橋梁極值應(yīng)力的改進(jìn)高斯混合粒子濾波器動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)

樊學(xué)平， 劉月飛， 呂大剛

(1.蘭州大學(xué) 西部災(zāi)害與環(huán)境力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730000；2.蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150090；4.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090)

?

橋梁極值應(yīng)力的改進(jìn)高斯混合粒子濾波器動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)

樊學(xué)平1,2， 劉月飛1,2， 呂大剛3,4

(1.蘭州大學(xué) 西部災(zāi)害與環(huán)境力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730000；2.蘭州大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，甘肅 蘭州 730000；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150090；4.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090)

為合理地動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)在役橋梁的極值應(yīng)力信息，應(yīng)用橋梁健康監(jiān)測(cè)(BHM)系統(tǒng)的長(zhǎng)期日常監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)，建立非線性動(dòng)態(tài)模型，引入擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)與高斯混合粒子濾波器(GMPF)相結(jié)合的改進(jìn)高斯混合粒子濾波器(IGMPF)預(yù)測(cè)算法，對(duì)監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力的一步向前預(yù)測(cè)分布參數(shù)及其狀態(tài)變量的后驗(yàn)分布參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析, 并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證.IGMPF不僅可以得到實(shí)測(cè)極值應(yīng)力狀態(tài)的合理重要性函數(shù)，還可以解決傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法的短期性和精度不高的問題，為實(shí)際BHM系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)提供了理論基礎(chǔ).

監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)； 非線性動(dòng)態(tài)模型； 擴(kuò)展卡爾曼濾波器； 高斯混合粒子濾波器； 改進(jìn)高斯混合粒子濾波器

為保障橋梁的安全性、適用性、耐久性，避免災(zāi)難性事故的發(fā)生，需要對(duì)橋梁進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)、動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)等.在役橋梁結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)已成為各國(guó)政府、科研機(jī)構(gòu)的投資和研究熱點(diǎn).歐進(jìn)萍院士在2002年提出：結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)(structural health monitoring，SHM)集傳感元件、數(shù)據(jù)采集、動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)等系統(tǒng)于一體，是工程理論發(fā)展與綜合的象征和現(xiàn)代結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)技術(shù)的集中體現(xiàn).

目前，SHM的研究成果己大量應(yīng)用于實(shí)際工程，國(guó)內(nèi)外很多知名大跨度橋梁均安裝了健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，如日本明石海峽大橋、中國(guó)的杭州灣跨海大橋、山東濱州黃河公路大橋等[1].SHM系統(tǒng)既可以監(jiān)測(cè)靜力響應(yīng)、動(dòng)力響應(yīng)等信息，還可以利用監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)動(dòng)力響應(yīng).

目前，SHM主要包括兩個(gè)方面：①研制、安裝傳感器，獲得監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù).研究主要集中在數(shù)據(jù)壓縮、數(shù)據(jù)恢復(fù)、數(shù)據(jù)獲得技術(shù)和系統(tǒng)組裝技術(shù)等方面[2-3]，目前已處于成熟階段.②監(jiān)測(cè)信息的應(yīng)用.如何合理地處理監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)是SHM領(lǐng)域的主要難點(diǎn)之一，目前大量研究主要集中在模態(tài)參數(shù)識(shí)別、損傷識(shí)別、模型修正等領(lǐng)域[4-5].而如何利用監(jiān)測(cè)信息預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)已成為SHM亟待解決的的關(guān)鍵問題之一，它將為橋梁的健康監(jiān)測(cè)、診斷以及預(yù)防性養(yǎng)護(hù)維修提供必要的理論基礎(chǔ)和技術(shù)支持.

關(guān)于結(jié)構(gòu)性能預(yù)測(cè)方法，國(guó)內(nèi)外已有許多研究成果，但都存在著一定的局限性，如逐次回歸分析方法的靜態(tài)局限性[6]；時(shí)間序列分析方法只適合于隨機(jī)性的平穩(wěn)數(shù)據(jù)[7]；灰色預(yù)測(cè)模型只適合于強(qiáng)趨勢(shì)性的數(shù)據(jù)序列[8]，等等.擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)、高斯混合粒子濾波器(GMPF)以及它們相結(jié)合的改進(jìn)高斯混合粒子濾波器(IGMPF)可以實(shí)現(xiàn)信息數(shù)據(jù)的合理動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，已在信息處理、模式識(shí)別、無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域取得一些研究成果[9-10]，但在橋梁健康監(jiān)測(cè)、動(dòng)態(tài)響應(yīng)預(yù)測(cè)以及結(jié)構(gòu)可靠性預(yù)測(cè)等領(lǐng)域還未展開大量研究.

