厄蘭極值混合模型的有效估計(jì)及其在保險(xiǎn)中的應(yīng)用

殷崔紅,林小東,2,袁海麗

(1.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005)

(2.多倫多大學(xué)統(tǒng)計(jì)系,加拿大多倫多M5S 3G3)

(3.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢430072)

厄蘭極值混合模型的有效估計(jì)及其在保險(xiǎn)中的應(yīng)用

殷崔紅1,林小東1,2,袁海麗3

(1.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005)

(2.多倫多大學(xué)統(tǒng)計(jì)系,加拿大多倫多M5S 3G3)

(3.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢430072)

本文研究了Erlang混合分布和廣義帕累托分布混合模型的估計(jì)問題.通過引入iSCAD懲罰函數(shù),利用EM算法極大化iSCAD懲罰似然函數(shù)的方法,獲得了混合序和參數(shù)的估計(jì)值,計(jì)算出有效的度量風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)value-at-risk(VaR)和tail-VaR(TVaR),通過模擬實(shí)驗(yàn)和實(shí)際數(shù)據(jù)說明了模型和算法的有效性.推廣了有限Erlang極值混合模型在保險(xiǎn)數(shù)據(jù)擬合中的應(yīng)用.

極值理論;極值混合模型;iSCAD懲罰;EM算法;似然函數(shù)

1　引言

Erlang混合分布廣泛應(yīng)用于保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)的建模,在保險(xiǎn)破產(chǎn)理論和保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)的擬合中都有良好的表現(xiàn).保險(xiǎn)破產(chǎn)理論中,當(dāng)利用混合Erlang分布對(duì)保險(xiǎn)損失的嚴(yán)重程度建模時(shí),通常關(guān)注的一些指標(biāo)將有明確的解析式,比如無限破產(chǎn)概率,隨機(jī)破產(chǎn)時(shí)刻的拉普拉斯變換等,這方面的研究可參考文獻(xiàn)[3,17,21,29];近幾年,學(xué)者更多關(guān)注于將Erlang混合分布用于擬合保險(xiǎn)實(shí)際損失數(shù)據(jù),得到了很多令人滿意的分布性質(zhì),比如分布函數(shù)和矩都有解析式,使得相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度value-at-risk(VaR)和tail VaR(TVaR)比較容易計(jì)算.Verbelen[30]等將雙邊截?cái)嘁隕rlang混合分布,計(jì)算了再保險(xiǎn)合同的純保費(fèi).類似研究見文獻(xiàn)[9, 10,19,26,30]等.Lee和Lin[20]提出Erlang混合分布的多元形式,多元混合Erlang分布保留了一元Erlang混合分布的大部分有用的分布性質(zhì),同時(shí)建模相依性,與copula方法相呼應(yīng).關(guān)于多元Erlang混合分布的研究見文獻(xiàn)[2,16,31,32]等.

混合模型的首要問題是混合序的確定,Lee和Lin[19,30]等都利用BIC來確定Erlang混合分布的序,Yin和Lin[33]提出了一種新的iSCAD懲罰函數(shù),建立懲罰似然函數(shù),運(yùn)用EM算法給出參數(shù)的估計(jì),同時(shí)給出了混合序的估計(jì).然而值得注意的是:Erlang分布是輕尾的,用它來擬合重尾數(shù)據(jù)時(shí)可能很難達(dá)到預(yù)期效果.其次,尾部數(shù)據(jù)相應(yīng)的權(quán)重一般都很小,公式(3.11)可以看出,權(quán)重小于閾值λ的相應(yīng)Erlang分布都被刪除,這不利用保留擬合尾部數(shù)據(jù)的Erlang分布.為解決這些問題,本文引入極值理論擬合尾部數(shù)據(jù),建立Erlang極值混合模型.

極值混合模型廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析中,尤其在保險(xiǎn)、金融、水文和環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域.在保險(xiǎn)領(lǐng)域,大額索賠在保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)管理和產(chǎn)品定價(jià),尤其是再保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)方面,有不可忽略的意義.文獻(xiàn)[4,12,13,23,27]等將極值理論引入到保險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)管理中.為使數(shù)據(jù)的主體和尾部都擬合的很好,Behrens[5]提出單一參數(shù)分布與一個(gè)極值分布的混合模型, Carreau和Bengio[7]討論混合參數(shù)分布與極值分布的混合模型,類似的文獻(xiàn)[5,6,15,22, 24]等給出多種極值混合模型.Lee[18]等最早將極值混合模型引入到保險(xiǎn)數(shù)據(jù)中,但是所有這些混合模型都沒有考慮混合序的確定.

