一種新型非線性時(shí)變模型：模糊變參數(shù)系統(tǒng)

張洪楊， 梁悅， 班曉軍， 吳奮

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001；2.北卡羅萊納州立大學(xué) 機(jī)械與宇航工程系，美國(guó) 羅利 27695-7910)

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一種新型非線性時(shí)變模型：模糊變參數(shù)系統(tǒng)

張洪楊1， 梁悅1， 班曉軍1， 吳奮2

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，黑龍江 哈爾濱 150001；2.北卡羅萊納州立大學(xué) 機(jī)械與宇航工程系，美國(guó) 羅利 27695-7910)

為了研究非線性時(shí)變模型，提出了模糊變參數(shù)系統(tǒng)。它是一種集T-S模糊系統(tǒng)和線性變參數(shù)系統(tǒng)諸多優(yōu)點(diǎn)為一體的新型非線性時(shí)變模型，它繼承了T-S模糊模型能有效處理非線性系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，又保持了線性變參數(shù)模型處理時(shí)變系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)。模糊變參數(shù)系統(tǒng)不僅克服了傳統(tǒng)T-S模糊模型在處理時(shí)變系統(tǒng)時(shí)模糊規(guī)則劇增的弱點(diǎn)，也擴(kuò)展了線性變參數(shù)系統(tǒng)理論的適用范圍，為解決非線性時(shí)變系統(tǒng)的控制問(wèn)題提供了新思路。在以上模型的基礎(chǔ)上，給出了零平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件以及設(shè)計(jì)一種T-S全狀態(tài)反饋控制律的充分條件，數(shù)值仿真驗(yàn)證了結(jié)果的有效性。

T-S模糊系統(tǒng)；線性變參數(shù)系統(tǒng)；模糊變參數(shù)系統(tǒng)；二次李亞普諾夫穩(wěn)定；非線性時(shí)變系統(tǒng)

0 引 言

非線性時(shí)變系統(tǒng)是控制理論的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。實(shí)際工程中尤其是國(guó)防領(lǐng)域中出現(xiàn)的新裝備、新系統(tǒng)更是迫使控制理論工作者展開(kāi)非線性時(shí)變系統(tǒng)方面的研究。例如，在飛行器控制領(lǐng)域，考慮到燃料的消耗和氣動(dòng)參數(shù)的變化，嚴(yán)格上講所有的飛行器都是非線性時(shí)變系統(tǒng)。而且，這種時(shí)變特性會(huì)隨著飛行器速度、航程、飛行空域的增加而尤顯突出。

由于T-S模糊系統(tǒng)具有相對(duì)簡(jiǎn)潔明了的結(jié)構(gòu)以及在一定條件下具有萬(wàn)能逼近器的特性，至今，T-S模糊控制問(wèn)題仍然是非線性控制領(lǐng)域國(guó)內(nèi)外研究熱點(diǎn)之一[1-5]?；谠撓到y(tǒng)的解析結(jié)構(gòu)分析[6]，模型逼近性能[7]，穩(wěn)定性分析[8-10]及控制律綜合[11-15]，魯棒性能分析以及魯棒控制律綜合[16]，濾波器設(shè)計(jì)[18]，增益調(diào)度控制[18-20]等問(wèn)題都得到了廣泛研究。這些豐富的研究成果強(qiáng)有力地推動(dòng)了T-S模糊控制理論的發(fā)展與應(yīng)用。然而，到目前為止，大部分研究主要基于參數(shù)恒定的T-S模糊系統(tǒng)，即構(gòu)成非線性模型的局部線性系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣均為常數(shù)矩陣。這種常規(guī)的T-S系統(tǒng)具有很好的處理非線性特性的能力，但是在處理時(shí)變特性的時(shí)候卻有局限性，這主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

1)規(guī)則數(shù)目劇增，不利于系統(tǒng)分析與綜合

為了處理時(shí)變特性，需要將與時(shí)間有關(guān)的參數(shù)作為條件變量引入到模糊規(guī)則中，這勢(shì)必會(huì)增加模糊規(guī)則數(shù)。按照經(jīng)典的并行補(bǔ)償設(shè)計(jì)方法，描述被控對(duì)象的規(guī)則數(shù)增加則相應(yīng)的T-S模糊控制律的規(guī)則數(shù)目也增加。那么相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的規(guī)則數(shù)目會(huì)倍增。而現(xiàn)有的T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和綜合方法一般都?xì)w結(jié)到求解一組線性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)，那么規(guī)則數(shù)的增加將會(huì)直接導(dǎo)致線性矩陣不等式數(shù)目的急劇增加，大幅度增加計(jì)算量，進(jìn)而提高控制系統(tǒng)分析與綜合的計(jì)算復(fù)雜度。

