江西省上饒市第五小學(xué) 王子發(fā)
“善”轉(zhuǎn)化 “易”歸結(jié)
——例說小學(xué)數(shù)學(xué)“化歸”思想解題策略
江西省上饒市第五小學(xué) 王子發(fā)
在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,常遇到一些直接求解較難甚至不能解決的問題,運(yùn)用“化歸”的思維策略,往往可以使問題變得易于解決。
“化歸”思想 思維策略 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)
在小學(xué)數(shù)學(xué)中,“化歸”不僅是一種重要的解題思想,更是一種最基本的思維策略。所謂的“化歸”思想方法,就是指在研究和解決數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將陌生問題轉(zhuǎn)化為簡單問題;將抽象問題轉(zhuǎn)化為直觀問題;將繁雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題;將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型問題。總之,“化歸”在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在,下面以幾個實(shí)例介紹“化歸”思想方法在解決具體問題中的應(yīng)用。
“課標(biāo)”要求:“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上?!睂W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)是:將生疏問題轉(zhuǎn)化熟悉問題的過程,因此,作為數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生深刻挖掘新教學(xué)內(nèi)容的量變因素,將學(xué)生要掌握的新知識,加工到使學(xué)生通過努力能夠接受的水平上來,縮小接觸新內(nèi)容時的陌生度,避免因研究對象的變化而產(chǎn)生的心理障礙,這樣做可達(dá)到事半功倍的效果。
[案例]:新課學(xué)習(xí)“圓的面積公式推導(dǎo)”
[分析]:學(xué)習(xí)圓的面積公式,我們一般是通過割、拼的方法,使圓轉(zhuǎn)化為近似長方形,以達(dá)到以舊引新、化陌生問題為熟悉問題,使新知識納入舊知識的網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中。因此,教學(xué)中,當(dāng)學(xué)生明確了圓的面積概念以后,可提出下列問題讓學(xué)生思考后回答。
(1)怎樣用字母表示求圓的周長公式?(C=2πr)
(3)怎樣求長方形的面積?(長×寬)
然后教師出示根據(jù)教材制作的圓的教具,演示過程可按以下步驟進(jìn)行:
(1)先把圓分成兩個半圓,每個半圓各分成8等份,每份分別按順序編上號(如圖)。
(2)再將三角形1分成兩等份,然后將兩個半圓分別散開,附在磁鐵黑板上(如圖)。
(3)在磁鐵黑板上,讓上半圓向下滑動,拼成長方形(如圖)
演示至此,讓學(xué)生觀察這個長方形的長和寬各相當(dāng)于圓的哪部分,然后結(jié)合前面提問所形成的板書進(jìn)行公式推導(dǎo)。
數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是它具有很強(qiáng)的抽象性,這是每個想學(xué)好數(shù)學(xué)的人必須面對的問題。要想小學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)知識學(xué)好,把抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、形象化則是至關(guān)重要的。它不但使得問題容易解決,還可以讓學(xué)生在不斷經(jīng)歷“抽象→直觀→抽象”的訓(xùn)練,逐步提高抽象思維能力。
[案例]:雞兔同籠,有6個頭,20只腳,雞兔各有多少只?
[分析]:“雞兔同籠”的內(nèi)容,在三年級有,五年級也有。如何讓只有三年級的孩子們理解“雞兔同籠”的問題呢?這里運(yùn)用到的一個基本的學(xué)習(xí)方法就是讓學(xué)生們動筆畫一畫,用一個簡單的圓形來代替動物的頭,用豎線來表示動物的腳,在畫的過程中發(fā)現(xiàn)多了或少了可以馬上就改。比如:
這樣,可以直觀地看到有2只雞,4只兔。大多學(xué)生對這類題目的第一個感覺是難,通過數(shù)形結(jié)合化抽象為直觀,感覺就有趣了。
有些數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜,直接解答過程會比較煩瑣,如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下,從更加簡單的問題入手,找到解決問題的方法或建立模型,并進(jìn)行適當(dāng)檢驗(yàn),如果能夠證明這種方法或模型是正確的,那么該問題一般來說便得到解決。下面舉例加以說明。
[案例]:某工具廠原計劃12天生產(chǎn)2484個零件。結(jié)果提前2天完成了任務(wù)。問工作效率提高了百分之幾?
分析:常規(guī)解法是:〔2484÷(12-2)-2484÷12〕÷(2484÷12)=(248.4-207)÷207=41.4÷207=20%。
如換一個角度思考,此題可轉(zhuǎn)化為工程問題,即將要生產(chǎn)的2484個零件看作工作總量“1”,于是原計劃的工作效率為實(shí)際工作效率為其解法為
實(shí)際上,“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法,不僅僅在小學(xué)階段學(xué)習(xí)占有重要的地位,同時它也是初中、高中學(xué)習(xí)的一種重要的思想方法,更是我們終身學(xué)習(xí)的一種思想方法,在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,只有“善”轉(zhuǎn)化,才能“易”歸結(jié)。