滲透圖形理念建立數(shù)學思想

☉江蘇省蘇州市吳縣中學　韋　莉

滲透圖形理念建立數(shù)學思想

☉江蘇省蘇州市吳縣中學韋莉

如果細數(shù)高中數(shù)學當中的思想方法，相信很多師生都會想到“數(shù)形結(jié)合”.的確，數(shù)形結(jié)合是解決高中數(shù)學問題的一個十分重要的方法，具有相當廣泛的普適性.這也明確彰顯了圖形在高中數(shù)學學習過程當中的重要性.實際上，數(shù)形結(jié)合思想的廣泛運用，只是展現(xiàn)了圖形對問題解答的輔助作用.透過這個視角繼續(xù)深入挖掘便會發(fā)現(xiàn)，圖形對于整個高中階段的數(shù)學知識學習都具有積極意義.我們應當站在一個更高的視野層次，將圖形上升為一種理念，在知識學習當中建立起一種圖形化思想，推動學習效果走向完善.

一、運用簡單圖形，明晰概念認知

概念是數(shù)學知識的基石，只有將每一個基本概念準確理解，才能穩(wěn)扎穩(wěn)打地對相應內(nèi)容展開學習.因此，教師們常常會將概念教學作為新知識教學當中的第一個重點.那么，如何開展概念教學是比較可取的呢？單一的語言描述往往會讓本就十分抽象的概念內(nèi)容變得更加晦澀，教師應當考慮一些創(chuàng)新的教學方式.圖形便是其中比較具有代表性的一種.

案例1在講解三棱錐的概念后，筆者向?qū)W生提供了如下幾個命題：（1）正棱錐的每個側(cè)面都是等腰三角形；（2）底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；（3）正棱錐的每條側(cè)棱與底面所成的角相等；（4）兩條相鄰側(cè)棱所成角相等的棱錐是正棱錐；（5）正棱錐相鄰的兩個側(cè)面所成的二面角相等.筆者請大家運用所學概念來判斷每個命題的正誤，并以圖形的方式來闡釋每個命題.在圖形的輔助下，學生清晰地認知了三棱錐相關(guān)概念的內(nèi)涵，對這部分知識的運用也更加自如了.

對于很多較為抽象復雜的數(shù)學概念來講，想要通過語言將其內(nèi)涵闡釋得完整清晰并不容易.如果教師在這之中沒有把控好語言的力度，甚至會誤導學生的理解方向，或是降低學生對數(shù)學概念的學習熱情.圖形的運用，可以說是為概念教學點亮了一盞燈.很多難以用語言描述清楚的數(shù)學概念，通過一個圖形卻能清晰地表示出來，且這個圖形無需過于復雜.簡單圖形的運用，不僅降低了教師的教學難度，更為學生快速準確地掌握概念鋪平了道路.

二、運用具體圖形，實現(xiàn)知識整合

在高中數(shù)學學習過程當中，知識數(shù)量激增與知識內(nèi)容交錯經(jīng)常會成為引發(fā)學生學習困難的主要因素.筆者曾經(jīng)多次與學生進行溝通，大家表示，自己之所以會感到學習數(shù)學不容易，主要是由于知識發(fā)展脈絡(luò)不清晰，不知道應當如何把握知識內(nèi)容.這也為教師的教學開展提出了一個重要課題：我們不能僅僅負責向?qū)W生呈現(xiàn)知識，還應當將零散的知識內(nèi)容予以整合，幫助學生有條理地駕馭知識.在實現(xiàn)知識的整合總結(jié)時，圖形的運用便可以助師生們一臂之力.

案例2指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的內(nèi)容一直是高中數(shù)學的一個重點內(nèi)容，也是學生容易產(chǎn)生學習困難的部分.由于這些函數(shù)的形式比較相似，學生總是對之產(chǎn)生混淆，更不要說在解題當中熟練運用了.為了讓大家能夠?qū)⒚糠N函數(shù)及其變化趨勢區(qū)分清楚，筆者將幾種典型的函數(shù)圖像整合在了同一個平面直角坐標系中予以呈現(xiàn)（如圖1），學生非但沒有感到困惑，反而對每種函數(shù)的特點掌握得更加透徹了.

圖1

圖形的巧妙運用，讓原本混沌復雜的知識內(nèi)容一下子清晰了很多.在很多情況下，不要害怕將容易混淆的知識放在一起.只要我們能夠采取科學有效的方法將之予以整合和區(qū)分，這樣的方式反而能夠讓學生一目了然地發(fā)現(xiàn)知識之間存在的相同點與差異點，從而更加便捷清晰地進行記憶，實現(xiàn)對知識內(nèi)容的高效掌握.在這當中，具體的圖形可以說是知識整合的一個捷徑.對于比較相似的內(nèi)容，我們甚至可以將幾個圖形集中表現(xiàn)出來，讓其中的差異展示得更為直觀.