基于上述問題，本文首先基于美國(guó)I-39北橋(連續(xù)鋼板梁橋)監(jiān)測(cè)的大量極值應(yīng)力信息，建立了極值應(yīng)力的非線性動(dòng)態(tài)模型，然后給出IGMPF預(yù)測(cè)算法，最后基于動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)的極值應(yīng)力信息，采用所建的非線性模型和IGMPF預(yù)測(cè)算法，實(shí)現(xiàn)極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證分析.

1 橋梁監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力的非線性動(dòng)態(tài)模型及其主要參數(shù)的確定

1.1 基于監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力的非線性動(dòng)態(tài)模型

美國(guó)I-39北橋(連續(xù)鋼板梁橋)SHM系統(tǒng)在長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)中積累了大量監(jiān)測(cè)應(yīng)力信息，本文定義每天監(jiān)測(cè)應(yīng)力的極大值為監(jiān)測(cè)應(yīng)力極值信息，由這些極值信息回歸得到的二次函數(shù)，如式(1)所示，它比線性函數(shù)可以更合理地反映應(yīng)力極值信息的趨勢(shì)項(xiàng)變化規(guī)律，因而可以用來(lái)構(gòu)造狀態(tài)方程，如式(2)～(3)所示.

(1)

(2)

(3)

式(1)～(3)中：h(t)為由極值信息回歸得到的二次函數(shù)；a，b和c為監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力的回歸系數(shù)；t為監(jiān)測(cè)時(shí)間，d；θt為第t天的極值應(yīng)力狀態(tài)值.

由式(2)可以得到

(4)

式(4)的解為

(5)

由式(3)可以得到

(6)

式(6)的解為

(7)

由式(5)和式(7)可知

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行簡(jiǎn)化，可以近似轉(zhuǎn)化的狀態(tài)方程如下：

若a>0，則狀態(tài)方程為

(9)

(10)

若a<0，則狀態(tài)方程為

(11)

(12)

基于式(9)～(12)，考慮到監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力變量和狀態(tài)變量的不確定性，本文所建的非線性動(dòng)態(tài)模型如下：

監(jiān)測(cè)方程為

(13)

式中：N[·]為正態(tài)分布；Vt+1為t+1時(shí)刻監(jiān)測(cè)誤差的方差；T為監(jiān)測(cè)的總時(shí)間.

若a>0，則狀態(tài)方程為

(14)

式中：Wt+1為t+1時(shí)刻狀態(tài)誤差的方差.

(15)

若a<0，則狀態(tài)方程為

(16)

(17)

初始狀態(tài)信息為

(18)

1.2 非線性動(dòng)態(tài)模型主要概率分布參數(shù)的確定

非線性動(dòng)態(tài)模型中存在的主要概率分布參數(shù)有Vt+1,Wt+1,mt和Ct，確定這些參數(shù)的方法如下.

本文模型監(jiān)測(cè)修正的時(shí)間間隔為1 d；觀測(cè)誤差的方差Vt+1可以通過對(duì)隨機(jī)荷載效應(yīng)數(shù)據(jù)(監(jiān)測(cè)應(yīng)力數(shù)據(jù))采用五點(diǎn)三次平滑法進(jìn)行平滑處理獲得趨勢(shì)項(xiàng)隨機(jī)數(shù)據(jù)與隨機(jī)荷載效應(yīng)數(shù)據(jù)之間的差進(jìn)行方差估計(jì)；狀態(tài)誤差的方差Wt+1可以由初始狀態(tài)信息的方差結(jié)合折扣因子近似確定.根據(jù)文獻(xiàn)[9]，Wt+1可由下式確定：

(19)

式中：δt-1為時(shí)變折扣因子.參考由文獻(xiàn)[9]可知，δt-1隨狀態(tài)變量的修正方差增大而減小,但變化范圍為0.95～0.98.

