共點又等長 旋轉來變換

□ 周奕生

共點又等長 旋轉來變換

□ 周奕生

旋轉變換是幾何圖形三大變換之一，當圖形中出現(xiàn)我們所關注的某個三角形的某條邊與其他邊具有“共點等長且夾角為特殊角（比如60°、90°等）”時，一般可采用旋轉變換，將該三角形繞著“共點”的點旋轉，使得“等長”的邊重合.我們這樣利用旋轉變換可以解決許多具有一定難度的幾何問題.

例1 如圖1，已知P是等邊△A B C 內 一 點 ，∠A P B＝140°，∠A P C＝130°，求以P A、P B、P C為三邊的三角形的各個內角的度數(shù).

圖1

解析：求解的關鍵是構造以P A、P B、P C為三邊的三角形，而構造的關鍵是對P A、P B、P C的位置進行變換.注意到B A＝B C，∠A B C＝ 60°，故考慮將△BA P繞點B旋轉60°得△B C Q，此時P A＝Q C，P B＝Q B，這相當于把P A、P B分別變換到Q C、Q B.易知△B P Q是等邊三角形，從而Q B＝P Q，這樣以P A、P B、P C為邊的三角形就是△P Q C.在△P Q C中，∠PQ C＝∠BQ C－60°＝140°－60°＝80°，∠Q PC＝∠B P Q－60°＝（360°－140°－130°）－60°＝30°，∠PC Q＝180°－80°－30°＝70°.

例2 如圖2，P、Q是等腰Rt△A B C斜邊A B上兩點，且∠P C Q＝45°，試判斷以A P、P Q、B Q三條線段長為邊能否構成三角形？如果能，請說明這個三角形的形狀；如果不能，請說明理由.

圖2

解析：欲判斷以A P、P Q、B Q三條線段能否構成三角形，由于它的長不確定，所以應通過變換將它們集中到同一個三角形中去，再作比較.由于C A＝C B，且它的夾角為90°，因此可把△A C P繞點C順時針旋轉90°得△B C P′，連接P′Q，則C P′＝C P，∠B C P′＝∠A C P，AP＝B P′，∠C B P′＝∠A＝45°，從而∠P′B Q＝90°.下面只須再探索P′Q是否等于P Q？

由 ∠P C Q＝45°，得 ∠A C P＋∠B C Q＝45°，所以∠P′C Q＝45°＝∠P C Q，所以△P′C Q≌△P C Q，所以P′Q＝P Q.

因此，以A P、P Q、B Q三條線段長可構成與Rt△P′B Q一樣的直角三角形.

例3 已知點P是正方形A B C D內一點，連接P A、P B、P C.

（1）若 P A＝2，P B＝4，∠A P B＝135°，求P C的長；

（2）若P A2＋P C2＝2P B2，請說明點P必在對角線A C上.

解析：（1）將P A、P B變換到與P C在同一個三角形中.由于△P A B的邊B A與B C“共點等長”，所以將△P A B繞點B順時針旋轉90°得△P′B C，連接 P P′（圖 3①），則△B P P′是等腰直角三角形，所以∠B P′P＝45°，P P′＝ 2 B P＝4 2.

又∠B P′C＝∠A P B＝135°，所以∠P P′C＝90°，

（2）欲證點P在A C上，只須證∠A P B＋∠B P C＝180°.將△A B P繞點B順時針旋轉90°得△C B P′，則∠A P B＝∠C P′B，因此只須證∠C P′B＋∠B P C＝180°.連接P P′（如圖3②），則在等腰直角三角形P P′B中，P P′2＝2 P B2，再由已知P A2＋P C2＝2 P B2及P′C＝P A，得P P′2＝P A′＋P′C2，根據(jù)勾股定理逆定理，知∠P C P′＝90°，所以∠C P′B＋∠B P C＝360°－2× 90°＝180°，故A、P、C三點共線，即點P在A C上.

圖3①

圖3②

例4（武漢）如圖4，在四邊形A B C D中，A D＝4，C D＝3，∠A B C＝∠A C B＝∠A D C＝45°，則B D的長為______.

