng)的約化密度矩陣，那么，從部分中能夠獲得關(guān)于整個(gè)量子態(tài)什么樣的信息？這就是量子糾纏態(tài)的確定性問題。

在量子糾纏態(tài)的確定性問題中，想要計(jì)算一個(gè)給定的n體量子態(tài)ψ，到底可以被其幾體約化密度矩陣的集合所唯一確定。給定一個(gè)n體量子態(tài)ψ，很容易可以求出它的任意約化密度矩陣，不妨設(shè)ψ的所有約化密度矩陣的集合為R，但是如果已知的是約化密度矩陣的子集R ′? R，那么是不是還有其他的量子態(tài)ψ′，其相應(yīng)約化密度矩陣集合跟R′一致？如果存在這樣其他的量子態(tài)，那么稱ψ不能被R′所唯一確定；反之，則稱ψ由R′所唯一確定，并且R′稱為ψ的確定集。

由于這個(gè)問題的解決與探究糾纏有密切的關(guān)系，因此近10年來獲得了很多關(guān)注，并且取得了一些很好的結(jié)論。

對(duì)GBKCW協(xié)議中所描述的3個(gè)將軍的量子檢測(cè)拜占庭協(xié)議，至關(guān)重要的一步是3個(gè)將軍探測(cè)他們之間共享的到底是不是某個(gè)特定的四粒子糾纏態(tài)。而通過將軍之間彼此將其擁有的量子比特傳遞給對(duì)方，然后檢測(cè)手中所具有的新的二體量子態(tài)，最后與四粒子糾纏態(tài)相應(yīng)二體量子態(tài)進(jìn)行對(duì)比的方法，提供一種新穎的量子態(tài)探測(cè)方式。在這之前，需要首先回憶GBKCW協(xié)議中探測(cè)的拜占庭協(xié)議的第二部分，然后再分析協(xié)議第一部分中糾纏態(tài)的探測(cè)問題。

3 檢測(cè)的拜占庭協(xié)議

拜占庭問題已經(jīng)被證明是不可解決的問題，除非每個(gè)將軍都有不被其他將軍所知的數(shù)字列表，并且自己擁有的數(shù)字列表與其他將軍手中的列表之間有合適的關(guān)聯(lián)關(guān)系。因此，解決拜占庭問題可以簡(jiǎn)化為解決生成和安全分發(fā)這些列表的

問題。利用量子協(xié)議就能檢測(cè)分發(fā)的安全性，然而，一旦有了攻擊，就沒有可用的秘密列表，并且整個(gè)通信必須終止。在這種情況下，拜占庭協(xié)議有一種演變形式，稱之為檢測(cè)的拜占庭或檢測(cè)廣播。在檢測(cè)的拜占庭協(xié)議中，需要滿足下面 2個(gè)新的條件：1')所有誠實(shí)的將軍要么執(zhí)行相同的計(jì)劃，要么終止行動(dòng)；2')如果A是誠實(shí)的，那么每個(gè)誠實(shí)的將軍要么遵守A所指定的計(jì)劃，要么終止行動(dòng)。這個(gè)協(xié)議在經(jīng)典世界是不能完成的，在量子領(lǐng)域卻可以。而達(dá)成這個(gè)協(xié)議，所依賴的就是量子世界所獨(dú)有的性質(zhì)。

GBKCW協(xié)議中，檢測(cè)的拜占庭協(xié)議分為2個(gè)部分。第一部分的目標(biāo)是利用一種特殊的四量子比特糾纏態(tài)的相關(guān)性質(zhì)，生成并且分發(fā)3個(gè)數(shù)據(jù)列表，其中，A手中的列表記為Al，B、C手中的數(shù)據(jù)列表分別為Bl和Bl。一旦將軍們手中有了這些列表，在協(xié)議的第二部分，他們利用這些列表和雙向經(jīng)典通信來完成協(xié)議，達(dá)成一致的計(jì)劃或檢測(cè)出說謊者。

