利用區(qū)間與概率的星載可展天線齒輪防卡分析

劉帥杰,段寶巖,楊東武

(西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

利用區(qū)間與概率的星載可展天線齒輪防卡分析

劉帥杰,段寶巖,楊東武

(西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

研究了在索網(wǎng)環(huán)形桁架式星載可展開天線中同時(shí)存在隨機(jī)變量與區(qū)間變量的同步齒輪副防卡滯問題.對(duì)影響同步齒輪副發(fā)生卡滯失效的不確定量進(jìn)行了細(xì)分,分成了區(qū)間變量和隨機(jī)變量,并基于此建立了利用區(qū)間與概率的環(huán)形桁架式可展開天線機(jī)構(gòu)中同步齒輪副卡滯失效的混合模型.利用該混合模型對(duì)同步齒輪副在不同環(huán)境溫度下的防卡滯可靠度進(jìn)行了評(píng)估,并與將影響同步齒輪發(fā)生卡滯失效的不確定量全部視為正態(tài)分布的概率模型的可靠度進(jìn)行了比較.

可展開天線;可靠性;區(qū)間概率混合模型;同步齒輪;防卡滯

可展開天線在太空中能否順利展開,在某種意義上即意味著衛(wèi)星發(fā)射的成功與否.索網(wǎng)-環(huán)形桁架式天線展開機(jī)構(gòu)由電機(jī)、動(dòng)力拉索、扭簧、同步齒輪副零部件組成[1],如圖1所示,其在太空中主要是通過電機(jī)帶動(dòng)同步齒輪副的轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)各單元的逐步展開過程,故同步齒輪副能否正常工作決定了可展開天線能否順利展開.

對(duì)齒輪可靠性的研究主要集中在磨損、疲勞等因素引起的輪齒斷裂方面,而關(guān)于齒輪卡滯的研究較少.陳建軍等[2]利用傳統(tǒng)的概率可靠性方法把影響同步齒輪發(fā)生卡滯失效的不確定參數(shù)全部視為隨機(jī)變量,用二階矩方法推導(dǎo)出齒輪防卡滯可靠度的計(jì)算公式.問題是,這類方法需要大量的樣本數(shù)據(jù)以確定參數(shù)的概率密度函數(shù),且概率可靠性模型對(duì)原始數(shù)據(jù)有較強(qiáng)的依賴性,模型的小偏差易導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的大偏差甚至錯(cuò)誤[3-4].林立廣等[5]把影響同步齒輪發(fā)生卡滯失效的不確定參數(shù)全部視為區(qū)間變量,利用非概率可靠性方法對(duì)其可靠性進(jìn)行了分析.值得指出的是,實(shí)際工程中有些變量很容易確定其概率分布,而有些變量只能給出其變化區(qū)間.為此,需要進(jìn)行同時(shí)包含概率和區(qū)間兩類隨機(jī)變量的可靠性分析方法的研究.

圖1　索網(wǎng)-環(huán)形桁架式可展開天線

關(guān)于區(qū)間和概率混合型不確定變量的可靠性分析,已有一些相關(guān)研究.文獻(xiàn)[6]探討了凸模型與概率模型的混合問題,為概率與凸集混合可靠性方法的研究起到了奠基性的作用.文獻(xiàn)[7]在Elishakoff的基礎(chǔ)上提出了一種概率非概率混合模型,但只適用于簡單問題的可靠性分析.文獻(xiàn)[8-11]把概率變量與區(qū)間變量共存的問題轉(zhuǎn)化成兩層嵌套優(yōu)化問題,并提出了一種有效的求解方法,為結(jié)構(gòu)混合可靠性問題的計(jì)算提供了一種較好選擇,并將其成功地應(yīng)用于汽車碰撞的可靠性分析中.而基于區(qū)間與概率方法的星載可展開天線展開可靠性的分析還未曾有學(xué)者進(jìn)行研究.

基于區(qū)間與概率混合可靠性方法,筆者研究了索網(wǎng)-環(huán)形桁架式可展開天線中同步齒輪副防卡滯問題,分析了影響可展開天線展開機(jī)構(gòu)中同步齒輪卡滯的一些不確定參數(shù),將不確定參數(shù)分成了隨機(jī)變量和區(qū)間變量,建立了同時(shí)考慮隨機(jī)變量和區(qū)間變量的同步齒輪卡滯失效的混合模型,并利用該混合模型對(duì)同步齒輪副在不同環(huán)境溫度下的防卡滯可靠度進(jìn)行了評(píng)估.該模型充分利用了已知的信息,避免了一些不必要的假設(shè),與實(shí)際情況更加吻合.