本文建立Erlang混合分布與廣義帕累托(GPD)分布的混合模型,廣義帕累托(GPD)分布用于擬合數(shù)據(jù)的尾部,而Erlang混合分布用于擬合數(shù)據(jù)的主體,這樣即有Erlang混合分布的優(yōu)點(diǎn),同時(shí)保留了極值理論的長(zhǎng)處.引入iSCAD懲罰來估計(jì)混合Erlang分布的參數(shù), Yin和Lin[33]已證明參數(shù)和混合序的估計(jì)都有一致性.

2　Erlang極值混合模型

首先給出Erlang分布的密度函數(shù)為

其中γ是取值為正整數(shù)的形狀參數(shù)(shape parameter),θ＞0是尺度參數(shù)(scale parameter).

將m個(gè)不同的Erlang分布以權(quán)重α=(α1,···,αm)混合,則Erlang混合分布的密度函數(shù)為

相應(yīng)的分布函數(shù)為F(x;α,γ,θ),其中權(quán)重參數(shù)α=(α1,···,αm)滿足αj≥0和γ=(γ1,···,γm)是形狀參數(shù),為了可識(shí)別性的說明,一般有γ1≤···≤γm,而θ＞0是共有的尺度參數(shù).

由于投保人的性別、車型、駕車經(jīng)驗(yàn)和熟悉程度等的不同,使得索賠數(shù)據(jù)一般有明顯的異質(zhì)性,單一的Erlang分布可能很難給出好的擬合效果,因此數(shù)據(jù)的主體部分本文仍然選用Erlang混合分布來擬合,而尾部采用極值分布.故本文采用左右雙邊截?cái)嗟腅rlang混合分布,大部分保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)都是已知截?cái)嘀?比如保險(xiǎn)中的免賠額和賠償限額.以l和μ分別表示左右截?cái)嘀?免賠額l已知),雙邊截?cái)嗟腅rlang混合分布的密度函數(shù)是

其中

顯然,(2.2)式是左右截?cái)帱c(diǎn)為l和μ的Erlang分布f(x;l,μ,γj,θ)的混合模型,混合權(quán)重為π=(π1,···,πm),滿足πj≥0和=1.密度函數(shù)(2.1)相應(yīng)的分布函數(shù)為F(x;l,μ,α,γ,θ).

在統(tǒng)計(jì)中,廣義帕累托分布(Generalized Pareto Distribution,i.e.,GPD)經(jīng)常被用于擬合其他分布或?qū)嶋H數(shù)據(jù)的尾部,本文選用GPD擬合數(shù)據(jù)的尾部,其密度函數(shù)是

廣義帕累托分布(GPD)的生存函數(shù)為

結(jié)合(2.1)和(2.4)式,為彌補(bǔ)引言中提過的Erlang混合模型的不足,本文建立的Erlang極值混合模型的密度函數(shù)為

其中μ為閾值,X是服從h(x;l,μ,α,γ,θ,ξ,σ)分布的隨機(jī)變量,令ψμ=P(X＞μ),其一般由大于μ的樣本比例來估計(jì).

相應(yīng)的生存函數(shù)為

風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度就是各種風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的總稱.現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)管理工具VaR最初由Morgan針對(duì)銀行業(yè)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)的需要提出的,并很快被推廣成為了一種產(chǎn)業(yè)標(biāo)準(zhǔn).風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR是指在正常的市場(chǎng)條件、給定的置信水平以及給定的持有期間內(nèi),投資組合所面臨的潛在最大損失.VaR是一種分位數(shù)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度,一般給定置信水平p,典型的p=95%或者99%.但是,VaR作為風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度只考慮了概率為p的事件的最大損失VaRp,高于VaRp的損失并沒有納入風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度,為克服這個(gè)缺陷,Tail Value at Risk(or TVaR)被提出來.在給定置信水平p下,TVaR就是損失落入最糟的1-p部分的平均損失.下面給出Erlang極值混合模型關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)VaR和TVaR的計(jì)算.

