高中數(shù)學(xué)“問(wèn)題教學(xué)”策略的研究

☉天津市第四中學(xué)　孟黎輝

高中數(shù)學(xué)“問(wèn)題教學(xué)”策略的研究

☉天津市第四中學(xué)孟黎輝

問(wèn)題教學(xué)法，就是以問(wèn)題為載體貫穿教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生在問(wèn)題的產(chǎn)生和解決過(guò)程中，產(chǎn)生自主學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，進(jìn)而逐漸養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，并在實(shí)踐中不斷優(yōu)化自主學(xué)習(xí)的方法，提高自主學(xué)習(xí)能力的一種教學(xué)方法.問(wèn)題教學(xué)法充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，能有效地激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性.

同時(shí)，問(wèn)題教學(xué)法也是指教師在教學(xué)過(guò)程中以問(wèn)題為中心，進(jìn)行創(chuàng)造性教學(xué)的方法.知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，也就變成學(xué)生自主探究知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”和“再創(chuàng)造”的過(guò)程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和科學(xué)精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).

在課堂教學(xué)過(guò)程中，我遵循著以下五個(gè)環(huán)節(jié)：尋找情景，制造懸念；設(shè)置矛盾，產(chǎn)生內(nèi)需；合作交流，百花齊放；設(shè)置階梯，優(yōu)選方法；總結(jié)規(guī)律，遷移升華.

一、尋找情境，制造懸念

心理學(xué)研究表明：思維是一種能動(dòng)的過(guò)程，產(chǎn)生這種能動(dòng)過(guò)程的有效環(huán)境就是問(wèn)題情境.尋找與課程相關(guān)的背景，引入課題，將學(xué)生帶入電影般的情節(jié)中，制造懸念，引人入勝，是一節(jié)好課的良好開端.

比如，用下面的故事引入問(wèn)題：在古希臘，希希里島的統(tǒng)治者，開鑿了一個(gè)巖洞作為監(jiān)獄.被關(guān)押在巖洞里的犯人，不堪忍受這非人的待遇，他們晚上偷偷聚集在巖洞靠里面的一個(gè)石頭桌旁，小聲議論越獄和暴動(dòng)的方法.可是，他們商量好的計(jì)劃很快就被看守員知道了，看守官員提前采取了措施，使犯人商量好的計(jì)劃無(wú)法實(shí)行.犯人們開始互相猜疑，認(rèn)為犯人中間一定出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者.他們最終也沒搞清楚，這個(gè)巖洞可不是隨意開鑿的，而是請(qǐng)了一位叫刁尼秀斯的官員專門設(shè)計(jì)的，他設(shè)計(jì)的巖洞監(jiān)獄故意采用了橢圓形的結(jié)構(gòu).

大家想一想：秘密的泄露難道真與這個(gè)橢圓形的結(jié)構(gòu)有關(guān)？

同學(xué)們一個(gè)個(gè)睜大了眼睛，好奇地等著我的解答.我接著講，原來(lái)，謎底是這樣的：石頭桌子恰好在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，看守人員在另一個(gè)焦點(diǎn)上.這樣，犯人在石桌旁小聲議論的聲音，通過(guò)反射可清楚地傳到洞口看守人的耳朵里，后來(lái)人們就把這種橢圓形的結(jié)構(gòu)叫做“刁尼秀斯之耳”.

在這種氛圍下，我再提出問(wèn)題：為什么從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光或聲音，經(jīng)橢圓反射，可以全部聚集到另一個(gè)焦點(diǎn)上？（如圖1）

接下來(lái)，學(xué)生們迫不及待地投入討論，數(shù)學(xué)建模（建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，明確研究方向……），一切似乎順其自然，又引人入勝.

圖1

二、設(shè)置矛盾，產(chǎn)生內(nèi)需

在電影院，我們常常會(huì)跟隨電影情節(jié)的跌宕起伏，深陷其中，導(dǎo)演設(shè)計(jì)的矛盾似乎無(wú)法解決，讓人感覺懸念叢生、提心吊膽，突然，峰回路轉(zhuǎn)，所有問(wèn)題一一破解，一顆懸在半空的心終于放下.導(dǎo)演獲得了贊譽(yù)和票房，觀眾得到了人生的啟迪.在課堂上，教師也同樣可以設(shè)置矛盾，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲，增強(qiáng)教學(xué)的藝術(shù)性，引導(dǎo)學(xué)生不知不覺中踏入科研道路.