2)對(duì)時(shí)變特性的“近似”描述

正如一般情況下T-S模糊模型是對(duì)非線性系統(tǒng)的一種近似描述，一旦把時(shí)變參數(shù)作為模糊變量引入到條件變量中，一般情況下也是對(duì)系統(tǒng)時(shí)變特性的一種近似描述，這無(wú)疑會(huì)引入模型誤差，也會(huì)給系統(tǒng)分析與控制律綜合帶來(lái)更多保守性。

綜上所述，盡管T-S模糊系統(tǒng)能有效處理非線性被控對(duì)象，但在處理被控對(duì)象的時(shí)變特性方面具有局限性。

而另一方面，上個(gè)世紀(jì)90年代以來(lái)，基于線性變參數(shù)系統(tǒng)(linear parameter varying systems，LPV)的理論[21-22]得到了長(zhǎng)足發(fā)展。該理論主要是解決以下線性時(shí)變系統(tǒng)的分析與綜合問(wèn)題：

其中θ(t)∈Rm是隨時(shí)間變化的獨(dú)立于系統(tǒng)狀態(tài)變量的參數(shù)。借助于凸優(yōu)化理論，各種基于線性變參數(shù)系統(tǒng)的問(wèn)題都得到了很廣泛的研究。例如穩(wěn)定性分析、鎮(zhèn)定問(wèn)題、保證輸出輸入性能的控制律綜合問(wèn)題等，其理論框架基本成熟。一般情況下，這些問(wèn)題最后都?xì)w結(jié)到求解一組依賴參數(shù)θ(t)的線性矩陣不等式。目前，該理論已將線性定常控制理論發(fā)展到了線性時(shí)變控制理論，能有效處理線性時(shí)變系統(tǒng)的控制系統(tǒng)分析與綜合問(wèn)題。但該理論構(gòu)建在線性時(shí)變模型的基礎(chǔ)上，其處理非線性對(duì)象的能力有限。僅管在一定條件下可以將非線性模型轉(zhuǎn)化為一種“偽線性變參數(shù)模型”的形式，但會(huì)帶來(lái)分析設(shè)計(jì)上的保守性。所以從理論上講，我們需要將現(xiàn)有的線性變參數(shù)理論推廣到非線性領(lǐng)域。

基于以上考慮，本文提出了一種新型的非線性時(shí)變模型，稱之為模糊變參數(shù)系統(tǒng)(fuzzy parameter varying systems，F(xiàn)PV)。該系統(tǒng)能夠克服一般T-S模糊模型在描述時(shí)變特性時(shí)存在的局限性，結(jié)合T-S模糊系統(tǒng)和線性變參數(shù)系統(tǒng)的特點(diǎn)于一身，直接面向非線性時(shí)變系統(tǒng)，將為解決非線性時(shí)變系統(tǒng)的控制問(wèn)題提供一種新的理論途徑。

1 模糊變參數(shù)系統(tǒng)

假設(shè)模糊變參數(shù)系統(tǒng)規(guī)則庫(kù)中共有r條規(guī)則，則第i條規(guī)則形式如下：

(1)

其中：

將式(1)所描述的系統(tǒng)稱為模糊變參數(shù)系統(tǒng)。

可以看出，系統(tǒng)(1)中的Ai(·)，Bi(·)，Ci(·)和Di(·)不依賴時(shí)變參數(shù)θ(t)的時(shí)候，該系統(tǒng)即退化為一個(gè)普通的T-S系統(tǒng)，體現(xiàn)出描述非線性被控對(duì)象的能力；當(dāng)規(guī)則庫(kù)中只有一條規(guī)則或者每條規(guī)則對(duì)應(yīng)的線性模型的參數(shù)都相同時(shí)，該系統(tǒng)又退化為一個(gè)普通的線性變參數(shù)系統(tǒng)，體現(xiàn)出處理時(shí)變特性的能力。因此，該系統(tǒng)是集T-S模糊系統(tǒng)和線性時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)特點(diǎn)于一身，是一種描述非線性時(shí)變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

值得注意的是，從理論上講，T-S系統(tǒng)的條件變量z(t)完全可以是與系統(tǒng)狀態(tài)或者輸出無(wú)關(guān)的隨時(shí)間變化的量，從而整個(gè)T-S模型可以體現(xiàn)出時(shí)變特性。但正如緒論以及第三節(jié)中所描述，用這種方式描述時(shí)變系統(tǒng)具有很大的局限性。所以只假設(shè)式(1)中的條件變量z(t)僅僅是狀態(tài)變量或輸出變量。

注：現(xiàn)階段的T-S模糊模型大多數(shù)是集中參數(shù)系統(tǒng)，但是在實(shí)際生產(chǎn)和過(guò)程中，狀態(tài)變量不僅與時(shí)間有關(guān)還會(huì)與空間變量相關(guān)，例如流體問(wèn)題、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程等。因此狀態(tài)變量嚴(yán)格意義上也是空間變量的函數(shù)。從而可以得到偏微分模糊系統(tǒng)。從偏微分模型角度考慮，偏微分模糊變參數(shù)系統(tǒng)有r條規(guī)則組成，其中第i條規(guī)則具有如下形式：