對(duì)t時(shí)刻以及之前的隨機(jī)荷載效應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行五點(diǎn)三次平滑處理，濾去高頻隨機(jī)信號(hào)，得到低頻趨勢(shì)項(xiàng)隨機(jī)數(shù)據(jù)，即t時(shí)刻的狀態(tài)變量信息.基于這些狀態(tài)變量值采用如下方法可以對(duì)mt和Ct進(jìn)行估計(jì).

若狀態(tài)變量值服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，根據(jù)等概率變換原則，則通過式(20)可轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布，且分布參數(shù)分別為μ′與σ′(初始狀態(tài)信息的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差)[9].

(20)

式中：φ(·)為正態(tài)概率密度函數(shù)；g(·)為樣本實(shí)際概率密度函數(shù).樣本實(shí)際概率分布函數(shù)為G(·)，且G(x0)=0.05，進(jìn)而可以得到x0的值.

若狀態(tài)變量值服從其他的概率分布，則初始狀態(tài)變量值可利用以下方法近似得到N個(gè)正態(tài)分布的加權(quán)組合：

(1) 根據(jù)核密度估計(jì)方法，歷史荷載效應(yīng)樣本的實(shí)際概率分布函數(shù)F(x)可近似為g(x)，即

(21)

式中：x為歷史荷載效應(yīng)數(shù)據(jù).

(2) 由于任何的荷載效應(yīng)數(shù)據(jù)概率分布都可以由有限的N個(gè)正態(tài)分布加權(quán)組合得到，所以

(22)

(3) 根據(jù)最小離差平方和方法(OLS)可以得到擬合的有限個(gè)正態(tài)分布的分布參數(shù)，即

(23)

式中:有限個(gè)正態(tài)分布的分布參數(shù)可以通過OLS的優(yōu)化計(jì)算方法得到，即當(dāng)FOLS→min，可以得到正態(tài)分布的優(yōu)化分布參數(shù).

2 基于非線性動(dòng)態(tài)模型的IGMPF預(yù)測(cè)算法

基于所建立的非線性動(dòng)態(tài)模型，采用條件概率法和貝葉斯方法，可得系統(tǒng)狀態(tài)θt+1的先驗(yàn)概率分布為

(24)

式中：p(θt+1|θt)可由式(14)～(18)計(jì)算得到；p(θt|Dt)可由式(18)近似計(jì)算得到.

觀測(cè)值的一步向前預(yù)測(cè)分布為

(25)

式中：p(yt+1|θt+1)可由式(13)和式(18)計(jì)算得到.

系統(tǒng)狀態(tài)θt+1的后驗(yàn)概率分布為

(26)

由式(1)～(3)可知，要采用GMPF算法預(yù)測(cè)觀測(cè)值的一步向前預(yù)測(cè)分布p(yt+1|Dt)和系統(tǒng)狀態(tài)θt+1的后驗(yàn)概率分布p(θt+1|Dt+1)，還必須得到合適的重要性概率密度函數(shù).

2.1 p(θt+1|Dt+1)基于EKF的近似重要性概率密度函數(shù)

基于式(18)，t時(shí)刻的狀態(tài)變量概率密度函數(shù)為

(27)

由于觀測(cè)誤差和狀態(tài)噪音均服從單一正態(tài)分布，結(jié)合EKF[10]與式(14)～(18)，式(24)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(28)

(29)

得到y(tǒng)t+1之后，基于式(13)和式(28)可得

(30)

式中：Ck=∫p(θt+1|Dt)p(yt+1|θt+1)dθt+1.

采用式(28)和式(30)可得

p(θt+1|Dt+1)≈

(31)

式中：

(32)

2.2 基于EKF與GMPF的IGMPF預(yù)測(cè)算法

由式(13)～(18)和式(24)～(32)，可得基于非線性動(dòng)態(tài)模型的IGMPF預(yù)測(cè)算法如下.

2.2.1t+1時(shí)刻狀態(tài)變量的后驗(yàn)概率分布

由式(29)可得t+1時(shí)刻狀態(tài)變量的先驗(yàn)概率分布為

(33)

得到t+1時(shí)刻的監(jiān)測(cè)值之后，利用式(31)，p(θt+1|Dt+1)可以近似求解.

