基于離散呼吸子理論的靶能量傳遞研究

李海勤， 孔憲仁, 葉 東， 劉 萌

(哈爾濱工業(yè)大學 衛(wèi)星技術研究所，哈爾濱 150001)

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基于離散呼吸子理論的靶能量傳遞研究

李海勤， 孔憲仁, 葉 東， 劉 萌

(哈爾濱工業(yè)大學 衛(wèi)星技術研究所，哈爾濱 150001)

研究了一個具有非線性能量阱的兩自由度線性振子耦合系統(tǒng)，確定了其產(chǎn)生靶能量傳遞的條件和傳遞頻率。建立了無量綱形式的振動方程，利用復變量——平均法推導了保守系統(tǒng)的慢變動力流和哈密頓函數(shù)。基于哈密頓力學和相空間中的離散呼吸子理論確定了系統(tǒng)產(chǎn)生靶能量傳遞的質(zhì)量比條件和初值條件，并采用橢圓積分計算得到靶能量傳遞的頻率。通過數(shù)值仿真驗證了有阻尼系統(tǒng)中靶能量傳遞的不可逆性。

非線性能量阱；靶能量傳遞；哈密頓力學；自由振動；離散呼吸子

在線性振子之間，能量的傳遞是依靠共振來實現(xiàn)的，當發(fā)生共振時能量在兩振子之間以特定的頻率完全傳遞，循環(huán)往復。而非線性系統(tǒng)中，振動頻率和幅值的獨立性被打破，即系統(tǒng)的振動頻率依賴于振動幅值[1]。因此非線性振子間的能量傳遞機制要復雜得多，是非線性振動研究的一個主要方面。

早期研究集中于周期解，并指出非線性主要起著兩個作用[2-4]：一是通過適當?shù)恼{(diào)節(jié)非線性振子的幅度，非線性可以恢復非線性振子之間的共振，而線性系統(tǒng)將不會出現(xiàn)這種情況；二是對于不同幅度的非線性振子，非線性可以有效避免其它模態(tài)下局部共振的出現(xiàn)。因此，系統(tǒng)也可以保持準確的局部模態(tài)，而且，這些模態(tài)的存在并不依賴于隨機性。這些模態(tài)就被稱之為離散呼吸子[5-6](Discrete Breather，DB)。

離散呼吸子又被稱作局部化模態(tài)，指的是離散非線性動力系統(tǒng)中的局部周期解。BALTZ等[7]在其研究中提到的極子的概念實際上就屬于DB的范疇。在化學領域，對于小分子情況，也很早就有了DB的概念，且這種形式的解被人們公認為對于理解量子化的分子振動至關重要。SIEVERS等在近似的解析分析和數(shù)值計算的基礎上首次指出在一般模型中存在DB形式的長期周期解，后來，人們通過嚴格的證明指出Klein-Gordon系統(tǒng)中存在DB形式的準確解，并給出了DB存在的兩個必要條件：非線性和離散性。另外，DB還被證明具有很好的魯棒性。

KOPDAKIS等研究非線性系統(tǒng)的DB之間的能量傳遞機理時發(fā)現(xiàn)了能量在DB之間的一種高效傳遞的現(xiàn)象[8]。他們指出在DB中存在著高效選擇性強的能量單向傳遞現(xiàn)象，并稱之為靶能量傳遞[9](Targeted Energy Transfer，TET)。他們考慮一個由源系統(tǒng)和受體系統(tǒng)兩個子系統(tǒng)組成的動力系統(tǒng)，當TET發(fā)生時，能量由源系統(tǒng)完全傳遞至受體系統(tǒng)，由于該能量傳遞對初始條件的選擇性和阻尼耗散的原因，能量無法在回到源系統(tǒng)，從而實現(xiàn)能量單向傳遞。TET現(xiàn)象雖然是在研究DB時被提出的，但是普遍性比DB要更廣，因此的到了廣泛的關注，并被引用到各個領域。靶能量傳遞通過共振俘獲現(xiàn)象實現(xiàn)，當一個系統(tǒng)滿足特定的初始條件，其相軌跡被吸引到共振流形[10]，若一段時間后系統(tǒng)的軌跡會逃逸出共振流形則稱為瞬態(tài)共振俘獲，否則稱為持續(xù)共振俘獲。在共振俘獲現(xiàn)象發(fā)生時，特定的能量在非線性系統(tǒng)之間相互交換，被稱為靶能量傳遞現(xiàn)象。

