關(guān)于矩陣微分法的補充定義

邵晶晶

(云南大學滇池學院理工學院 云南昆明 650228)

關(guān)于矩陣微分法的補充定義

邵晶晶

(云南大學滇池學院理工學院 云南昆明 650228)

矩陣微分法的定義有九種，其中向量對向量求導的定義只給出了列向量對行向量求導和行向量對列向量求導兩種定義，本文針對這個方面，補充了列向量對列向量求導的定義和行向量對行向量求導的定義，證明了補充定義的3個運算公式，并驗證補充定義完全符合相對于矩陣求導的定義，即補充定義之后，關(guān)于矩陣微分法的定義更加完整。

矩陣微分法 對向量求導 對矩陣求導

一、向量對向量的導數(shù)定義

用X﹑a﹑b代表列向量，A﹑B代表矩陣，上標T代表轉(zhuǎn)置。

由定義1的運算，向量對向量的導數(shù)有以下3個運算公式[2]：

二、向量對向量的導數(shù)的補充定義

從定義1看出，向量對向量的導數(shù)，只定義了2種情況的求導運算，即一種是行向量對列向量求導﹑一種是列向量對行向量求導。下面補充列向量對列向量求導和行向量對行向量求導的定義，證明其滿足的運算性質(zhì)

定義向量a(X)對向量X的導數(shù)：

驗證補充定義有以下運算公式：

設(shè)a(X)﹑b(X)為n維列向量函數(shù)，X為n維列向量，λ(X)為數(shù)量函數(shù)，則：

三、總結(jié)

函數(shù)矩陣對矩陣的導數(shù)定義中[3]，當矩陣退化為一行或一列時就為行向量或列向量，很顯然，文中的補充定義，就是[3]中函數(shù)矩陣對矩陣的導數(shù)定義的矩陣退化為一行或一列的特殊情形。即補充定義讓矩陣微分法的定義更加完整。

[1]梁傳廣、荊海英、荊芷萍.關(guān)于矩陣微分法的評注[J].數(shù)學研究與評論，1993,13(1)：147—153.

[2]李繼根、張新發(fā).矩陣分析與計算[M].武漢：武漢大學出版社，2013:287—294

[3]張凱院、徐仲等.矩陣論[M].北京：科學出版社，2013:113—118.