1　索網(wǎng)-環(huán)形桁架式可展開天線中同步齒輪副防卡滯條件

索網(wǎng)-環(huán)形桁架式可展開天線中一對(duì)同步齒輪副嚙合示意圖如圖2所示.為了同步齒輪副能夠順利地進(jìn)行傳動(dòng)而不出現(xiàn)卡滯,應(yīng)保證兩齒輪在傳動(dòng)過程中齒頂隙始終大于標(biāo)準(zhǔn)值c*m.通過幾何關(guān)系可得最小齒頂隙為[2,5]

圖2　同步齒輪嚙合示意圖

其中,df、da分別為齒根圓和齒頂圓直徑,a為中心距,B為齒厚,θ1、θ2分別為兩齒輪軸線偏轉(zhuǎn)角,c為最小齒頂隙.同步齒輪副不發(fā)生卡滯的條件為

其中,c*m為標(biāo)準(zhǔn)齒頂隙.

2　區(qū)間概率混合可靠性模型

在傳統(tǒng)的可靠性分析中,常用概率的方法來對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠度進(jìn)行評(píng)估,概率可靠度模型把所有的不確定參數(shù)都考慮成隨機(jī)變量.實(shí)際上在大多數(shù)情況下,結(jié)構(gòu)的不確定參數(shù)既有隨機(jī)參數(shù)又有區(qū)間參數(shù),利用傳統(tǒng)方法,計(jì)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)較大偏差甚至錯(cuò)誤.為了充分利用已知的信息,避免做一些傳統(tǒng)性的假設(shè),把隨機(jī)變量用概率模型描述,區(qū)間變量用區(qū)間模型來描述,采用區(qū)間概率混合可靠性方法來進(jìn)行分析.下面首先介紹概率模型,然后引入?yún)^(qū)間概率混合模型.

2.1概率模型

假設(shè)g(X1,X2,…,Xn)為結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)功能函數(shù);X={X1,X2,…,Xn},為結(jié)構(gòu)中的n維隨機(jī)變量,且相互獨(dú)立;g(X)=0,為失效曲面,該曲面將由不確定量構(gòu)成的n維空間分成安全域(g(X)>0)和失效域(g(X)<0)兩部分,如圖3所示.將隨機(jī)變量X轉(zhuǎn)換到獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間U中,根據(jù)概率可靠性理論,不確定結(jié)構(gòu)的可靠度可以由以下積分形式來確定:

圖3　概率模型下可靠性指標(biāo)的描述

其中,fU(U)為聯(lián)合概率密度函數(shù),G(U)表示標(biāo)準(zhǔn)化的極限狀態(tài)功能函數(shù).

通過可靠度指標(biāo)法,式(3)可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成一個(gè)最優(yōu)化問題:

通過該優(yōu)化求得的最優(yōu)解U*為最可能失效點(diǎn)(Most Probable failure Point,MPP).,為可靠度指標(biāo),在幾何上表示:在標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)空間U中,從坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離.通過可靠度指標(biāo)即可計(jì)算出不確定結(jié)構(gòu)安全的可靠度R=?(β),?表示標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù).

2.2區(qū)間與概率混合模型

其中,上標(biāo)c表示中值,r表示離差.

對(duì)于既有隨機(jī)變量又有區(qū)間變量的混合模型,極限狀態(tài)方程G(u,v)=0,代表了在標(biāo)準(zhǔn)化的u空間中的一簇失效面.每一個(gè)極限狀態(tài)曲面都對(duì)應(yīng)了區(qū)間變量v的一個(gè)實(shí)現(xiàn).換句話說,所有滿足極限狀態(tài)方程G(u,v)=0的點(diǎn)在u空間中組成了一個(gè)帶狀的幾何區(qū)域.這樣整個(gè)u空間被極限狀態(tài)曲面G(u,v)=0分成了3個(gè)區(qū)域,分別是安全域Ωs={u:min G(u,v)>0},臨界域Ωc={u:G(u,v)=0,?v∈E},失效域Ωf=Ω(Ωs∪Ωc).圖4所示為具有兩個(gè)隨機(jī)變量和一個(gè)區(qū)間變量的情況,其中βm即為混合模型的可靠性指標(biāo).

圖4　區(qū)間概率混合模型下可靠性指標(biāo)的描述

據(jù)此,可定義混合可靠性模型的可靠度Pm=Pr{G(u)>0}.由于存在區(qū)間變量,所以結(jié)構(gòu)的可靠度也應(yīng)該屬于一個(gè)區(qū)間:

此時(shí),結(jié)構(gòu)處在安全域內(nèi).同理,將式(8)中的問題轉(zhuǎn)化為求最大值問題,則可以得到最可能失效點(diǎn)的上界、可靠性指標(biāo)上限以及可靠度上限,這種情況下結(jié)構(gòu)處在安全域和臨界域內(nèi).