(34)

(35)

(36)

(37)

修正的粒子權(quán)重為

(38)

最后可得t+1時(shí)刻狀態(tài)變量的后驗(yàn)概率分布為

(39)

2.2.2t+2時(shí)刻狀態(tài)變量的先驗(yàn)概率分布

基于式(28)，(33)和(39), 可得

p(θt+2|Dt+1)≈

(40)

采用高斯粒子濾波器[10-11]，p(θt+2|Dt+1)的遞推修正如下：

(41)

(42)

修正的粒子權(quán)重為

(44)

進(jìn)而可得t+2時(shí)刻狀態(tài)變量的先驗(yàn)概率分布為

(45)

2.2.3t+2時(shí)刻觀測(cè)變量的一步向前預(yù)測(cè)分布

利用式(13)，(25)和(45)可得

p(yt+2|Dt+1)=∫p(θt+2|Dt+1)p(yt+2|θt+2)dθt+2≈

(46)

一步向前預(yù)測(cè)分布的均值和方差分別為

(47)

一步向前預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)精度為

(48)

對(duì)于實(shí)測(cè)監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)而言，方差σM=0.而本文采用IGMPF算法預(yù)測(cè)得到的極值應(yīng)力數(shù)據(jù)由于考慮到數(shù)據(jù)的隨機(jī)性和不確定性，所以σM≠0.

基于上述IGMPF預(yù)測(cè)算法，可得極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)方法如圖1所示.

圖1 極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)框架

3 算例分析

美國(guó)I-39北橋[12-14]建于1961年，是一座五跨連續(xù)鋼板梁橋，總長(zhǎng)度為188.81 m，橋梁監(jiān)測(cè)項(xiàng)目包括結(jié)構(gòu)特定構(gòu)件的應(yīng)力和應(yīng)變?cè)u(píng)估等.關(guān)于檢測(cè)項(xiàng)目的詳細(xì)內(nèi)容和目的，參見文獻(xiàn)[13].此項(xiàng)目對(duì)橫向第二跨鋼板的跨中梁底極值應(yīng)力進(jìn)行了90 d的監(jiān)測(cè)，監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)只考慮了由車輛荷載、溫度荷載、收縮徐變和結(jié)構(gòu)變化引起的應(yīng)力的變異性，由鋼板和混凝土恒載引起的應(yīng)力信息不包括在監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)里面.現(xiàn)利用前83 d的監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)，建立極值應(yīng)力的非線性動(dòng)態(tài)模型及其IGMPF預(yù)測(cè)算法，然后基于第83天到第89天的監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)，對(duì)第84天到第90天的極值應(yīng)力進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè).

采用前83 d監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力擬合得到的二次函數(shù)為

mt=-0.001t2+0.055t+24.93

(49)

式中：mt近似為第t天的極值應(yīng)力狀態(tài)值.

為了得到初始狀態(tài)信息的分布參數(shù)，對(duì)前83 d的監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行了五點(diǎn)三次平滑處理，處理之后的數(shù)據(jù)近似作為狀態(tài)數(shù)據(jù)，如圖2所示.對(duì)狀態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行K-S檢驗(yàn)，可知初始狀態(tài)信息的分布信息如式(53)所示.圖3顯示了初始狀態(tài)分布曲線基于不同監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力信息修正的狀態(tài)分布曲線，可看出基于不同的監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力信息，采用IGMPF修正預(yù)測(cè)得到的狀態(tài)分布曲線不同，從而可知建立動(dòng)態(tài)模型來(lái)動(dòng)態(tài)修正預(yù)測(cè)極值應(yīng)力狀態(tài)是必要的.

圖2 平滑處理后的極值應(yīng)力與監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力對(duì)比

圖3 初始狀態(tài)修正前后的概率密度函數(shù)

利用式(1)～(18)和式(49)，可建立非線性動(dòng)態(tài)模型.

監(jiān)測(cè)方程為

(50)

式中：yt+1為t+1時(shí)刻的監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力；θt+1為t+1時(shí)刻的狀態(tài)值；νt+1是監(jiān)測(cè)誤差；Vt+1=21.75,可以利用監(jiān)測(cè)極值數(shù)據(jù)與平滑之后的趨勢(shì)項(xiàng)隨機(jī)信息近似估計(jì)得到.