將TET現(xiàn)象應用到振動控制中，是通過非線性能量阱實現(xiàn)的。對于一個非線性設備，把它連接到一個基礎結構并實現(xiàn)能量到該設備的局部化，稱為非線性能量阱[11](Nonlinear Energy Sink，NES)。一個NES通常需要兩個部分：一個非線性剛度和一個阻尼(通常為線性粘性阻尼)。前者用來使NES與基礎結構的任一線性模態(tài)實現(xiàn)共振，而后者則用來耗散掉通過共振傳遞到NES中的振動能量。目前對NES的研究表明至少存在三種不同的TET機制，通過1∶1共振、亞諧共振、以及非線性拍現(xiàn)象。其中主結構和NES之間頻率比為1∶1的同步振動是產(chǎn)生TET的主要機制，系統(tǒng)的軌跡被吸引到1∶1共振流形，能量快速從主結構傳遞至NES，由于阻尼作用，系統(tǒng)的振動能量將一直減少，系統(tǒng)不斷從一個共振狀態(tài)逃逸并被俘獲到另一個新的狀態(tài)，直至系統(tǒng)不再具有發(fā)生共振俘獲的條件，共振俘獲結束，并打破了主結構同吸振器之間高效傳遞能量的條件，系統(tǒng)達成一次靶能量傳遞。

本文研究帶有非線性能量阱的兩自由度系統(tǒng)，確定產(chǎn)生靶能量傳遞的條件和靶能量傳遞的頻率。

1 系統(tǒng)模型

1.1 研究對象

研究如圖1所示的兩自由度非線性系統(tǒng)，由一個接地線性主結構耦合一NES組成。圖中k1為線性剛度，m1為主結構質(zhì)量，m2為NES質(zhì)量，且滿足m1?m2，c為線性阻尼，k2為非線性剛度，其受力和位移的關系為F=k2x3。

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 Model of system

設主結構和NES的位移分別為x1,x2，則有系統(tǒng)的動力學方程為:

(1)

作變量替換:

不妨令ω=1，并將式(2)代入到式(1)中，可得到無量綱形式的運動方程如下：

(3)

其對應保守系統(tǒng)為:

(4)

1.2 慢變動力流

動力流自然的出現(xiàn)在上述自治系統(tǒng)中，可采用Manevitch等人提出的復變量-平均法[12]來推導。復變量—平均法的建模分為復變量過程和平均化過程兩大步。將式(4)的運動分為質(zhì)心運動和相對運動兩部分:

u=x1+εx2, v=x1-x2

(5)

并采用復變量處理，

(6)

上式基于1∶1內(nèi)共振的情形，將系統(tǒng)的周期解表示成角頻率與主結構固有頻率相同的快速振動部分eit和振動幅值的慢變調(diào)制部分φi(t)兩部分。分別對應于系統(tǒng)的動力學的快變部分和慢變部分得如下形式的復變量方程:

(7)

研究其慢變部分，對快變部分進行平均化處理，e-2it，e-4it，e2it在一個周期內(nèi)均值都為零，于是得到：

(8)

上式即為系統(tǒng)的慢變動力流。選取參數(shù)為ε=0.05，k=20，初始能量E=0.082，對比式(4)和式(8)的模型得到圖 2。

圖2 系統(tǒng)對比Fig.2 Comparison of system

可知，慢變流對于主結構的運動有很好的近似效果，而對于NES振子的近似效果雖然沒由主結構好，但是研究每個周期的平均結果仍然可以取得很好的結果，故可以采用慢變流來對系統(tǒng)進行近似分析。

2 靶能量傳遞

2.1 哈密頓函數(shù)

式(8)的慢變流經(jīng)過如下正則變換，

(9)

可以得到式(8)的哈密頓函數(shù)為:

(10)

并滿足哈密頓方程:

(11)

另一方面，可以將式(8)寫成下述形式:

(12)

取其共軛式并聯(lián)立可得另一個不變量，

(13)

2.2 靶能量傳遞條件

下面根據(jù)離散呼吸子理論研究兩振子間能量傳遞規(guī)律，定義新的正則坐標為(I1,θ1)，(I2,θ2)將系統(tǒng)的運動表示成極坐標形式，具體關系為:

(14)

