將實際問題數(shù)學(xué)化

金　明

將實際問題數(shù)學(xué)化

金明

在本章節(jié)中，我們把一些實際問題中的數(shù)量關(guān)系抽象成二次函數(shù)，并應(yīng)用二次函數(shù)的有關(guān)知識解決了這些問題.事實上，日常生產(chǎn)、生活中的許多實際問題，都可以抽象成數(shù)學(xué)問題.

歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，是18世紀數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻，更把整個數(shù)學(xué)推至物理的領(lǐng)域.他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫出800多頁的論文，還寫了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等課本，《無窮小分析引論》《微分學(xué)原理》《積分學(xué)原理》等都成了數(shù)學(xué)界中的經(jīng)典著作.

歐拉小時候放學(xué)回家常幫父親放羊，一邊放羊，一邊讀書，有一天，他發(fā)現(xiàn)羊的數(shù)量越來越多，達到了100只，羊圈很擁擠.后來，歐拉的父親就規(guī)劃出了面積剛好為600平方米的土地修建新羊圈，平均每只羊剛好占地6平方米，即將動工時發(fā)現(xiàn)用來作圈欄的籬笆只有100米長，若按原計劃建羊圈，就要再添10米長的材料，要是縮小面積，每只羊的占地面積將會小于6平方米.此時，見父親一臉無奈，小歐拉對父親說：“不用增加材料，也不用縮小羊圈，我還能使羊圈的面積達到更大.”

你知道歐拉是如何做到的嗎？

其實，歐拉是用二次函數(shù)的知識來修建羊圈，并使羊圈的面積最大化.

【分析】設(shè)出羊圈的長和寬，列出羊圈的面積，然后將式子化為頂點式，即可求得面積的最大值，從而可以解答本題.

解：設(shè)羊圈的長為x米，則寬為（50-x）米.

S=x（50-x）=-x2+50x=-（x-25）2+625，

即x=25時，S取得最大值，此時S=625.

故歐拉設(shè)計的羊圈的長和寬都為25米，則材料不用增加，面積達到了最大值625，大于600.

像這樣，如果一個實際問題比較復(fù)雜，那么應(yīng)融合實際情況的信息，選擇其中的一些主要信息，然后通過抽象建立數(shù)學(xué)模型，再運用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題.本故事中歐拉修建羊圈的方法的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的信息列出面積的表達式，與二次函數(shù)的知識聯(lián)系起來.

當然，應(yīng)當指出，數(shù)學(xué)問題的解，需要檢驗它是否符合實際.如何符合，那么要對解的意義做出解釋，比如本故事中歐拉這樣修建羊圈是符合實際的.解的意義即是歐拉設(shè)計的羊圈的長和寬都為25米，從而解決實際問題.如果不符合，那么要建立新的數(shù)學(xué)模型，重新嘗試解決實際問題.

（作者單位：江蘇省太倉市明德初級中學(xué)）