三、運用直觀圖形，解析重點難點

隨著知識數(shù)量的不斷增加，重點難點的出現(xiàn)頻率也越發(fā)提升了.重點難點問題雖然給數(shù)學教學增加了不少難度，我們絕不能無視或回避，這些重點難點問題才正是高中數(shù)學學習的關(guān)鍵.準確掌握了它們，便能夠提綱挈領(lǐng)地將整條線上的知識內(nèi)容理解清楚.因此，迎難而上，反而能夠讓教學活動達到事半功倍的效果.將直觀的圖形在其中予以運用，也能夠為重點難點問題的有效解析助力不少.

案例3學生曾經(jīng)遇到過這樣一個問題：棱長為a的正四面體的四個頂點均在一個球面上，則這個球體的表面積是多少？這個問題模型是立體幾何當中經(jīng)常出現(xiàn)的，對它的掌握非常重要.然而，僅靠字面上的理解，很難完整獲得題目條件的內(nèi)涵，更無法發(fā)現(xiàn)隱藏的已知條件.因此，筆者帶領(lǐng)學生將題目狀態(tài)以圖形的方式來表現(xiàn).圖形剛剛畫好，還沒等筆者進一步啟發(fā)，學生已經(jīng)開始構(gòu)造輔助線，分析棱長、對角線等數(shù)值了，題目的解答在學生的自主推進中完成得十分理想.

運用直觀圖形來解析重點難點問題的過程當中，常常會閃現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的影子.在高中階段的數(shù)學學習內(nèi)容當中，問題的出現(xiàn)，通常會體現(xiàn)出比較強的綜合性，代數(shù)與幾何之間的界限并不明確.重難點問題當中所體現(xiàn)出的這種特點也就更加明顯.因此，為了有效解答這種問題，便需要打通數(shù)與形之間的壁壘，讓二者能夠相互借力，用數(shù)字去描述圖形，以圖形來闡釋數(shù)字.圖形方式的融入，為重難點問題的解答提供了一條捷徑，學生對于這方面內(nèi)容的學習也自信了很多.

四、運用拓展圖形，完成學習延伸

按照教學計劃完成相應知識內(nèi)容的呈現(xiàn)后，教師還需要繼續(xù)對知識方法進行拓展延伸，在完善對所學內(nèi)容理解的同時，還能夠提高學生的數(shù)學思維能力，形成良好的意識習慣，成為整個數(shù)學學習過程的動力.隨著教學要求的不斷提升，對知識內(nèi)容進行拓展延伸，已經(jīng)成了當前高中數(shù)學教學當中的一個必需.因此，如何巧妙地帶領(lǐng)學生完成學習延伸，已經(jīng)成了每一個高中數(shù)學教師所要重點思考的問題.筆者經(jīng)過多次教學實踐發(fā)現(xiàn)，圖形的拓展性運用，對于這個教學問題來講是一個很好的回答.

案例4在圓弧知識的教學中，學生接觸的大多是規(guī)則的圓弧圖形與相應分析.為了能夠升華學生對這部分內(nèi)容的理解，筆者將圓弧圖形靈活化，形成了如下形態(tài)，并以此提出了一個問題：月牙形的實線部分由圓P上的一段優(yōu)弧與圓Q上的一段劣弧圍成，兩圓半徑均為2，點P在圓Q上.現(xiàn)欲截取一個多邊形，使其頂點均在圓P上.那么，若多邊形確定為△RST（如圖2），其最大面積是多少？若多邊形確定為等腰梯形BCDA（如圖3），其最大面積是多少？由此，學生不僅以新的角度感知了圓弧，還從這個變化過程中發(fā)現(xiàn)了一些有趣的規(guī)律.

圖2

圖3

實際上，數(shù)學圖形的拓展性運用是可以通過多種形式來實現(xiàn)的.具體說來，我們可以從兩個角度來對拓展運用圖形的方式進行歸納：一是從形式上拓展，即讓圖形脫離其常規(guī)的呈現(xiàn)形態(tài)，可以將之設(shè)計為發(fā)展的，甚至是動態(tài)的，進而賦予圖形更多的功能.二是從內(nèi)容上拓展，即為數(shù)學圖形填加更為豐富的內(nèi)涵.在學生看來，圖形似乎只是用來解釋文字和數(shù)字的，當教師向圖形當中融入更多內(nèi)容時，往往會給學生耳目一新的體驗，也會更加熱衷于圖形方式的運用.