3　索網(wǎng)-環(huán)形桁架式可展天線中同步齒輪副防卡滯的混合可靠性模型

3.1影響同步齒輪副卡滯的因素

很多因素都會(huì)影響同步齒輪的卡滯,筆者只考慮加工、裝配過程中的誤差來對(duì)同步齒輪的卡滯問題進(jìn)行分析[5].通過第1節(jié)中建立的同步齒輪防卡滯條件,易知影響同步齒輪卡滯的隨機(jī)變量主要有齒輪的兩齒根圓直徑df、兩齒輪的齒頂圓直徑da,影響兩齒輪偏轉(zhuǎn)角θ1和θ2的垂直度誤差Δ1和Δ2以及兩個(gè)同步齒輪之間的中心距a.由于齒輪的齒根圓直徑與齒頂圓直徑的誤差往往是由于測量工具或檢測手段的限制造成的,實(shí)際上是一種不確知性,這些不確定量的范圍容易確定,故可以看做是區(qū)間變量[12-13].而兩齒輪的垂直度誤差以及中心距主要是由于人的主觀因素引起的操作誤差,具有較大的隨機(jī)性,故把這幾個(gè)變量仍然看做是隨機(jī)變量.

3.2同步齒輪副防卡滯混合可靠性模型的建立

由第1節(jié)中同步齒輪的防卡滯條件,可得同步齒輪傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)功能函數(shù)為

根據(jù)上節(jié)中的方法,設(shè)兩齒輪的中心距a以及齒輪軸線的偏轉(zhuǎn)角θ1和θ2均服從正態(tài)分布,即a～N(μa,σa),θ1～N(μθ1,σθ1),θ2～N(μθ2,σθ2);齒根圓直徑df和齒頂圓直徑da為一個(gè)區(qū)間,,da∈.將這些變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換,為δa,δθ1,δθ2,δda,δdf,這樣功能方程標(biāo)準(zhǔn)化為

則同步齒輪防卡滯可靠性指標(biāo)的下限滿足

同理,將第2個(gè)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為最大化問題,則可得同步齒輪防卡滯可靠性指標(biāo)的上限,然后將可靠性指標(biāo)的上下限分別通過式(7)和式(8)進(jìn)行求解,可以得到同步齒輪副防卡滯的可靠度上下限

3.3太空中環(huán)境溫度對(duì)展開天線中同步齒輪副的卡滯影響

眾所周知,太空環(huán)境中的溫度變化范圍很大,而溫度載荷的變化會(huì)使同步齒輪的徑向尺寸發(fā)生改變,齒形也會(huì)受到影響,從而可能會(huì)使同步齒輪副發(fā)生卡滯現(xiàn)象.天線在太空中的展開非常緩慢,齒輪傳動(dòng)過程中只承受較小的力,故不考慮齒輪由此引起的形變.以Δda,Δdf表示溫度變化引起的齒輪直徑形變量,最小齒頂隙c由式(1)變?yōu)?/p>

把單個(gè)齒輪看做兩端自由的空心圓柱體,利用彈性力學(xué)知識(shí),計(jì)算由溫度變化引起的齒輪徑向尺寸的形變量.當(dāng)溫度由T0變到T時(shí),齒輪齒根圓和齒頂圓的直徑分別變化為[2]

其中,k=(1+2μ)(T-T0)α,μ為泊松比,α為材料線脹系數(shù),k稱為溫變影響系數(shù).

同樣利用上節(jié)中的方法,可以求得同步齒輪副在不同溫度下的防卡滯可靠度上下限

4　索網(wǎng)-環(huán)形桁架式可展天線中同步齒輪副防卡滯可靠度的計(jì)算

以索網(wǎng)-環(huán)形桁架式可展開天線為研究對(duì)象.其同步齒輪副的設(shè)計(jì)參數(shù)有:齒輪材料為TC4鋼;材料線脹系數(shù)α=8.4×10-6/℃;泊松比μ=0.33;齒頂隙系數(shù)c*=0.25;齒輪安裝孔深度S=25 mm;安裝孔垂直度誤差為⊥0.08 mm;齒數(shù)z=32;齒高系數(shù);齒輪模數(shù)m=1.125 mm;齒輪厚度B=7.6 mm;齒輪的齒根圓直徑,齒輪的齒頂圓直徑;太空環(huán)境溫度T∈[-120℃,120℃],其中T0=20℃.齒輪的安裝孔標(biāo)準(zhǔn)中心距,正變位中心距;齒輪副數(shù)目N=48,其中隨機(jī)變量(兩齒輪的垂直度誤差以及中心距)的隨機(jī)分布參數(shù)由正態(tài)分布的3σ準(zhǔn)則來確定.