詳細(xì)地說，列表Al、Bl和Cl具有下面的性質(zhì)。

性質(zhì)1 3個(gè)列表長度相等。Al中的元素是集合{0,1,2}的任意一個(gè)元素。Bl和Cl的元素在比特0,1中任意選取。

性質(zhì) 3 除了能從自己的列表中根據(jù)性質(zhì) 1和性質(zhì)2所推斷出的，每個(gè)將軍都不知道其他將軍的列表內(nèi)容。

例如，如果將軍A發(fā)現(xiàn)自己手中第j位的元素是0，即lAj= 0，那么根據(jù)3個(gè)將軍之間列表的性質(zhì)，他可以推斷出將軍B、C相應(yīng)位置上的元素也必定是 0。而如果 lAj= 2，此時(shí)他推斷不出B、C位置上的元素。對(duì)于將軍B來說，如果他發(fā)現(xiàn)lBj= 0，那么他只能推斷出lAj= 0或lAj= 2，而 lCj等于0或1。即此時(shí)他也無法判斷別的將軍手中的粒子是幾。

為了簡(jiǎn)化協(xié)議第二部分的討論，本文只站在C的角度來分析，因?yàn)锽和C的角色是完全對(duì)稱的，因此本文對(duì)于將軍C出現(xiàn)的情況，完全適用于B，反之亦然。

協(xié)議部分如下。

1) 當(dāng)指揮官A發(fā)送消息ABm （0或1）時(shí)，隨之一起發(fā)送的還包括其他的數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)必須與消息本身有關(guān)，并且只為A所知。為了達(dá)成這個(gè)目的，A同樣發(fā)送一個(gè)數(shù)據(jù)列表ABl給B，這個(gè)列表中包含Al中出現(xiàn)比特ABm 的所有位置。之后如果A誠實(shí)，他會(huì)遵守自己發(fā)送的計(jì)劃。

舉例來說，假設(shè)

A要發(fā)送消息0。如果指揮官A誠實(shí)，那么他會(huì)發(fā)送 mAB= mAC= 0，同時(shí)發(fā)送lAB= lAC= {2,3,8,10}。

當(dāng)B收到 mAB和 lAB，只會(huì)產(chǎn)生2個(gè)結(jié)果。

①若 lAB的長度合適（根據(jù)性質(zhì)1，可知 lAB長度大約是數(shù)據(jù)列表l的1），并且 m 、l 和l確

A3ABABB實(shí)滿足性質(zhì)2，那么此時(shí)稱數(shù)據(jù)（即 mAB、 lAB和lB）一致。如果數(shù)據(jù)一致，那么B將服從計(jì)劃 mAB，除非在協(xié)議的下一步2)中，將軍C使他相信A是叛徒。

例如，將軍B收到 mAB= 0,lAB= {2,3,8,10}，他首先發(fā)現(xiàn) lAB的長度合適，為4。接下來檢查lB中的比特在位置 lAB上確實(shí)都為0，此時(shí)數(shù)據(jù)一致。

②若 mAB、lAB和lB不一致，那么B確認(rèn)A是叛徒。B將不采取任何行動(dòng)，直到在協(xié)議的下一步與C達(dá)成一致的計(jì)劃。

例如，B收到 mAB= 0，lAB= {2,3,7,10}，此時(shí)數(shù)據(jù)不一致。因?yàn)锳在位置7不可能為0。

2) B將自己收到的數(shù)據(jù)傳遞給C。消息BCm 不僅可以為0或者1，還可以為“⊥”，表示“我收到了不一致的數(shù)據(jù)”。而如果B收到的消息為0或者1，他發(fā)送給C其他的數(shù)據(jù)來表明BCAB=m m 。為了這個(gè)目的，B同樣發(fā)送一個(gè)列表BCl給C，并且聲稱這與從A處收到的ABl一樣。

當(dāng)C收到來自B的BCm 、BCl或者“⊥”，他手頭早已收到來自A的ACm 和ACl。接下來，羅列在C手中的信息到底會(huì)出現(xiàn)多少種可能。

對(duì)于來自A的信息，只有2種可能情況。

①A1：ACm 、ACl、Cl一致。

②A2：ACm 、ACl、Cl不一致，即“⊥”。

對(duì)于來自B的信息，有以下4種情況。

①B1： mBC、lBC、lC一致，且 mBC= mAC。

②B2： mBC、lBC、lC一致，且 mBC≠ mAC。

③B3：“⊥”，即B告訴C，他已經(jīng)知道A是叛徒。

④B4：BCm 、BCl、Cl不一致。

下面對(duì)以上情況進(jìn)行排列組合。

如果C手中的信息是A1B1，此時(shí)沒有叛徒，3個(gè)將軍達(dá)成了相同的行動(dòng)計(jì)劃，C服從計(jì)劃mAC=mBC。

如果C手中的信息是A1B2，那么C可以斷定指揮官A是叛徒，他只需執(zhí)行事先與B商定好的行動(dòng)計(jì)劃。這是因?yàn)锳是唯一能夠發(fā)送一致數(shù)據(jù)給B和C的人。