分析：由于B D所在的△A B D除了已知邊A D＝4外，并無其他特殊性，而由∠A B C＝∠A C B＝45°，得∠B A C＝90°，A C＝A B，故將△A B D繞點A順時針旋轉90°得△A C E，則

B D＝C E，A D＝A E，∠D A E＝90°，所以∠AD E＝45°.又∠A D C＝45°，所以∠C D E＝90°.由A D＝4，得D E＝，又C D＝3，所以C E＝＝此即B D的長.

圖4

例5 如圖5，點P為正方形A B C D內一點，且∠A P D＝90°，點P到點A及正方形的中心O的距離分別為P A＝4，P O＝求P D的長.

圖5

解析：由O為正方形A B C D的中心，所以△A P O的邊O A等于O B，又O A和O B的夾角為90°，故把△A P O繞點O逆時針旋轉90°得△B P′O，連接P P′，則△O P P′為等腰直角三角形，所以∠O P P′＝∠O P′P＝45°.因為P O＝6 2，所以P P′＝12.因為∠A P D＝∠A O D＝90°，則A、D、O、P四點共圓，所以∠O P D＝∠O A D＝45°，所以∠A P P′＝180°，A、P、P′三點共線，所以A P′＝A P＋P P′＝16.又∠P′B O＝∠PA O，所以∠A B P′＋∠B A P′＝∠A B O＋∠B A O＝90°，則∠A P′B＝∠A P D＝90°.又B P′＝A P，AB＝A D，所以△A B P′≌△D A P，所以P D＝P′A＝16.

例6（咸寧）如圖6①，正方形O A B C的邊O A、O C在坐標軸上，點B的坐標為（－4，4）.點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規(guī)定點P到達點O時，點Q也停止運動.連接B P，過P點作B P的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D.B D與y軸交于點E，連接P E.設點P運動的時間為t（s）.

圖6①

（1）∠P BD的度數(shù)為_____，點D的坐標為_____（用t表示）；

（2）當t為何值時，△P B E為等腰三角形？

（3）探索△P O E周長是否隨時間t的變化而變化，若變化，說明理由；若不變，試求這個定值.

解析：（1）欲求∠P B D的度數(shù)，由已知∠B P D＝90°，可判定P B是否等于P D來解決？從點P、Q的運動情況可知A P＝O Q，所以P Q＝O A.又四邊形O A B C是正方形，所以O A＝A B，所以P Q＝A B.因為BP⊥P D，所以∠A P B＋∠D P Q＝90°.又∠A P B＋∠A B P＝90，所以∠A B P＝∠D P Q.因為l⊥x軸，∠P Q D＝90°＝∠B A P.所以△P A B≌△D Q P，P B＝P D.所以∠P B D＝45°.

欲求點D的坐標，需要知道Q O及D Q的長.由于Q O＝P A＝t，所以點D的橫坐標為x＝t.因為△P A B≌△D Q P，所以D Q＝A P＝t，點D的縱坐標為y＝t.故點D的坐標為（t，t）.

（2）欲使△P B E為等腰三角形，由于沒有具體指定腰或底邊，所以需要對腰或底邊進行分類討論.但注意到由△P A B≌△D Q P得P B＝P D，所以顯然有P B≠P E，即等腰△P B E的底邊不能是B E.

下面分兩種情況討論求解：

（Ⅰ）若P B為底邊，即E B＝E P，則∠E P B＝∠E B P＝45°，此時點P與O點重合，t＝4；

（Ⅱ）若P E為底邊，即B E＝B P，則由“HL”得△P A B≌△E C B，

∴ C E＝P A＝t.

過D點作D F⊥O C于點F（如圖6②），

則D F＝O F＝t，E F＝4－2 t.

∵ △B C E∽△D F E，

△P B E為等腰三角形.

圖6②

圖6③

（3）欲知△P O E周長是否隨時間t的變化而變化？需考慮△P O E三邊的和.由于△B C E的邊B C與B A共點等長，且夾角為90°，故對△B CE進行旋轉變換，即將△B C E繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△B A H（如圖6③），則B E＝B H，C E＝A H，∠E B H＝90°，

∴ ∠EB P＝45°＝∠P B H，

又B P＝B P，

∴ △P B E≌△P B H，

∴ E P＝P H＝A H＋A P＝C E＋A P.

∴ △P O E的周長＝O P＋O E＋P E＝O P＋O E＋C E＋AP＝O A＋O C＝4＋4＝8.

所以，△P O E周長不隨時間t的變化而變化，其值總是8.