利用3.2節(jié)推導(dǎo)出的同步齒輪卡滯的區(qū)間概率混合模型分別計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝以及正變位中心距安裝時(shí),在環(huán)境溫度為20℃,-20℃以及-120℃和120℃下的可靠度如表1所示.將結(jié)果與把影響同步齒輪發(fā)生卡滯失效的不確定量全部視為正態(tài)分布的概率模型的可靠度進(jìn)行比較.

表1　索網(wǎng)環(huán)形桁架展開天線中同步齒輪副防卡滯可靠度計(jì)算結(jié)果及對(duì)比

通過表1中的數(shù)據(jù)可知:

(1)如果不考慮溫度的影響,則按正變位中心距安裝齒輪比采用標(biāo)準(zhǔn)中心距安裝齒輪的防卡滯可靠度更高.但是正變位的中心距也不是越大越好,太大則容易使齒輪副發(fā)生脫離,影響傳動(dòng)的同步性和平穩(wěn)性.

(2)齒輪副防卡滯可靠度隨著溫度的上升明顯降低,說明齒輪在高溫情況下容易卡滯.

(3)當(dāng)溫度為120℃時(shí),齒輪副幾乎處于失效狀態(tài);而當(dāng)溫度為-120℃時(shí),齒輪副的防卡滯可靠度很高.

(4)區(qū)間概率模型法與概率模型法計(jì)算出來的可靠度隨著溫度的變化趨勢(shì)一致,說明了區(qū)間概率模型法的有效性.

(5)區(qū)間概率模型法計(jì)算出來的可靠度是一個(gè)區(qū)間,而概率模型法計(jì)算出來的結(jié)果是一個(gè)可靠度值,說明區(qū)間概率模型法充分利用了已知的信息,避免了一些不必要的假設(shè),計(jì)算出的結(jié)果更加具有參考價(jià)值.

5　結(jié)束語

由于環(huán)形桁架展開天線展開機(jī)構(gòu)中同步齒輪的一些不確定性量在通常情況下不能給出其準(zhǔn)確的概率分布,而這些不確定性量也并不一定是隨機(jī)的,所以將其假設(shè)為隨機(jī)變量往往是不確切的.通常情況下其區(qū)間比較容易獲得,因此,常看做區(qū)間變量.而對(duì)于這種既有隨機(jī)變量又存在區(qū)間變量的情況,則不能夠用傳統(tǒng)的概率模型法來進(jìn)行求解.筆者采用區(qū)間概率法構(gòu)建了環(huán)形桁架展開天線中同步齒輪中同時(shí)存在隨機(jī)變量與區(qū)間變量的混合模型,解決了同步齒輪副同時(shí)存在隨機(jī)變量與區(qū)間變量的情況,得到了同步齒輪副防卡滯可靠度的一個(gè)上下限,通過分析說明了此種方法的有效性且更加具有參考價(jià)值.同時(shí),通過計(jì)算結(jié)果分析可知,同步齒輪副按照正變位中心距安裝時(shí)更利于齒輪副防卡滯,而高溫不利于齒輪副防卡滯.

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(編輯:郭 華)

Interval and probability based analysis of seizure-preventing for synchronous gears of the astromesh deployable satellite antenna

LIU Shuaijie,DUAN Baoyan,YANG Dongwu
(Ministry of Education Key Lab.of Electronic Equipment Structure Design,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The seizure-preventing for synchronous gears of the Astromesh deployable satellite antenna is studied with random variables and interval variables existing at the same time.The uncertainties with influence on gear pair seizure failure are subdivided into interval variables and random variables,on the basis of which the interval and probability hybrid model is built for the synchronous gear pair seizure failure in the ring truss deployable antenna.The synchronous gear pair anti-seizure reliability is evaluated at different ambient temperatures with this hybrid model.And the results are compared with the reliability evaluated by the probability model in which the uncertainties are all regarded as obeying normal distribution.

deployable antennas;reliability;interval and probability hybrid model;synchronous gear; seizure-preventing

TH112.3

A

1001-2400(2016)03-0061-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.03.011

2015-01-31

時(shí)間:2015-07-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51490660)

劉帥杰(1990-),男,西安電子科技大學(xué)碩士研究生,E-mail:lsjxidian@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150727.1952.011.html