如果C手中的信息是A1B3，那么C服從計(jì)劃ACm 。在這種情況下，B并沒有任何辦法說服C，他從A處確實(shí)收到了不一致的信息。

如果C手中的信息是A1B4，那么C確認(rèn)B為叛徒，他執(zhí)行計(jì)劃ACm 。這是因?yàn)镃沒有收到“⊥”，這說明在B手中ABm 、ABl和Bl一致。如果B誠實(shí)，他必定發(fā)送 mBC= mAB,lBC= lAB到C處，此時(shí)BCm 、BCl 、Cl必定也一致。

如果C手中的信息是A2B1或A2B2，此時(shí)A是叛徒，他們服從計(jì)劃BCm 。

如果C手中的信息是A2B3，那么B和C都知道A是叛徒，他們只需執(zhí)行事先定好的計(jì)劃。

C手中的信息是A2B4這種情況，是不可能出現(xiàn)的。

這就是GBKCW協(xié)議的第二部分。而要執(zhí)行這個(gè)協(xié)議的前提，就是數(shù)據(jù)列表的分發(fā)。在GBKCW協(xié)議中，給出了數(shù)據(jù)列表的生成和分發(fā)方法，但是存在很嚴(yán)重的漏洞，并且很快被Gao等[6]利用截獲—重發(fā)攻擊所擊破。在GBKCW協(xié)議給出的數(shù)據(jù)列表的分發(fā)方法中，利用截獲重發(fā)攻擊，叛徒能夠控制接下來協(xié)議的整個(gè)第二部分，他可以達(dá)到完美的欺騙，而不被另外2個(gè)將軍所察覺。

4 利用態(tài)的確定性方法探測(cè)糾纏態(tài)

在GBKCW協(xié)議的第一部分，是生成和分發(fā)具有性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3的數(shù)據(jù)列表。他所做的步驟是：首先有一個(gè)粒子源S制備并分發(fā)一類特殊的四量子比特糾纏態(tài)ψabcd，前2個(gè)粒子給將軍A，后2個(gè)粒子分別給B和C；之后A、B、 C在4個(gè)粒子上分別做投影測(cè)量，如果都用相同的基進(jìn)行測(cè)量，那么測(cè)量結(jié)果之間展現(xiàn)了性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)3所需要的完美的關(guān)聯(lián)關(guān)系；最后，3個(gè)將軍檢測(cè)他們的測(cè)量結(jié)果是否展現(xiàn)了所要求的關(guān)聯(lián)關(guān)系。

但這個(gè)協(xié)議有一個(gè)很大的漏洞。Gao等[6]提出，利用截獲—重發(fā)攻擊，不誠實(shí)的將軍只需派2個(gè)手下截獲—測(cè)量并重新將粒子源S發(fā)送給另外2個(gè)將軍的粒子，那么不誠實(shí)的將軍就很容易控制協(xié)議的第二部分。他可以在第二部分中的拜占庭協(xié)議中，很容易地達(dá)成完美欺騙，并且不為另外2個(gè)誠實(shí)的將軍所察覺。

可以看到，叛徒能夠這樣做的根本原因是，2個(gè)誠實(shí)的將軍并不知道從粒子源S手中收到的粒子已經(jīng)被進(jìn)行了操作，他們以為自己手中拿到的粒子依舊是ψabcd中的粒子，而不知道中途已經(jīng)被人測(cè)量并重發(fā)過，即已經(jīng)發(fā)生了改變。

為了抵抗這種攻擊，可以在將軍們收到S發(fā)來的粒子后、做投影測(cè)量之前，加上額外的一步，即探測(cè)3個(gè)將軍之間的態(tài)依舊是ψabcd，沒有被進(jìn)行任何破壞。為了達(dá)到這個(gè)目的，利用量子糾纏態(tài)的確定性方法。

