淺析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的全等三角形解題策略

謝瑤謀

（福建省晉江市陶英中學(xué)）

淺析初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的全等三角形解題策略

謝瑤謀

（福建省晉江市陶英中學(xué)）

全等三角形的內(nèi)容是初二數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)知識(shí)，也是教學(xué)中的難點(diǎn)。許多學(xué)生由于基礎(chǔ)知識(shí)薄弱或無法進(jìn)行邏輯推理等原因，造成了在學(xué)習(xí)中遇到重重障礙的困境，致使全等三角形的教學(xué)工作難以有實(shí)質(zhì)性的跨域，針對(duì)這些實(shí)踐中出現(xiàn)的問題提出了幾點(diǎn)解題策略，望對(duì)各位同仁有所裨益。

中學(xué)數(shù)學(xué)；全等三角形；解題策略

全等三角形這類題目在考試中多以大題形式出現(xiàn)，要求證明兩三角形全等或根據(jù)已知的三角形求另一三角形的某個(gè)邊長(zhǎng)，這樣的大題若失分則成績(jī)難以提高，因此，在初中教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)將此問題重視起來。

一、全等三角形在實(shí)踐解題中出現(xiàn)的問題

1.基礎(chǔ)概念掌握不牢固

所謂全等三角形是指經(jīng)過翻轉(zhuǎn)、平移后，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形，而該兩個(gè)三角形的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。驗(yàn)證兩個(gè)全等三角形一般用邊邊邊（SSS）、邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）、角角邊（AAS）和直角三角形的斜邊，直角邊（HL）來判定。有些初中生在學(xué)習(xí)全等三角形時(shí)，認(rèn)為概念類的知識(shí)根本用不著記憶，只要在實(shí)踐中多加練習(xí)自然就能明白，因此，忽略了概念的重要性。在證明兩個(gè)三角形全等的過程中根本不清楚需要用到哪些條件，如此，怎能學(xué)好全等三角形知識(shí)。

2.思路不清，邏輯混亂

證明兩個(gè)三角形全等的過程，是邏輯推理、分析、整合的過程，如果在大腦中不能形成一個(gè)嚴(yán)密的邏輯推理程序是無法解決三角形全等問題的。這一點(diǎn)具體體現(xiàn)在，有些學(xué)生不清楚要證明A問題需要先證明B還是先證明C，或者是將B和C證明出來后，又如何與A產(chǎn)生聯(lián)系，這種思路不清、邏輯混亂的現(xiàn)象成了學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)的絆腳石。

3.思維固定，無法舉一反三

在教學(xué)實(shí)踐中，有很多學(xué)生出現(xiàn)過類似的現(xiàn)象，教師教給一種方法后，在學(xué)生的腦海中形成了固定的思維模式，當(dāng)題目換了另外一個(gè)說法后，學(xué)生就無法理解其中的意思了，當(dāng)然在解題時(shí)也就會(huì)顯得很慌亂。

二、關(guān)于全等三角形的解題策略

在解決數(shù)學(xué)三角形全等的相關(guān)問題時(shí)，教師首先要教導(dǎo)學(xué)生將基礎(chǔ)性的概念牢牢掌握，因?yàn)橹挥性诔浞掷斫飧拍畹幕A(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn)證明、計(jì)算的過程，否則，無異于空談。其次，是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力，理清思路，不管要證明的圖形樣式有多么復(fù)雜，唯記住一點(diǎn)萬變不離其宗，一定要找到自己所要求的三角形。最后是教導(dǎo)學(xué)生要做到活學(xué)活用，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力，通過多種渠道達(dá)到求解的目的。以下筆者將舉出幾個(gè)經(jīng)典解題方法，簡(jiǎn)要分析。

1.如圖1，已知△ABC中，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證：DC⊥AC。

解題思路：如圖1，在AB線段上取一中點(diǎn)E，因?yàn)锳D=BD，AE=BE，DE=DE，所以，△ADE≌△BDE，所以，∠BED=∠AED=90°，又因?yàn)?，AB=2AC，所以，AC=AE，∠DAB=∠CAD，AD=AD，所以，△AED≌△ACD，所以，∠ACD=∠AED=90°，所以DC⊥AC。這道題中，是典型的中線法證明求解過程，通過連接中點(diǎn)和頂點(diǎn)的方法構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形，并以公共邊為突破點(diǎn)實(shí)現(xiàn)證明求解的目的。對(duì)于學(xué)生來說，只要能想到做輔助線ED，基本就可以達(dá)到求解的目的了。所以，在實(shí)踐教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)做必要的輔助線來求解。