(2)

2 T-S模糊模型與FPV模型的對(duì)比

T-S模糊模型在描述非線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)候具有局限性。這是因?yàn)橥ǔＲ獙r(shí)變參數(shù)當(dāng)作一個(gè)新的條件變量加入到模糊規(guī)則中。以下面用倒立擺的數(shù)學(xué)模型來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型為：

規(guī)則1：如果x1在0弧度附近，那么

規(guī)則2：如果x1在0.489π弧度附近，那么

假設(shè)以上非線性模型中的擺桿長(zhǎng)度是時(shí)間的函數(shù)，即l=1.5+cos(t)。如果還用傳統(tǒng)T-S模糊模型建模，可以把擺桿長(zhǎng)度當(dāng)成一個(gè)條件變量來(lái)處理。在最簡(jiǎn)單的情況下，可以得到4條模糊規(guī)則的T-S模糊模型：

規(guī)則1：如果x1在0弧度附近并且l在1.75 m附近，那么

規(guī)則2：如果x1在0弧度附近并且l在2.25 m附近，那么

規(guī)則3：如果x1在0.489π弧度附近并且l在1.75 m附近，那么

規(guī)則4：如果x1在0.489弧度附近并且l在2.25 m附近，那么

其中：

可以看出T-S模糊模型在描述時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)候，模糊規(guī)則從2條變成了4條。這還僅僅是最簡(jiǎn)單的情況，倘若希望進(jìn)一步提高模型精度，需要對(duì)擺桿長(zhǎng)度進(jìn)行更細(xì)致的模糊劃分，勢(shì)必會(huì)得到更多的模糊規(guī)則，這將為后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)和綜合問(wèn)題帶來(lái)很大困難。

針對(duì)更為一般的非線性時(shí)變系統(tǒng)，應(yīng)用常規(guī)T-S系統(tǒng)近似系統(tǒng)時(shí)，可行的做法是將所有不屬于狀態(tài)變量的其他隨時(shí)間變化的參數(shù)θ(t)視為條件變量，即將這些變量包含在z(t)中。此時(shí)，該系統(tǒng)可以描述時(shí)變非線性系統(tǒng)。但這種做法會(huì)將直接導(dǎo)致規(guī)則數(shù)目呈指數(shù)形式增長(zhǎng)。假設(shè)z(t)中原有n個(gè)變量，對(duì)每個(gè)變量進(jìn)行s個(gè)模糊劃分，則不對(duì)規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，完備的規(guī)則庫(kù)中會(huì)包含sn條規(guī)則?？紤]新增加的時(shí)變參數(shù)，若對(duì)于時(shí)間參數(shù)θi(t)，i=1,2,…,m所在論域也進(jìn)行s個(gè)模糊劃分，則不做任何規(guī)則簡(jiǎn)化時(shí)，規(guī)則數(shù)目會(huì)增加到s(m+n)。以此計(jì)算，整體會(huì)增加sn(sm-1)條規(guī)則。假設(shè)z(t)中原有2個(gè)變量，即n=2，并對(duì)每個(gè)參數(shù)所在論域進(jìn)行7個(gè)模糊劃分(這是一種很通常的做法：負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大)，即s=7。此時(shí)，規(guī)則數(shù)目會(huì)增加72×(72-1)=2 352條。該數(shù)字會(huì)隨著變量個(gè)數(shù)的增加呈指數(shù)形式增長(zhǎng)，而FPV系統(tǒng)恰好能克服T-S系統(tǒng)這個(gè)弱點(diǎn)。

3 模糊變參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性分析是控制系統(tǒng)研究中的一項(xiàng)重要工作?；诙涡蚅yapunov函數(shù)，我們可以得到保證系統(tǒng)零平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件?？紤]如下不帶控制量的模糊變參數(shù)系統(tǒng)

(3)

式中x是狀態(tài)變量，Ai(θ)∈Rn×n是系統(tǒng)矩陣，其它參數(shù)與式(1)中相同。

選取如下二次Lyapunov函數(shù)

V(x)=xTPx，

其中P∈Rn×n是一個(gè)正定的常數(shù)矩陣。計(jì)算V(x)沿著系統(tǒng)(3)的導(dǎo)數(shù)為

據(jù)此，可以得到下面穩(wěn)定性充分條件。

定理1：如果存在正定矩陣P并且對(duì)于任意的θ∈Ω滿足下面矩陣不等式

那么系統(tǒng)(3)的原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

進(jìn)一步，考慮以下閉環(huán)系統(tǒng)：

(4)