4.1 四粒子糾纏態(tài)的確定集

在給出定理之前，先介紹密度矩陣的一些性質(zhì)。如果n量子比特密度矩陣 ρM=(rij)n×n，那么有下面的性質(zhì)成立。

① rii≥ 0,?i。

②如果某個(gè) rkk=0，那么 rik= rkj=0,? i, j 。

④ ρM所有的主子式的行列式值都是非負(fù)的。

證明 根據(jù)約化密度矩陣的計(jì)算公式，由

只需證明：對(duì)任意一個(gè)四粒子量子態(tài)（可能是混合態(tài)，也可能是純態(tài)）

那么ρM=ψψabcd。式(4)中第一個(gè)等式是密度矩陣的通俗寫法，但為了接下來表達(dá)方便，本文將其在第二個(gè)等式中用十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行了重新表示，如量子態(tài)ψabcd的十進(jìn)制表示為

這2種表示方法完全等價(jià)。

素為

由rii≥ 0可得， r0,0=r1,1=r14,14=r15,15=0。

利用密度矩陣的性質(zhì)③，式(8)中最后的公式可變換為

由此可以看出，式(9)中所有的不等式都應(yīng)該是等式，因此

對(duì)式(10)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以得出

因?yàn)?r11= 0，所以從式(11)中可以得出：r2,2=0或者r5,5=r9,9=r13,13=0。而后面的情況不可能成立。這是因?yàn)槿绻?r5,5=r9,9=r13,13=0，那么就有r1,1+ r5,5+ r9,9+ r13,13=0，這與式(8)中的第3個(gè)等式矛盾，因此可以得到 r2,2=0。同理因?yàn)?r14,14=0，可得 r13,13=0。將這些結(jié)果代入式(7)和式(8)中，可以得到 ρM中的對(duì)角線元素為

由密度矩陣的性質(zhì)②可以得到：對(duì)任意i′∈ {0,1,2,4,7,8,11,13,14}和任意j，都有ri′j= rji′= 0。接下來，只需證明對(duì)于任意 i, j∈{3,5,6,9, 10,12}，都有 rij等于ψψabcd中i j項(xiàng)的系數(shù)。

由式(9)得

本文的證明還沒有結(jié)束，因?yàn)榈竭@一步為止，還有很多非對(duì)角元的值是未知的，如 r3,6,r3,10,…,r9,12等非對(duì)角元，迄今為止仍然沒有出現(xiàn)過。下面以求 r3,6為例，說明這一類非對(duì)角元的求解方法。在這里，本文利用密度矩陣的性質(zhì)④，考慮 ρM中第3、5、6行和列組成的主子式

以此類推，可以得到，對(duì)于任意 i, j∈{3,5,6, 9,10,12}，都有 rij等于ψψabcd中i j項(xiàng)的系數(shù)，所以ρM=ψψabcd。

證畢。

需要注意的是，因?yàn)榱Ｗ觕和粒子d的角色完全相同，所以很容易看出=。

對(duì)于下面的定理2，證明方法與定理1完全類似，在此不再贅述。

4.2 四粒子糾纏態(tài)的探測(cè)

在這一步中，本文將GBKCW協(xié)議的第一部分協(xié)議過程進(jìn)行一些補(bǔ)充，這個(gè)補(bǔ)充就是關(guān)于ψabcd態(tài)的探測(cè)，以確保他們?cè)谑盏焦庾釉窗l(fā)送的光子之后，他們之間的態(tài)并沒有被破壞，即沒有被截獲并操作。

2) A檢測(cè)自己手中的粒子在態(tài)上，而B和C檢測(cè)他們手中的粒子在最大混合態(tài)上。如果成功，繼續(xù)下一步。

3) 他們 3個(gè)分別將自己手中粒子的樣本發(fā)送給另外2個(gè)將軍，那么對(duì)將軍A來說，他手中有2個(gè)三粒子態(tài)。他探測(cè)這2個(gè)態(tài)是否相等，并且都為。如果成功，根據(jù)定理 2，他可以確定3個(gè)將軍之間分享的確實(shí)是量子態(tài)ψabcd，并且記為1，否則記為0。對(duì)于將軍B，他檢測(cè)手中的二粒子態(tài)和三粒子態(tài)分別為、，如果檢測(cè)成功，根據(jù)定理1，他確定3個(gè)人之間分享的是ψabcd，對(duì)于將軍C，與B完全等價(jià)。

