雙曲線背景下三角形問題探究

☉浙江省諸暨市牌頭中學(xué)　孟　俊

雙曲線背景下三角形問題探究

☉浙江省諸暨市牌頭中學(xué)孟俊

教材中的例題、習(xí)題是高考命題的重要來源之一.縱觀近年高考試題，大多能在教材中找到其立足點(diǎn).命題人通過對(duì)課本習(xí)題的改編或轉(zhuǎn)換考查視角，從而命制出全新的考題.因此我們?cè)诮虒W(xué)中要善于利用這一資源，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課本習(xí)題進(jìn)行深入的探究，從而提高考生的應(yīng)試能力.

例1（新課標(biāo)人教版選修2-1第57頁(yè)習(xí)題）如圖1，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線3x2－5y2=15的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，且△F1AF2的面積等于求∠F1AF2的大小.

圖1

與圓錐曲線焦點(diǎn)有關(guān)的三角形，我們通常稱其為焦點(diǎn)三角形.此類問題常涉及三角形的周長(zhǎng)、面積、夾角等.

欲求∠F1AF2的大小，可通過求sin∠F1AF2來實(shí)現(xiàn).因此只要求得|AF1·||AF2|的值，即可解決問題.因此繼續(xù)尋找|AF1|、|AF2|的關(guān)系.

在△F1AF2中，由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2－2|AF1||AF2·| cos∠F1AF2=4c2=32.（1）

由雙曲線的定義得|AF1|－|AF2|=2a=2兩邊平方得|AF1|2+|AF2|2－2|AF1||AF2|=20.（2）

一、逆向變換求面積

將問題的條件與結(jié)論互換，是題目常見變化之一，能有效考查同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握及靈活應(yīng)用能力，也從另外一個(gè)角度反映了公式、性質(zhì)、定理的三用技巧，即正用、逆用及變形用.

例2已知F1、F2是雙曲線3x2－5y2=15的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上.若求△F1AF2的面積.

在△F1AF2中，由余弦定理得32.（1）

由雙曲線的定義得|AF1|－|AF2|=2a=2兩邊平方得|A|A－2|AF1||AF2|=20.（2）

二、深入探究得一般結(jié)論

教材中的例題或習(xí)題具有典型的代表性，對(duì)其進(jìn)行深入的探究，?？傻玫浇鉀Q一類問題的一般結(jié)論.

解析：在△F1AF2中，由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2－2|AF1||AF2|cos∠F1AF2=4c2.（1）

由雙曲線的定義得||AF1|－|AF2||=2a，兩邊平方得|AF1|2+ |AF2|2－2|AF1||AF2|=4a2.（2）

（1）-（2）得2|AF1||AF2|（1－cos∠F1AF2）=4a2－4c2=4b2.

所以

三、將焦點(diǎn)變頂點(diǎn)

例4（2015年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ）已知A、B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則雙曲線E的離心率為（）.

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題將焦點(diǎn)變?yōu)轫旤c(diǎn)，問題求解的方法也隨之改變，與例1的解法2如出一轍.

四、將焦點(diǎn)變定點(diǎn)

條件改變是問題變式的又一種主要方式.隨著條件的變化，問題求解的方法也會(huì)有所調(diào)整.此類變換能有效考查考生的應(yīng)變能力.

圖3

例5（2015年全國(guó)新課標(biāo)卷）如圖3，已知F是雙曲線C：的右焦點(diǎn)，P是雙曲線C左支上一點(diǎn)，A（0，6），當(dāng)△APF的周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為_________．

解析：設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F′.△APF的周長(zhǎng)為d= |PA|+|PF|+|AF|.由雙曲線定義知|PF|=2a+|PF′|，所以d= |PA|+|PF′|+|AF|+2a.因?yàn)閨AF|+2a為定值，要使△APF的周長(zhǎng)最小，則|PA|+|PF′|最小，即P、A、F′三點(diǎn)共線.

點(diǎn)評(píng)：本題將其中的一個(gè)焦點(diǎn)改為頂點(diǎn)，另一點(diǎn)改為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則結(jié)論也由原來的定值變?yōu)樽钪?但求解思路仍然是由定義展開.

五、改變曲線背景

圓錐曲線包括橢圓、雙曲線、拋物線，圓錐曲線第二定義將三種曲線緊密結(jié)合在一起，適用于一種曲線的性質(zhì)往往也適合另一種曲線.

解析：在△AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2+|AF2|2－2|AF1||AF2|cosθ=|F1F2|2，所以（|AF1|+|AF2|）2-2|AF1||AF2|·（1+cosθ）=4c2，所以2|AF1||AF2|（1+cosθ）=4b2，所以|AF1|·即

總之，數(shù)學(xué)解題的過程就是對(duì)問題探究的過程，通過對(duì)問題的變式探究，即鍛煉了思維，又培養(yǎng)了能力，筆者希望以此拋磚引玉，激發(fā)同學(xué)們的探究熱情，以課本習(xí)題為出發(fā)點(diǎn)，找到高考命題的生長(zhǎng)點(diǎn)，從而為數(shù)學(xué)備考指引方向.