為便于風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)VaRp和TVaRp的計(jì)算,當(dāng)X≤μ時(shí),將生存函數(shù)(2.7)用Erlang密度函數(shù)分別表達(dá)為

假設(shè)損失隨機(jī)變量X服從Erlang極值混合分布(2.6),給定置信水平p,有

方程(2.9)的解即置信水平為p的VaRp.

計(jì)算TVaRp之前,首先研究自付責(zé)任額為R(＞l)的再保險(xiǎn)的純保費(fèi),當(dāng)R≤μ時(shí),

當(dāng)R＞μ時(shí),

綜上,自付責(zé)任額為R(＞l)的再保險(xiǎn)的純保費(fèi)為

當(dāng)自付責(zé)任額R=VaRp時(shí),置信水平為p的TVaRp為

3　EM算法

文獻(xiàn)[33]針對(duì)每一個(gè)分量權(quán)重參數(shù)πj,j=1,···,m,提出的iSCAD懲罰函數(shù)為

其中I(·)是示性函數(shù).本文建立的Erlang極值混合分布中Eralng混合分布的參數(shù)估計(jì)與新引入的極值分布的參數(shù)估計(jì)互不影響,因此關(guān)于Eralng混合分布的極大懲罰似然估計(jì)仍然是一致的.

Expectation-Maximization(EM)算法最早由Dempster[11]給出比較詳細(xì)的說明,當(dāng)似然函數(shù)的最大值點(diǎn)不能直接得到時(shí),EM算法通過迭代的方法找到最大值點(diǎn).EM算法需引入隱變量,隱變量可以是未知參數(shù),丟失的數(shù)據(jù)或者任何可以使模型簡(jiǎn)化的未觀測(cè)數(shù)據(jù)量. EM算法分為E-step和M-step兩步,其中E-step計(jì)算目標(biāo)函數(shù)關(guān)于隱變量Z的條件期望, M-step是最大化目標(biāo)函數(shù),求得參數(shù)的極大似然估計(jì).王繼霞等[1]將EM算法用于有限混合Laplace分布的估計(jì).

Erlang極值混合模型的所有待估參數(shù)是:擬合數(shù)據(jù)主體部分的Erlang混合分布的序m,形狀參數(shù)γ=(γ1,···,γm),相應(yīng)的權(quán)重參數(shù)α=(α1,···,αm),所有Erlang分布共用的尺度參數(shù)θ,擬合數(shù)據(jù)尾部的廣義帕累托分布的閾值μ,尺度參數(shù)σ,形狀參數(shù)ξ,下面逐一介紹它們的估計(jì).

由公式(2.2)知,密度函數(shù)(2.6)也可以由新權(quán)重參數(shù)π表示為

假設(shè)X=(X1,···,Xn)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量,服從密度函數(shù)h(x;l,μ,π,γ,θ,ξ,σ),即(3.2),樣本觀測(cè)值為x=(x1,···,xn),相應(yīng)有序樣本觀測(cè)值為x(1)≤···≤x(n),記

Pickands[25]給出與閾值μ相應(yīng)的k的選擇方法,從1開始依次增加,最大值為[n/4],而μ=x(n-k),本文最終由似然函數(shù)的大小選出μ.為方便后面的說明,重新表示n＇=n-k和x＇=(x(1),···,x(n＇)).

形狀參數(shù)的估計(jì)采用Yin和Lin[33]類似的方法,即預(yù)先給定一個(gè)大的混合序M,形狀參數(shù)的所有可能取值是γ0=(),通過估計(jì)相應(yīng)的權(quán)重參數(shù),來實(shí)現(xiàn)混合序的估計(jì)和形狀參數(shù)的選擇.

Erlang極值混合分布的密度函數(shù)h(x;l,μ,π,γ0,θ,ξ,σ)中的部分未知參數(shù)記為φ= (π1,···,πM,θ),本文采用EM算法來估計(jì)φ.