4) 每個(gè)將軍把自己手中的探測(cè)結(jié)果發(fā)送給另外2個(gè)將軍。對(duì)于誠實(shí)的將軍來說，如果他手中的結(jié)果是1，而他收到的消息中有0，那么發(fā)送消息0的將軍必定是叛徒。同理，如果他手中結(jié)果是0，而他收到的消息中有1，那么發(fā)送1的將軍必定是叛徒。

5) 如果3個(gè)將軍手中都是1，并且收到的消息也都是 1，那么他們可以進(jìn)行接下來的步驟，即數(shù)據(jù)列表的生成。

從以上可以看出，通過加入量子態(tài)的檢測(cè)步驟，將軍之間能夠確定他們之間分享是正確的、沒有被干擾過的量子態(tài)ψabcd。而使這一步成功的基本因素，就是三體量子態(tài)ψabcd由其任意的2個(gè)兩體約化密度矩陣所唯一確定的性質(zhì)。這是量子糾纏態(tài)確定性的一個(gè)巧妙的應(yīng)用。

5 結(jié)束語

糾纏作為一種嶄新的的量子資源，可以實(shí)現(xiàn)很多經(jīng)典無法實(shí)現(xiàn)的任務(wù)。它是量子信息處理主要的研究和應(yīng)用對(duì)象。糾纏最為人所知的應(yīng)用就是量子密碼和能夠有效分解大數(shù)的Shor算法。本文主要研究拜占庭問題的一種演變形式，即檢測(cè)的拜占庭協(xié)議問題。這一類拜占庭問題被證明在經(jīng)典世界中是無法解決的，但是利用量子方法卻可以。

GBKCW協(xié)議是一類典型的檢測(cè)的拜占庭協(xié)議。為了抵御針對(duì)GBKCW協(xié)議的截獲重發(fā)攻擊，本文利用了量子糾纏態(tài)由其子系統(tǒng)所唯一確定的性質(zhì)，在GBKCW協(xié)議中數(shù)據(jù)列表的生成和分發(fā)部分，加入了一個(gè)新的探測(cè)協(xié)議。根據(jù)量子態(tài)的確定性，利用本文提出的方法，可以探測(cè)將軍們之間共享的是正確的量子糾纏態(tài)。這是量子糾纏態(tài)的確定性在量子協(xié)議中一種全新的應(yīng)用。本文量子糾纏態(tài)由其子系統(tǒng)所唯一確定的性質(zhì)可以成為一種普遍的探測(cè)量子糾纏態(tài)的方法。

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武霞（1987-），女，山東臨沂人，中央財(cái)經(jīng)大學(xué)講師，主要研究方向?yàn)榱孔有畔ⅰ?/p>

賈恒越（1983-），女，內(nèi)蒙古海拉爾人，中央財(cái)經(jīng)大學(xué)講師，主要研究方向?yàn)榱孔有畔ⅰ⒘孔用艽a協(xié)議設(shè)計(jì)。

朱建明（1965-），男，山西太原人，中央財(cái)經(jīng)大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)樾畔踩?、?jīng)濟(jì)信息分析。

Entangled state testing in the quantum Byzantine agreement

WU Xia, JIA Heng-yue, ZHU Jian-ming
(School of Information, Central University of Finance and Economics, Beijing 100081,China)

In distributed computing, Byzantine agreement is a practical method to solve its fault-tolerance problem. There is a variation of the Byzantine agreement which is called detectable Byzantine agreement. This kind of protocol is unsolvable by classical means, but can be solved using quantum resources——quantum entangled states. A typical quantum detectable Byzantine agreement is the GBKCW protocol. The part with the generation and distribution of the lists in the GBKCW protocol was dealed with. In order to keep the GBKCW protocol from the intercept-and-resend strategy, the property of the determination of entangled states were employed to test the sharing state between the parties.

detectable Byzantine agreement, GBKCW protocol,quantum system,determination of entangled states

TP309.7

A

10.11959/j.issn.2096-109x.2016.00110

2016-09-24；

2016-10-09。通信作者：武霞，wuxiaqingdao@163.com

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.61309029, No.U1509214, No.61272398）；中央財(cái)經(jīng)大學(xué)青年教師發(fā)展基金資助項(xiàng)目（No.QJJ1633）

Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China (No.61309029, No.U1509214, No.61272398),The Young Teachers Development Fund of Central University of Finance and Economics (No.QJJ1633)