由式(10)所確定的系統(tǒng)哈密頓量具有如下的等價形式:

H=H0(I0,I)+V(I0,I,θ)

(15)

其中,

并且，可知(I0,θ0),(I,θ)也是哈密頓系統(tǒng)的一組共軛坐標對。式(15)中H0(I0,I)和V(I0,I,θ)分別為:

(17)

其中,

(18)

相空間中，系統(tǒng)的總能量ET和總路徑IT守恒，分別對應與前面的兩個積分不變量，即:

IT=I1+I2=2I0=Z,ET=H

(19)

假定在初始時刻能量完全集中在供體系統(tǒng)，對應的初始條件為:

I1(0)=2I0≠0,I2(0)=0

(20)

經(jīng)過一段時間tT后，能量完全傳遞至受體系統(tǒng)：

I1(tT)=0,I2(tT)=I1(0)=2I0

(21)

并結合式(16)，可知在能量完全傳遞時I的變化為I(0)=I0,I(tT)=-I0，當該關系滿足時，稱此時的能量傳遞的能量傳遞為靶能量傳遞(Targeted Energy Transfer,TET)。發(fā)生靶能量傳遞時，I遍歷整個-I0到I0的整個區(qū)間，或者說系統(tǒng)的軌跡經(jīng)過二維球面相空間(I,θ)的兩個極點。更進一步地，在極點處的能量相等，根據(jù)式(15)和式(17)，有:

H0(I0,I0)=H0(I0,-I0)=E

(22)

解上述方程，可以得到引發(fā)靶能量傳遞的條件時，系統(tǒng)的總相徑和總能量滿足如下關系:

(23)

式(23)即為產(chǎn)生靶能量傳遞的初始條件。

另外，相空間的閉合軌道可以由如下方程描述:

V(I0,I,θ)=H0(I0,±I0)-H0(I0,I)=Δ(I)

(24)

式中：Δ(I)表征了能量在供體系統(tǒng)和受體系統(tǒng)的調(diào)諧，系統(tǒng)軌跡能夠經(jīng)過相空間兩個極點的充要條件是:

(25)

聯(lián)立式(17)、式(24)和式(25)，得:

(26)

上式對所有的I都成立，當滿足:

(27)

式(27)和式(23)共同給出了產(chǎn)生靶能量傳遞的基本條件。式(27)表明，只有當質(zhì)量比ε≥0.056時能量才能實現(xiàn)完全傳遞，并稱ε=0.056為臨界質(zhì)量比。圖3給出了在質(zhì)量比條件滿足的情況下，不同初始條件的相軌跡。當初值條件滿足式(23)時，對應于圖3(b)所示，系統(tǒng)初始能量全部集中在供體系統(tǒng)，經(jīng)過一個周期，系統(tǒng)相軌跡的I遍歷[-I0,I0]，相角在0到2π的某個子區(qū)間內(nèi)變化，能量可以完全地由供體系統(tǒng)傳遞至受體系統(tǒng)，而圖3(a)和圖3(c)均不滿足初始條件式(23)故無法實現(xiàn)靶能量傳遞。圖 4中質(zhì)量比條件不滿足式(27)所給定，此時系統(tǒng)相軌跡在I=0時出現(xiàn)“斷裂”，其結果是I無法穿越零點，而相角θ遍歷整個區(qū)間0到2π。能量無法完全傳遞，即使初始條件滿足式(23)，也無法實現(xiàn)靶能量傳遞。但是當初始時刻能量不完全集中在供體系統(tǒng)，對應于零時刻I略小于I0的情況，可以避免在零點的相軌跡斷裂，實現(xiàn)較高傳遞效率。

圖3 不同初始條件下的相軌跡Fig.3 Phase portrait for system with different initial condition

圖4 不同質(zhì)量比下的相軌跡Fig.4 Phase portrait for system with different mass index

數(shù)值結果如圖5所示，假定初始時刻能量全部集中于主結構，初值條件均按照式(23)給定，能量傳遞效率用R來描述(NES的最大能量和總能量之比)。在圖5(a)中，質(zhì)量比ε=0.05小于臨界質(zhì)量比，圖5(b)中ε=0.056，等于臨界質(zhì)量比，圖5(c)中ε=0.1，大于臨界質(zhì)量比。綜合圖5(a)、(b)、(c)三個子圖，亦可發(fā)現(xiàn)在質(zhì)量比大于臨界質(zhì)量時才能實現(xiàn)能量完全傳遞，質(zhì)量比小于臨界質(zhì)量時，只有很小一部分能量傳遞至NES。

