數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化知識(shí)探究

王禹童

(黑龍江省綏化市第一中學(xué) 黑龍江綏化 152061)

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化知識(shí)探究

王禹童

(黑龍江省綏化市第一中學(xué) 黑龍江綏化 152061)

處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)新新知識(shí)向已學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)化﹑復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，未知向已知的轉(zhuǎn)化，陌生的向熟悉的轉(zhuǎn)化。

這種解決問(wèn)題的模式可圖示如下：

一、樹(shù)立用轉(zhuǎn)化解題的信心，提高轉(zhuǎn)化的自覺(jué)性

問(wèn)題看起來(lái)不論多么復(fù)雜，一般都可通過(guò)轉(zhuǎn)化加以解決。而轉(zhuǎn)化往往是從已知條件或所求結(jié)論中開(kāi)始，對(duì)不熟悉的條件或結(jié)論形式，通過(guò)化簡(jiǎn)變形，轉(zhuǎn)化為熟悉和簡(jiǎn)單的形式。樹(shù)立這樣的信念和自覺(jué)地在解題中不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化是很重要的。

對(duì)一切│p│≤2，p∈R，不等式(log2x)2+plog2x+1＞2log2

x+p恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

這里由于題中p的取值范圍是確定的，因此以p作自變量給問(wèn)題的解決帶來(lái)方便，如果把│p│≤2改為│p│＜2，則相應(yīng)的有f(-2)≥0且f(2)≥0。

需要說(shuō)明的是：對(duì)于一般函數(shù)g(x)在某區(qū)間[a,b]上恒大于零不一定等價(jià)于g(a)＞0且g(b)＞0，這一點(diǎn)在轉(zhuǎn)化時(shí)要注意，因?yàn)間(x)在[a,b]上不一定單調(diào)。

分析與解：設(shè)t=cosx+cosy，則

評(píng)注： 對(duì)所求證的結(jié)論運(yùn)用所學(xué)的三角知識(shí)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化直到與已知條吻合，最后又轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，這樣就很快使問(wèn)題得證。其間的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美﹑協(xié)調(diào)美。

二、注意轉(zhuǎn)化的合理性

一個(gè)問(wèn)題，常常能同時(shí)轉(zhuǎn)化為多個(gè)不同的問(wèn)題，究竟選擇哪一個(gè)作為方向，這是需要考慮的。有時(shí)會(huì)由于所作的轉(zhuǎn)化不當(dāng)而使解答顯得繁瑣，進(jìn)而影響解題的正確性與效率。

分析 ： 若條件等式的分母實(shí)數(shù)化，則運(yùn)算十分復(fù)雜，仔細(xì)分析條件，不難發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律。因?yàn)閤2+2xy+y2+x2y＝(x+y)2-(xyi)＝(x+y+xyi) (x+y-xyi)

又27-8i=33+(3i)3=(3+2i)[32-3×2i+(2i)2]=(3+2i)(5-6i)于是條件轉(zhuǎn)化為x+y-xyi=5-6i。所以x+y=5，xy=6。解之得x=3,y=2或x=2,y=3。

分析 這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，需要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)做

兩種轉(zhuǎn)化都可以得到結(jié)果，但轉(zhuǎn)化1比轉(zhuǎn)化2在運(yùn)算上要簡(jiǎn)單得多，一般來(lái)講，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題有多種的可能轉(zhuǎn)化且所選取的某一種轉(zhuǎn)化不合適時(shí)，應(yīng)該及時(shí)改變轉(zhuǎn)化的方向，以提高解題效率。

三、等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化辨析

等價(jià)轉(zhuǎn)化原則是實(shí)施轉(zhuǎn)化策略過(guò)程中應(yīng)遵循的最基本的原則，它是指在轉(zhuǎn)化前后的等效性。它要求我們?cè)谵D(zhuǎn)化的過(guò)程既要看問(wèn)題的結(jié)構(gòu)﹑形式，更要看問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。假如解題中用的是一種非等效性轉(zhuǎn)化，則最終求得的結(jié)果可能與題意的要求不一致。

⑵變形為yx2-50x+y=0(※)，顯然y＞0，看成關(guān)于x的方程，則Δ≥0，得 y≤25，若據(jù)此得出ymax=25，則也是錯(cuò)誤的，這是由于y=25時(shí)x=1并不適合x(chóng)≥2，因此y的最大值不是25，這是因?yàn)榍笤瘮?shù)的值域不能等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程(※)有解，而應(yīng)轉(zhuǎn)化為(※)有不小于2的根，當(dāng)且僅當(dāng)(※)的大根不小于2；或者可令f(x)=yx2-50x+y(y＞0)則又可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)做，答案也是一樣。

轉(zhuǎn)化包括了許多的數(shù)學(xué)思想和方法。事實(shí)上，除了極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，幾乎所有的數(shù)學(xué)題都要經(jīng)過(guò)一次或多次轉(zhuǎn)化才能解決，例如，反證法就是把原命題轉(zhuǎn)化為它的逆命題來(lái)進(jìn)行處理，立體幾何問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合就是數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化等等。

由于每個(gè)人在知識(shí)與能力上的差異，對(duì)問(wèn)題的理解與認(rèn)識(shí)必然也會(huì)有差異，盡管差異有時(shí)導(dǎo)致差錯(cuò)，但正如恩格斯所說(shuō)的“由這種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式，不是無(wú)聊的游戲，而是數(shù)學(xué)的杠桿。如果沒(méi)有它，就不能走很遠(yuǎn)?！睘榱双@得問(wèn)題的解決，也為了走得更遠(yuǎn)，我們就得注重轉(zhuǎn)化，讓數(shù)學(xué)的靈魂光芒四射。

(指導(dǎo)教師：秦竹)