圖1

2.見圖2，在△ABC中，線段BD平分∠ABC，點(diǎn)E、F分別是AB、BC邊上的一點(diǎn)，∠EDF+∠EBF=180°。求證：DF=DE。

這道題可以有三種方法來解，分別是：截長(zhǎng)法、補(bǔ)短法和以“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”這一法則來證明DF= DE。限于篇幅原因，第二種和第三種本文只給出相應(yīng)的圖示，以下具體講解第一種方法。

截長(zhǎng)法解題思路：如圖，在線段AB上取一點(diǎn)G，可得BG= BF，由此可知，△BDF≌△BDG，所以，DG=DF，又因?yàn)?，∠EDF+∠EBF=180°，所以，在四邊形BEDF中∠4+∠3′=180°，∠4′+∠3=180°，∠3′=∠3，所以，∠4=∠4′，所以，△DEG是等腰三角形，所以DG=DE，又因?yàn)镈F=DG，所以，DF=DE。這道題是通過將原有的線段經(jīng)過截?cái)?，達(dá)到與另一個(gè)三角形實(shí)現(xiàn)全等的解題過程，進(jìn)而使問題得到解決，另外，此題還涉及了四邊形的內(nèi)角和與等腰三角形的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)于中學(xué)生來說又是一次知識(shí)的提高。

圖2

3.在圖3中，△ABC的∠ABC=20°，AB=BC，BI=AC，則求解∠AIC的度數(shù)。

解題思路：如圖3，以AC為邊向△ABC內(nèi)部做等邊三角形AOC，可知∠BAO=∠BCO=∠ABC=20°，AC=AO=CO=BI，AB=BC，所以，△BIC≌△BOA≌△BOC，所以，∠BOA=∠BOC，所以，∠BOA+∠BOC+∠AOC=360°，所以∠BOA=∠BOC=∠BIC=150°，所以∠AIC=180°-150°=30°。這一種典型的從被求解的三角形內(nèi)部再次構(gòu)建特殊三角形以達(dá)到證明三角形全等的求解方式，在全等三角形解題實(shí)踐中也是較為常用的一種，教師要教導(dǎo)學(xué)生在答題時(shí)靈活運(yùn)用此方法。

圖3

4.已知△ABC的兩條邊AC=10，BC=4，那么，第三條邊上的中線長(zhǎng)m的取值范圍是（ ）。

解題思路：如圖4，只要將題意理解透徹，并快速在腦中能構(gòu)建出相應(yīng)的全等三角形，將要求解的問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)待定的三角形中就可以輕松解決了。在圖4中原本是沒有△ACE部分的，這是為了實(shí)現(xiàn)解題添加的必要性輔助線，教師在講解此類題目時(shí)，必須教導(dǎo)學(xué)生在做題前將必要的輔助線段在圖上畫出來，便于理解題目，審清題意。如圖4，延長(zhǎng)CE至CC′使EC′=EC，進(jìn)而很容易得到△CBE≌△C′AE，所以，AC′=CB，在△C′AC中，10-4

圖4

5.這一點(diǎn)，主要講的是在解題中利用平行線來構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題的方法。如圖5，在△ABC中，∠A=∠C，D是線段AB上的一點(diǎn)，AD=EC，求證：DF=FE

圖5

解題思路：如圖5，做線段DG∥BC并與AC交于點(diǎn)G，所以∠FDG=∠FEC，∠DGF=∠FCE，∠BCA=∠DGA，又因?yàn)椤螧CA=∠A，所以，∠A=∠DGA，所以DA=DG,又因?yàn)镃E=DA，所以DG= CE，所以△DGF≌△ECF，所以DF=FE。在這道題中，通過做平行于BC的平行線DG，繼而使相對(duì)較散的結(jié)論集中起來，使要求解的問題降低了難度，在實(shí)踐中要好好把握這一解題策略。

總而言之，全等三角形的知識(shí)點(diǎn)在初中數(shù)學(xué)測(cè)試和考查中占據(jù)著重要的地位，教師應(yīng)予以重視并開展重點(diǎn)教學(xué)，積極運(yùn)用以上幾點(diǎn)實(shí)踐策略對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高能起到很好的幫助作用。除此之外，數(shù)學(xué)教師還要肩負(fù)起培養(yǎng)全面社會(huì)型人才的重?fù)?dān)，為國家實(shí)現(xiàn)“科教興國”偉大目標(biāo)貢獻(xiàn)一份力量。

［1］聶亞晶.淺析初中三角形全等教學(xué)策略與技巧［J］.新課程（中學(xué)），2016（1）.

［2］吳光華.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中最近發(fā)展區(qū)的確定及利用策略：以“三角形全等”知識(shí)教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（4）.

［3］吳玉龍.初中數(shù)學(xué)證明題常見的幾種解題錯(cuò)誤與糾錯(cuò)辦法：以“全等三角形”的教學(xué)為例［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版上旬），2014（7）.

·編輯 李琴芳