在圖5(d)、(e)、(f)中，改變了質(zhì)量比參數(shù)ε和剛度k的值，比較圖5(c)、(e)、(f)可以發(fā)現(xiàn)增大質(zhì)量比ε，在規(guī)定時間內(nèi)兩振子之間的能量交換次數(shù)也增加，即靶能量傳遞的頻率增大，對比圖5(c)、(d)可以發(fā)現(xiàn)，在ε相等而k不相等的情況下，傳遞的頻率幾乎不變。

為了確切求得靶能量傳遞的頻率，并確定其和系統(tǒng)各個參數(shù)之間的關系，首先列出哈密頓方程如下:

(28)

結合上式，聯(lián)立式(15)、式(17)和式(28)式，消除θ項，得:

(29)

其中,

(30)

另一方面，當能量完全傳遞時，式(23)的條件滿足。將式(23)代入到式(30)，得到:

(31)

在式(31)的條件下，式(29)的解為雅克比橢圓余弦：

(32)

這也要求:

(33)

成立，此結果和式(27)所要求的一樣。根據(jù)式(33)，可以得到靶能量傳遞的頻率為:

(34)

式中，K(l)為第一類橢圓積分。

由于上式中l(wèi),η都只和質(zhì)量比ε有關，因此靶能量傳遞的頻率由質(zhì)量比ε唯一確定，而與剛度的選取無關，這一結果與前面數(shù)值結果相符合。

圖5 數(shù)值結果Fig.5 Numrical results

3 有阻尼系統(tǒng)數(shù)值仿真

對有阻尼系統(tǒng)，確定兩振子之間的能量傳遞規(guī)律。以初始時刻能量全部集中在主結構的情形，分別取ε=0.1,k=1,初始能量按照式(23)給定。分別取λ=0.06、λ=0.1和λ=0.2，得圖6。在圖6(a)中，初始時刻能量從主結構傳遞到NES，由于阻尼的存在，這部分能量不能再返回主結構進行下一次交換，而是被消耗掉，在一段時間內(nèi)，兩振子之間一直保持較高效率的能量傳遞，但由于阻尼較小，總能量耗散的速度不夠快，減振效果并不明顯。當阻尼增大到圖6(b)所示時，在經(jīng)過兩次能量交換后，系統(tǒng)能量迅速降低，此后能量主要集中在主結構中，兩振子之間的靶能量傳遞被打破，總能量維持在一個較低的水平，達到較好的減振效果。當阻尼進一步增大，如圖6(c)所示，雖然在初始時刻，部分能量傳遞到NES被阻尼消耗，但經(jīng)過一次不完全的能量傳遞，能量便無法由主結構向NES傳遞，靶能量傳遞被過早的打破，能量幾乎完全集中在主結構中，減振效果反而降低。總的來說，隨著阻尼的增大，整個系統(tǒng)的減振效果先變好后變差。

阻尼在系統(tǒng)能量耗散的過程中起著雙重作用，一方面，它消耗了由主結構傳遞到NES的能量，使其不能再回到主結構，主結構的能量被大幅降低。另一方面，由于阻尼的出現(xiàn)，系統(tǒng)出現(xiàn)對稱破缺，兩振子之間傳遞的對稱性被打破，能量從主結構的NES單向傳遞，表現(xiàn)出不可逆性。增大阻尼加快了能量的消耗，但也更快的打破兩振子之間的靶能量傳遞條件。故選擇阻尼比的時候要綜合考慮這兩個作用的影響，并不是越大越好。應合理選取吸振器的阻尼。

通過多次選取阻尼進行數(shù)值仿真可確定最優(yōu)阻尼約為子圖6(b)中的λ=0.1。而對于阻尼的對系統(tǒng)影響的解析描述和最優(yōu)阻尼的理論驗證則有待進一步研究。