樣本x=(x1,···,xn)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

樣本x=(x1,···,xn)的iSCAD懲罰對(duì)數(shù)似然函數(shù),其中與參數(shù)φ=(π1,···,πM,θ)有關(guān)的部分是

直接關(guān)于?n＇,P(φ;x)求極大似然估計(jì)是困難的,本文使用EM算法,引入隱變量,即Z=(Z1,···,Zn),其中Zi=(Zij|i=1,···,n,j=1,···,M),

那么完整樣本(x,Z)的似然函數(shù)為

相應(yīng)完整樣本(x,Z)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

相應(yīng)的完整樣本(x,Z)的iSCAD懲罰對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

EM算法是利用迭代過程來估計(jì)參數(shù)的方法,假設(shè)已經(jīng)完成第k次迭代,獲得的當(dāng)前估計(jì)是φ(k)=EM算法的E-step和M-step分別為

E-step ?n,P(φ;x,Z)關(guān)于隱變量Z求條件期望,得到關(guān)于可觀測(cè)樣本x的邊際似然函數(shù),即

M-step(3.9)式是權(quán)重參數(shù)πj(j=1,···,M)和尺度參數(shù)θ的函數(shù),求函數(shù)(3.9)的極大估計(jì),即

權(quán)重參數(shù)πj的第(k+1)次迭代的估計(jì)為

尺度參數(shù)θ的第(k+1)次迭代的估計(jì)為

其中

迭代過程一直持續(xù)到|Q(φ(k))-Q(φ(k-1))|小于某個(gè)既定的誤差界.分別以0,j=1,···,M}和表示EM迭代的最終結(jié)果.混合模型序的估計(jì)是

最后,關(guān)于廣義帕累托分布(GPD)的尺度參數(shù)σ和形狀參數(shù)ξ的極大似然估計(jì),Coles[8]已經(jīng)詳細(xì)討論過,本文就不再作重復(fù)說明.

本文利用R軟件進(jìn)行計(jì)算,基于Yin和Lin[33]關(guān)于Erlang混合分布的R程序和軟件包“ismev”,編寫本文Erlang混合分布和GPD分布混合模型的R程序,完成模擬實(shí)驗(yàn)和實(shí)際數(shù)據(jù)中模型參數(shù)的估計(jì).

4　模擬實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證模型和估計(jì)的有效性,本文給出一個(gè)模擬實(shí)驗(yàn),從密度函數(shù)(2.6)中隨機(jī)抽取了2500個(gè)隨機(jī)數(shù),其中(2.6)式中的所有參數(shù)見表1中的真實(shí)參數(shù).

表1:真實(shí)參數(shù)與參數(shù)估計(jì)值的對(duì)比

參數(shù)的初始化主要參考文獻(xiàn)[19,28].事先給定M=10,形狀參數(shù)的備擇范圍即γ=(1,···,10),以Tijms[28]的方法初始化,公式(3.11)給出極大懲罰似然的權(quán)重參數(shù)估計(jì),其稀疏性實(shí)現(xiàn)了在形狀參數(shù)備擇范圍γ=(1,···,10)中進(jìn)行合理選擇.從表1可以看出,形狀參數(shù)最終僅選中=(2,7),只有這兩個(gè)形狀參數(shù)對(duì)應(yīng)的權(quán)重參數(shù)估計(jì)為非零的,即=(0.501,0.499),其它形狀參數(shù)相應(yīng)的權(quán)重參數(shù)估計(jì)均為零,即=0,j=1,3,4,5,6,8,9,10.顯然,混合模型序的估計(jì)

由本實(shí)驗(yàn)可以看出,引入iSCAD懲罰的優(yōu)勢(shì)所在:通過對(duì)權(quán)重參數(shù)的估計(jì),同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對(duì)形狀參數(shù)的選擇和混合模型序的估計(jì).表1列出的所有參數(shù)估計(jì)值與真實(shí)值都很接近,說明模型和算法都很有效,能夠反映出數(shù)據(jù)的特征.圖1很好的反應(yīng)了這一點(diǎn),圖1中的真實(shí)曲線和擬合曲線幾乎是重合的.

圖1:模擬數(shù)據(jù)的直方圖,真實(shí)曲線與擬合曲線

5　丹麥火災(zāi)數(shù)據(jù)

丹麥火災(zāi)賠償數(shù)據(jù)有2167個(gè)觀測(cè)值,Embrechts[14]和Mendes[24]等都用極值理論研究過這組數(shù)據(jù)的尾部,本文采用Erlang極值混合模型從總體上研究這組數(shù)據(jù),不再僅僅限于研究其尾部特征.