比如，在一節(jié)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)習(xí)課中，有同學(xué)在課上突然提問(wèn)：“函數(shù)y=ax與y=logax的圖像在a>1時(shí)是否有交點(diǎn)？”我把這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生課上討論.有同學(xué)立即提出，上述兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，圖像是否相交，可以先考慮它們的圖像與函數(shù)y=x圖像的關(guān)系.我又問(wèn)：“那么它們能否與函數(shù)y=x圖像相交呢？”有同學(xué)說(shuō)：“憑直覺，好像交不上.”我啟發(fā)道：“研究學(xué)問(wèn)不能僅憑直覺，要有依據(jù).”經(jīng)過(guò)仔細(xì)思考和熱烈討論，有位同學(xué)終于回答：“能，因?yàn)楹瘮?shù)y=log1.1x的圖像過(guò)點(diǎn)（1，0）和（1.21，2），點(diǎn)（1，0）在y=x的圖像下方，而點(diǎn)（1.21，2）在y=x的圖像上方.因而函數(shù)y=log1.1x與y=x的圖像有交點(diǎn).”回答得非常好！我又問(wèn)：“那么，有沒有交點(diǎn)由什么決定的呢？”同學(xué)們一起答道：“由a的大小決定.”接著我用計(jì)算機(jī)演示y= ax與y=logax（a>0且a≠1）的圖像，讓同學(xué)輸入不同的a值，出現(xiàn)了三種情況（如圖2，3，4所示）.

圖2

圖3

圖4

現(xiàn)在的教學(xué)媒體為問(wèn)題教學(xué)法提供了前所未有的便利，教師如能很好地運(yùn)用，勢(shì)必會(huì)給教學(xué)增色不少.教師合理地利用課堂提問(wèn)，帶給學(xué)生懸念，激發(fā)學(xué)生的探索精神，是問(wèn)題教學(xué)的必不可少的環(huán)節(jié).

三、合作交流，百花齊放

問(wèn)題教學(xué)中，問(wèn)題的設(shè)計(jì)、提出非常重要，但是教師引導(dǎo)學(xué)生共同思考、合作交流、解決問(wèn)題，才是教學(xué)的重心.

在講等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，教師可通過(guò)國(guó)際象棋的故事引出求和問(wèn)題.

師：等比數(shù)列的特點(diǎn)是：第n項(xiàng)an乘以公比q，就可以變成第n+1項(xiàng)，是否可以利用這個(gè)性質(zhì)求出S64？

生甲：S64=1+2+4+8+…+262+263，①

兩邊同乘以公比2，2S64=2+4+8+16+…+263+264.②

②-①，S64=264-1.

師：非常好！還有別的方法嗎？

生乙：S64=1+2+4+8+…+262+263，①

生丙：S64=1+2+4+8+…+262+263

?S64=1+2（1+2+4…+261+262）

?S64=1+2（S64-263）?S64=264-1.

生丁：S64=1+2+4+8+…+262+263，

等式兩邊同加1：1+S64=（1+1）+2+4+…+263

=（2+2）+4+…+263=（4+4）…+263=264，

∴S64=264-1.

我只準(zhǔn)備了等式兩邊同乘以2的方法，同學(xué)們又想出了兩邊同乘以、加1、甚至右邊變形的方法，使我應(yīng)接不暇.

師啟發(fā)：太好了！那么上述方法哪些可以用來(lái)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an？

生：第1、2、3種方法可以推廣，但是方法4不適用于一般情況.

師：很好！下面我們一起推導(dǎo).

方法一：Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an，①

乘以公比q，qSn=a2+a3+…+an-1+an+qan.②

①-②，（1-q）Sn=a1-qan，

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.

方法三：Sn=a1+（a2+a3+…+an-1+an）

?Sn=a1+q（a1+a2+…+an-2+an-1）

?Sn=a1+q（Sn-an）?Sn=

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.

師（總結(jié)）：今天大家的表現(xiàn)非常出色，找出了很多書本上沒有的方法，但一定要記住第一種方法非常重要，這種方法叫做“錯(cuò)位相減法”.

這一節(jié)課表面看上去很散，但是從頭到尾，所有的方法都是圍繞著等比數(shù)列的特點(diǎn)進(jìn)行，學(xué)生思維活躍，想法五花八門，無(wú)疑像一場(chǎng)數(shù)學(xué)思想的盛會(huì)，在鞏固數(shù)列知識(shí)的同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造力和想象力.

四、設(shè)置階梯，優(yōu)選方法

問(wèn)題教學(xué)中，有時(shí)提出的問(wèn)題較深，同學(xué)不能一步到位，這時(shí)，教師可以先設(shè)置幾個(gè)臺(tái)階，將難題分解，讓學(xué)生一步步思考、提升，不知不覺中將問(wèn)題解決.

比如，在《求軌跡方程》一課中，我設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)遞進(jìn)問(wèn)題，讓學(xué)生一點(diǎn)點(diǎn)體會(huì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，將知識(shí)結(jié)構(gòu)一步步優(yōu)化.