圖6 有阻尼系統(tǒng)Fig.6 Damped system

4 結 論

本文研究了非線性耦合振子之間的產(chǎn)生靶能量傳遞的條件和靶能量傳遞的頻率。利用復變量平均法推導了系統(tǒng)的近似慢變流，基于哈密頓函數(shù)和相平面法得出了能量在線性振子和NES之間完全傳遞的兩個條件：分別為質(zhì)量比條件和初始能量條件。并利用橢圓函數(shù)計算了靶能量傳遞的頻率的準確值，結果表明靶能量傳遞的頻率由質(zhì)量比唯一確定，與非線性剛度無關，并且質(zhì)量比越大，靶能量傳遞越快。最后，通過數(shù)值仿真，研究了弱阻尼系統(tǒng)的能量傳遞現(xiàn)象，表現(xiàn)出不可逆性，且阻尼比不是越大越好，存在最優(yōu)阻尼比以達到最優(yōu)減振效果。

[1] PEETERS M, VIGUIé R, SéRANDOUR G, et al. Nonlinear normal modes, part II: toward a practical computation using numerical continuation techniques[C]// 26th International Modal Analysis Conference,2008:1-22.

[2] AUBRY S, KOPIDAKIS G, MORGANTE A M, et al. Analytic conditions for targeted energy transfer between nonlinear oscillators or discrete breathers [J]. Physica B Condensed Matter, 2001, 296(1/2/3):222-236.

[3] KOPIDAKIS G, AUBRY S. Intraband discrete breathers in disordered nonlinear systems. I. Delocalization[J]. Physica D Nonlinear Phenomena, 1999, 130(3/4):155-186.

[4] KOPIDAKIS G, AUBRY S. Intraband discrete breathers in disordered nonlinear systems. II. localization[J]. Physica D Nonlinear Phenomena, 2000, 139(3/4):247-275.

[5] SIEVERS A J, TAKENO S. Intrinsic localized modes in anharmonic crystals[J]. Physical Review Letters, 1988, 61(8):970-973.

[6] CAMPBELL D K, PEYRARD M, CAMPBELL D K. Chaos-soviet american perspectives on nonlinear science[C]//American Institute of Physics Maryland:AIP, 1990:24-115.

[7] BALTZ R V, BIRKHOLZ U. Polaronen[M].Berlin: Springer, 1972:233-341.

[8] 張也弛，孔憲仁，張紅亮. 非線性耦合振子間的靶能量傳遞研究:保守系統(tǒng)中的完全能量傳遞[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(2):150-155. ZHANG Yechi，KONG Xianren，ZHANG Hongliang. Targeted energy transfer among coupled nonlinear oscillators: complete energy exchange in a conservative system[J].Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(2):150-155.

[9] KOPIDAKIS G, AUBRY S, TSIRONIS G. Targeted energy transfer through discrete breathers in nonlinear systems[J]. Physical Review Letters, 2001, 87(16):175-196.

[10] COLVIN M C. Energy sinks with nonlinear stiffness and nonlinear damping [D]. Maryland:University of Maryland, 2010:1-31.

[11] LEE Y S, VAKAKIS A F, BERGMAN L A, et al. Passive non-linear targeted energy transfer and its applications to vibration absorption: a review[J]. Institution of Mechanical Engineers, 2008, 222: 77-134.

[12] MANEVITCH L I, MUSIENKO A I, LAMARQUE C. New analytical approach to energy pumping problem in strongly nonhomo-geneous 2-DOF systems[J]. Meccanica, 2007, 42(1): 77-83.

Investigation on targeted energy transfer based on discrete breather theory

LI Haiqin, KONG Xianren, YE Dong, LIU Meng

(Research Center of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Analytic conditions and transmitting frequency for targeted energy transfer were investigated on a 2-dof system comprising of a linear oscillator coupled with a nonlinear energy sink. The vibration equations were formulated in a dimensionless form, then the dynamic flow and Hamiltonian function for the underlined conservative system were derived by the complex-averaging method. Based on the Hamiltonian and discrete breather theory in phase space dynamics, the mass ratio and initial value condition linked to a complete energy transfer in the conservative system were determined, and the frequency of the targeted transfer was calculated by the Jacobian elliptic integral. As a result of numerical simulation, the irreversibility of targeted energy transfer in damped system was demonstrated.

nonlinear energy sink; targeted energy transfer; Hamiltonian mechanics; free vibration; discrete breather

微小型航天器系統(tǒng)技術(IRT0520)

2015-06-12 修改稿收到日期：2015-11-08

李海勤 男，碩士生，1992年生

孔憲仁 男，博士生導師，1961年生

O328;O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.22.014