[(Ai(θ)+BiKs)TP+P(Ai(θ)+BiKs)]<0,

可以知道系統(tǒng)(4)的原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的條件：

存在矩陣正定矩陣P和矩陣Ks滿足

(Ai(θ)+ Bi(θ)Ks)TP+P(Ai(θ)+

Bi(θ)Ks)<0,

(5)

其中i,s=1,2,…,r。將式(5)分別左乘和右乘P-1，可以得到

(6)

可以看出上面的式子可以解出P和Ks。據(jù)此可得以下控制器綜合條件。

定理2：如果存在正定矩陣P和矩陣Qs并且對(duì)于任意的θ∈Ω滿足下面線性矩陣不等式

其中，i=1,2,…,r，s=1,2,…,r，然后取控制器

Ks=QsP，s=1,2,…,r。

則閉環(huán)系統(tǒng)(4)的原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

注：如果Ω是凸多邊形，式(6)為有限個(gè)線性矩陣不等式。

4 數(shù)值仿真

以下我們將通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證上述方法設(shè)計(jì)控制器的有效性。為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，取n=2，r=2，Ai(θ)=Ai0+Ai1θ1。針對(duì)于如下變參數(shù)模型以及全狀態(tài)反饋控制器：

(7)

首先寫(xiě)出關(guān)于式(6)的線性矩陣不等式組：

可以通過(guò)Matlab中的LMI工具箱可以解出：

然后將K1和K2代入系統(tǒng)(7)中，使用Matlab中的SIMULINK工具進(jìn)行數(shù)值仿真，得到系統(tǒng)狀態(tài)圖2和圖3。

圖1 θ1(t)的圖像Fig.1 Curve of θ1(t)

圖2 初值為(1,-1)系統(tǒng)(7)的狀態(tài)Fig.2 State of system(7)with initial (1,-1)

圖3 初值為(20,-200)系統(tǒng)(7)的狀態(tài)Fig.3 State of system(7)with initial (20,-200)

從圖2可以看出當(dāng)初值是(1,-1)時(shí)，狀態(tài)變量x1和x2都會(huì)收斂到0。在圖3中，初值選取為(20,-200)，也可以看到狀態(tài)變量收斂到0。

注：由于本算例沒(méi)有實(shí)際物理意義，所以圖1～圖3的縱坐標(biāo)沒(méi)有單位。

5 結(jié) 論

本文提出了一種新型非線性時(shí)變模型：模糊變參數(shù)系統(tǒng)。該系統(tǒng)為解決非線性時(shí)變系統(tǒng)的控制問(wèn)題提供了新思路，它是經(jīng)典T-S模糊模型以及LPV系統(tǒng)的推廣和延伸。進(jìn)一步，我們給出了零平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的一個(gè)充分條件以及設(shè)計(jì)T-S全狀態(tài)反饋控制律的充分條件。數(shù)值仿真驗(yàn)證了以上結(jié)果的有效性。

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(編輯：劉琳琳)

Nonlinear time-varying model: fuzzy parameter varying system

ZHANG Hong-yang1, LIANG Yue1, BAN Xiao-jun1, WU Fen2

(1.Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Mechanical and Aerospace Engineering Department, North Carolina State University, Raleigh 27695-7910, USA)

The fuzzy parameter varying system was proposed to study nonlinear time-varying models. It is a novel nonlinear model combining the advantages of both the T-S fuzzy system and the linear parameter varying (LPV) system. It inherits the advantage of the T-S fuzzy system in dealing with nonlinear systems effectively, and maintains the advantage of LPV system when processing linear time-varying systems. Fuzzy parameter varying system not only overcomes the disadvantage of the traditional T-S fuzzy system in handing time-varying systems, but also expands the scope of application of LPV system theory. It provides a new idea for solving nonlinear time-varying control problem. Moreover, a sufficient condition is provided to guarantee the globally asymptotically stable of the equilibrium and to synthesize a T-S state feedback control law which can stabilize the closed loop fuzzy parameter varying system. Numerical simulations verify the effectiveness of our results.

T-S fuzzy system; linear parameter varying system; fuzzy parameter varying system; quadric Lyapunov stability; nonlinear time-varying system

2016-07-22

國(guó)家自然科學(xué)基金(61304006，61273095)

張洪楊(1987—)，男，博士研究生，研究方向?yàn)槟：儏?shù)系統(tǒng)理論與應(yīng)用；

梁 悅(1994—)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)槟：儏?shù)系統(tǒng)理論與應(yīng)用；

班曉軍

10.15938/j.emc.2016.11.012

TP 273

A

1007-449X(2016)11-0086-06

班曉軍(1978—)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槟：到y(tǒng)、魯棒增益調(diào)度控制；

吳 奮(1964—)，男，博士，教授，研究方向?yàn)轸敯粼鲆嬲{(diào)度控制。