習(xí)題1動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)（-2，0）的距離與到定點(diǎn)（2，0）距離之差的絕對(duì)值為2，則P點(diǎn)的軌跡方程是_________.（讓學(xué)生掌握定義法求軌跡）

設(shè)計(jì)問(wèn)題：此題把“絕對(duì)值”三字去掉，結(jié)果會(huì)怎樣？（雙曲線的一支）

變式問(wèn)題：將“距離之差的絕對(duì)值為2”改為“距離之差的絕對(duì)值為4”，結(jié)果會(huì)怎樣？（兩條射線）

習(xí)題2動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）的距離之比為，則P點(diǎn)的軌跡方程是_________．（鼓勵(lì)學(xué)生用直接法尋求答案）

變式問(wèn)題：動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）的距離之比為1，則P點(diǎn)的軌跡方程是_________．

反思問(wèn)題：此題運(yùn)用的是什么方法？需要哪些步驟？（直接法：①建系、設(shè)點(diǎn)；②寫出條件；③坐標(biāo)代入并化簡(jiǎn)；④檢驗(yàn)）

習(xí)題3函數(shù)y=x2-2mx+m（m∈R）的圖像的頂點(diǎn)軌跡方程是________．（消參法）

反思問(wèn)題：此題運(yùn)用的是什么方法？需要哪些步驟？（消參法：變量x、y之間的直接關(guān)系難尋求，可適當(dāng)選擇參數(shù)，由此表示參數(shù)方程，然后消去參數(shù)為普通方程）

（A）直線（B）拋物線（C）雙曲線（D）橢圓

這三個(gè)變式將課堂的討論推向高潮，同學(xué)們討論得非常投入，有些同學(xué)甚至爭(zhēng)論了起來(lái).

在此設(shè)計(jì)這道題目的不僅是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)定義法的理解運(yùn)用，更是要培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，和合作交流的習(xí)慣、溝通能力.

五、總結(jié)規(guī)律，遷移升華

這是問(wèn)題教學(xué)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，但也是畫龍點(diǎn)睛之處，這個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生能力提出更大的挑戰(zhàn)，也是使學(xué)生受益最大的環(huán)節(jié).

在講授雙曲線一節(jié)課后，為了讓學(xué)生更牢固地掌握雙曲線的定義和性質(zhì)，我大膽地設(shè)計(jì)了一個(gè)冒險(xiǎn)的問(wèn)題：函數(shù)y=的圖像是不是雙曲線？這個(gè)問(wèn)題的提出，

建立在我對(duì)學(xué)生有相當(dāng)強(qiáng)的創(chuàng)造力和計(jì)算力的自信心的基礎(chǔ)上，但是，對(duì)這節(jié)課的效果，我始終帶著擔(dān)心而又期盼的復(fù)雜心情.

生：初中老師就稱反比例函數(shù)圖像為雙曲線，當(dāng)然是了.

師：那它一定也符合雙曲線的定義，即平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．

能不能給予科學(xué)的證明？

學(xué)生們陷入了沉默……

圖5

我發(fā)現(xiàn)，并沒有幾位同學(xué)開始動(dòng)筆操作，這就是說(shuō)，學(xué)生們無(wú)從下筆，我只有將問(wèn)題進(jìn)一步具體化.

師：要想證明這個(gè)問(wèn)題，就先要將雙曲線定義中的元素一一找出來(lái).

生：那就是要先確定哪兩個(gè)點(diǎn)是焦點(diǎn)，以及a，b，c的值.

師：非常好！

學(xué)生們開始動(dòng)筆，一部分同學(xué)開始建立坐標(biāo)系（如圖5）.一會(huì)，有學(xué)生取得了突破，我請(qǐng)他與大家交流.

一會(huì)功夫，以計(jì)算能力出眾著稱的某位同學(xué)便在黑板上留下了精彩答案：

所以||PF1|-|PF2||=2

同學(xué)們帶著成功的喜悅，見證了一個(gè)“奇跡”，驗(yàn)證了一個(gè)普通的常識(shí)，在雙曲線知識(shí)得以升華的同時(shí)，更收獲了探索真理的循序漸進(jìn)的方法.

問(wèn)題教學(xué)，就是一切以“問(wèn)題”為載體，以學(xué)生為中心，讓學(xué)生參與知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，體驗(yàn)知識(shí)的生成過(guò)程，體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程的苦與樂(lè).教師只有在教學(xué)中不斷搜集素材，尋找好的抓手——問(wèn)題，不斷提高自己駕馭問(wèn)題的能力，才能使問(wèn)題教學(xué)不斷深入課堂，走進(jìn)學(xué)生的思維體系，發(fā)揮出意想不到的效果.