文獻(xiàn)[33]討論了帶左截?cái)帱c(diǎn)l的Erlang混合分布,本文在其基礎(chǔ)上提出了Erlang極值混合分布,在本例中將利用這兩種不同的分布分別擬合丹麥火災(zāi)賠償數(shù)據(jù),比較兩種分布的優(yōu)劣.

表2給出Erlang混合分布和Erlang極值混合分布(2.6)擬合火災(zāi)損失數(shù)據(jù)得到的所有參數(shù)的估計(jì)值,其中利用Erlang極值混合分布得到的結(jié)果說明擬合數(shù)據(jù)的主體部分采用了三個(gè)Erlang分布,數(shù)據(jù)的尾部由廣義帕累托分布來擬合,兩部分的閾值點(diǎn)為4.174,尾部數(shù)據(jù)比例為0.152;而利用Erlang混合分布擬合同一組火災(zāi)數(shù)據(jù)則需要十個(gè)不同的Erlang分布的混合.

表2　:參數(shù)估計(jì)值

圖2:丹麥火災(zāi)數(shù)據(jù)的直方圖與擬合曲線

圖2是丹麥火災(zāi)數(shù)據(jù)的直方圖、Erlang混合分布和Erlang極值混合分布的擬合曲線,可以看出擬合效果較好.

圖3和4分別給出Erlang混合分布和Erlang極值混合分布的Q-Q圖,顯然Erlang極值混合分布在尾部數(shù)據(jù)的擬合上更優(yōu).

本文給出VaR的非參數(shù)(nonparametric)法估計(jì)作為標(biāo)桿,在置信水平為p的條件下, VaRp的非參數(shù)估計(jì)是方程Fn(VaRp)=p的解,其中Fn(x)=

表3:非參數(shù)法、Erlang混合分布和Erlang極值混合分布的VaRp值的比較

圖3:丹麥火災(zāi)數(shù)據(jù)的Q-Q圖(Erlang混合分布)

圖4:丹麥火災(zāi)數(shù)據(jù)的Q-Q圖(Erlang極值混合分布)

表3給出三種方法的VaRp估計(jì)值,表3可以看出,Erlang極限混合分布估計(jì)得到的VaRp與非參數(shù)法得到的VaRp非常接近,估計(jì)效果很好.

表4:非參數(shù)法、Erlang混合分布和Erlang極值混合分布的TVaRp值的比較

表4給出非參數(shù)法、Erlang混合分布和Erlang極值混合分布的TVaRp估計(jì)值,其中TVaR的非參數(shù)估計(jì)為TVaRp=.Erlang混合分布的TVaRp比非參數(shù)法的結(jié)果偏小,這主要是因?yàn)镋rlang混合分布對(duì)火災(zāi)損失數(shù)據(jù)的尾部擬合不足,見圖3;而Erlang極值混合分布的結(jié)果稍大,而且越到尾部,這種趨勢(shì)越明顯,這主要是因?yàn)楣烙?jì)得到的=0.661＞0,即估計(jì)的極值分布為厚尾的,而實(shí)際數(shù)據(jù)的尾部過于稀疏,不足以表現(xiàn)這種厚尾性.

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2010 MR Subject Classification:62E15;62F10

EFFICIENT ESTIMATION OF ERLANG AND GPD MIXTURES USING ISCAD PENALTY WITH INSURANCE APPLICATION

YIN Cui-hong1,LIN Xiao-dong1,2,YUAN Hai-li3
(1.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)
(2.Department of Statistical Sciences,University of Toronto,Ontario M5S 3G3,Canada)
(3.School of Mathematics and Statistics Sciences,Wuhan University,Wuhan 430072,China)

In this paper,we study efficient estimation of Erlang&GPD mixture model.By using a new thresholding penalty function and a corresponding EM algorithm,we estimate model parameters and determine the order of the mixture model.We obtain risk measure including VaR and TVaR and show efficiency of the new mixture model in simulation studies and a real data application,which improve Erlang&extreme value mixture model in modeling insurance losses.

extreme value theory;mixture model;iSCAD penalty;EM algorithm;likelihood function

MR(2010)主題分類號(hào):62E15;62F10O212.1

A

0255-7797(2016)06-1315-13

?2016-04-09接收日期:2016-06-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11201352).

殷崔紅(1982-),女,山東濰坊,博士,主要研究方向:非壽險(xiǎn)精算.