五、運用習題圖形，尋找知識出口

如果詢問大家對于數(shù)學習題作用的看法，大家一定認為，這是為了鞏固所學知識而存在的.當學生學習過一些基本概念和基本方法之后，及時讓他們完成一些習題練習，讓大家更加準確地理解所學內(nèi)容.其實，除此之外，習題的功能還有很多.尤其是在含有圖形在內(nèi)的習題當中，往往蘊含著諸多知識出口，學生能夠在圖形的引領(lǐng)之下感受學以致用.

圖4

案例5在學習過三角函數(shù)知識后，筆者請學生解答這樣一個問題：如圖4所示，某船由點O出發(fā)，沿北偏東α的OZ方向航行.距離O點a（a為正常數(shù)）海里的北偏東β的A處有一個小島.已知現(xiàn)要從點O正東海里處的點B派船去往A，并沿BA方向追趕第一艘船，兩船在點C處相遇.若當△OCB的面積最小時，船的行駛狀態(tài)最為適宜，則m應當取得何值？在這里，圖形與題目背景是配套出現(xiàn)的，從圖形當中，學生很直觀地看到了三角函數(shù)在航行問題中的應用，學習熱情大增.

讓學生能夠在實際生活中靈活運用知識，是高中數(shù)學教學的一個重要目標.然而，僅僅靠語言去告知學生，無法讓大家產(chǎn)生確切的感知.加入了圖形之后，數(shù)學知識的運用瞬間直觀了很多.特別是運用習題當中所出現(xiàn)的圖形，同時可以借助習題本身所營造出的問題情境，讓學生更好地知曉如何運用理論知識指導生活實踐.

六、運用自制圖形，強化解題能力

所謂自制圖形，指的是學生自己畫出的數(shù)學圖形.圖形不僅是教師開展課堂教學的手段，更是學生自主解題的重要工具.因此，除了會看圖，學生更要學會自己繪制圖形.正所謂“授之以魚，不如授之以漁”，讓學生學會自制圖形，無疑為其解題能力的強化提供了保障.

案例6立體幾何單元曾出現(xiàn)過這樣一道題目：某工廠要制作一個由同底圓柱和圓錐組成的油罐，要求圓柱與圓錐的總高度同圓柱底面半徑均為r.若圓柱側(cè)面用料單價為a，圓錐側(cè)面用料單價分別為圓柱側(cè)面與底面用料單價的4倍和2倍，設(shè)圓錐母線與底面成角θ，則當θ取何值時，總費用y最少？想要順利解題，必須依題意將圖形畫出來.學生在理解條件時出現(xiàn)了一些歧義，但筆者仍堅持讓學生自己畫圖，最終完成了準確圖形（如圖5）.

圖5

前面已經(jīng)提到，高中數(shù)學解題當中廣泛運用著數(shù)形結(jié)合方法.因此，想要讓學生獨立解答問題時，能夠熟練運用數(shù)形結(jié)合，自制圖形的能力必不可少.在教學過程中，教師要有意識地為學生提供更多作圖的機會，讓圖形理念在學生的思想中逐漸滲透，有效強化解題能力.

從前文的論述當中不難看出，圖形在高中數(shù)學的知識學習過程當中可謂是無處不在的.也正因為如此，圖形理念在學生頭腦中進行滲透也更加容易了.教師恰好可以抓住這個機會，觀察搜集每一個圖形得以出現(xiàn)和介入的時機，著重強調(diào)，將這些環(huán)節(jié)當中的圖形運用得更為靈活和到位，從而實現(xiàn)學生對于數(shù)學知識內(nèi)容的扎實掌握，并在圖形的幫助之下對所學知識進行更加深入、開放的思考.圖形理念滲透到位了，自然會在學生意識當中建立起一個系統(tǒng)化的思想架構(gòu)，數(shù)學學習與問題解答的思路也就更加開闊了.

1.張必平.數(shù)形結(jié)合解題的常見誤區(qū)分析［J］.數(shù)學教學研究，2005（5）.

2.嚴海平.走出數(shù)形結(jié)合的誤區(qū)［J］.中學教研，2005（3）.

3.孫青芬.數(shù)形結(jié)合開拓解題思路［J］.青海教育，2004（12）.

4.董曉萍.高中數(shù)學教學中如何滲透數(shù)形結(jié)合思想［J］.中學生數(shù)理化（學研版），2013（5）.