狀態(tài)方程為

ωt+1～N[0,Wt+1],t≤24

(51)

ωt+1～N[0,Wt+1],t>24

(52)

式中:ωt+1為狀態(tài)誤差.

初始狀態(tài)信息為

0.5LN[3.18, 0.192]≈

0.5N[24.56, 4.672]+

0.5N[23.17, 3.352]

(53)

式中：N[·]為正態(tài)概率分布;LN[·]為對(duì)數(shù)正態(tài)概率分布.

利用式(50)～(53)和式(33)～(48)，基于第83天到第89天的監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)得到的第84天到第90天的極值應(yīng)力數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)精度，如圖4和圖5所示.從圖4可知,預(yù)測(cè)得到的極值應(yīng)力滿足監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力的變化規(guī)律，兩者結(jié)果近似相等.圖5顯示出隨著監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力的不斷修正，非線性動(dòng)態(tài)模型和IGMPF算法的預(yù)測(cè)精度越來(lái)越好，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所建非線性動(dòng)態(tài)模型和IGMPF預(yù)測(cè)算法的合理性.

圖4 極值應(yīng)力的預(yù)測(cè)值和監(jiān)測(cè)值

圖5 非線性動(dòng)態(tài)模型的預(yù)測(cè)精度

4 結(jié)論

本文首次基于監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力信息給出非線性動(dòng)態(tài)模型與相對(duì)應(yīng)的IGMPF預(yù)測(cè)算法，并通過實(shí)際工程進(jìn)行了驗(yàn)證.從分析結(jié)果可以看出：

(1) 預(yù)測(cè)的極值應(yīng)力與監(jiān)測(cè)得到的極值應(yīng)力近似相等.

(2) 基于監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的不斷修正，所建的非線性動(dòng)態(tài)模型和IGMPF算法的預(yù)測(cè)精度越來(lái)越好，更加驗(yàn)證了本文所建非線性動(dòng)態(tài)模型和IGMPF預(yù)測(cè)算法的合理性與適用性.

基于三次函數(shù)和多次函數(shù)的非線性動(dòng)態(tài)模型、初始監(jiān)測(cè)應(yīng)力數(shù)目大小(初始粒子數(shù)目)以及動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)對(duì)IGMPF預(yù)測(cè)精度的影響規(guī)律有待進(jìn)一步研究.

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Improved Gaussian Mixed Particle Filter Dynamic Prediction of Bridge Monitored Extreme Stress

FAN Xueping1,2, LIU Yuefei1,2, Lü Dagang3,4

(1. Key Laboratory of Mechanics on Disaster and Environment in Western China of the Ministry of Education, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China; 2. School of Civil Engineering and Mechanics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China; 3. Key Laboratory of Structures Dynamic Behavior and Control of the Ministry of Education, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China; 4. School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China)

To reasonably and dynamically predict the extreme stress information of in-service bridge, in this paper, the nonlinear dynamic models were built including monitoring equation and state equation with the long-term everyday monitored extreme stress data of bridge health monitoring (BHM) system. Then the improved Gaussian mixed particle filter (IGMPF) prediction algorithm was introduced which was obtained by using extended Kalman filter (EKF) and GMPF. IGMPF can predict one-step forward prediction distribution parameters of monitored extreme stress and the posteriori distribution parameters of extreme stress state variable. Finally, an actual example was provided to illustrate the application and feasibility of the IGMPF algorithm built. The IGMPF prediction algorithm can not only obtain the reasonable importance functions of monitored extreme stress states, but also solve the problems of short-term prediction and low precision of the traditional prediction methods. It provides a theoretical foundation for dynamic response prediction of the actual BHM.

monitored extreme stress data; nonlinear dynamic model; extended Kalman filter; Gaussian mixed particle filter; improved Gaussian mixed particle filter

2016-01-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(51608243)；甘肅省自然科學(xué)基金(1606RJYA246)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(lzujbky-2015-300，lzujbky-2015-301)

樊學(xué)平(1983—)，男，講師，工學(xué)博士，主要研究方向?yàn)闃蛄航Y(jié)構(gòu)安全評(píng)定與可靠性預(yù)測(cè).

E-mail:fxp_2004@163.com; fanxp@lzu.edu.cn

TU391; TU392.5

A