解構(gòu)高考試題優(yōu)化教與學(xué)——以浙江高考數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程為例

☉浙江省杭州市余杭高級中學(xué)　馬富強　曹鳳山

解構(gòu)高考試題優(yōu)化教與學(xué)——以浙江高考數(shù)學(xué)圓錐曲線與方程為例

☉浙江省杭州市余杭高級中學(xué)馬富強曹鳳山

附表1：浙江省高考數(shù)學(xué)2010～2015圓錐曲線與方程部分客觀題解構(gòu)

解構(gòu)視角一、題材與設(shè)問模式

根據(jù)附表1統(tǒng)計，11道客觀題中，題材中雙曲線、拋物線、橢圓、直線、圓出現(xiàn)的次數(shù)分別是6次，4次，3次，3次，2次.

從題材選擇顯示，理科客觀題對雙曲線格外“偏愛”，每年必選；解答題的題材，橢圓與直線綜合的五次（2013年中還含有圓），拋物線與直線、圓綜合一次.在每年的試卷中，橢圓、雙曲線、拋物線都會出現(xiàn)，客觀題側(cè)重雙曲線、拋物線，解答題中主要是橢圓與直線，客觀題中的直線大多是“靜態(tài)的”，涉及定點、中點、垂直等特殊情況，解答題中的直線則是動態(tài)的.

從設(shè)問角度看，由附表1，10道題中求雙曲線離心率3道，求雙曲線漸近線2道，另外還有求直線的斜率、求點的坐標(biāo)、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離等；由附表2，解答題的設(shè)問一律采用一題兩問的模式，第一問相對簡單，內(nèi)容如求橢圓方程、點到直線距離、切點坐標(biāo)、參數(shù)范圍等，第二問主要是求特殊位置下（如三角形面積最大、與中點相關(guān)等）直線的方程以及某些量的取值范圍等，特別關(guān)注臨界狀態(tài).

【實例1】（2010年第8題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線（a>0，b>0）的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|=|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為（）.

A．3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=0

(1)不同施肥處理對2個玉米品種先玉335、金穗4號根際4種土壤酶活性均有不同程度影響，差異顯著(P<0.05)。在各生育期，土壤酶活性總體表現(xiàn)為：處理B(菌肥+85%化肥)>處理C(菌肥+70%化肥)>處理A(全量化肥)>處理D(全量菌肥)>處理E(對照)，其中在抽雄期和灌漿期達(dá)到峰值。

【解析】本題的題材選取雙曲線，設(shè)問為求雙曲線的漸近線方程.《考試說明》中沒有直線與雙曲線位置關(guān)系方面的要求，所以雙曲線不適合在解答題中出現(xiàn)，重在定義、圖形、方程與簡單幾何性質(zhì)，是客觀題理想的題材之一.求解雙曲線的漸近線是其最典型、最個性的問題之一.本題根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理建立方程即可得解.

【對教學(xué)的啟示】《考試說明》中的知識點都可能作為高考命題的題材，不偏廢，又有所側(cè)重；每一部分都有其“個性”問題.如圓錐曲線體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究的一個重要方法：由形到數(shù)，再通過數(shù)研究形的性質(zhì)，這一過程中，概念、性質(zhì)、思想方法等發(fā)揮著重要作用，個性突出，這些個性就是高考重點考查的內(nèi)容.落實個性問題涉及的知識、技能以及蘊含的數(shù)學(xué)思想方法與能力，就是這部分教與學(xué)的重要目標(biāo).

解構(gòu)視角二、考查的主要知識點

由附表1，客觀題中雙曲線、橢圓、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程分別出現(xiàn)5次、3次、4次，簡單幾何性質(zhì)也是每題一定考查的內(nèi)容.中點出現(xiàn)的頻數(shù)也很高，為4次，直線垂直3次，圓、向量、直線等也偶有出現(xiàn).雙曲線主要是涉及漸近線、離心率、焦點、焦距、實軸、虛軸等，橢圓則涉及焦點、頂點、長軸與短軸等，拋物線是焦點、準(zhǔn)線.由附表2，解答題中，每題都涉及到一至兩種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，問題的核心情境都是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，其中涉及三角形的面積、圓的切線、直線垂直等.

【實例2】（2011年第17題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓1的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若則點A的坐標(biāo)是_______.

【解析】本題本質(zhì)上是常見的焦點弦問題，源于教材又高于教材，情境新，通過向量適度綜合，形式優(yōu)美，方法多樣，層次明顯.方法一，用兩條直線方程求解；方法二，根據(jù)橢圓的對稱性，轉(zhuǎn)化為一條過焦點的直線與橢圓交點問題，根據(jù)圖形，通過三角形相似，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩點縱坐標(biāo)關(guān)系，充分體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想方法的重要作用；第三種方法——猜想驗證，猜想點A可能位于比較特殊的位置，畫出簡圖，猜想特殊點，然后檢驗滿足條件即可.

【對教學(xué)的啟示】從以上解構(gòu)來看，高考考查知識點不偏不怪：①重點考基礎(chǔ)，突出考查中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識；②在綜合運用中考查能力，不斷尋求知識間新的綜合形式，圓錐曲線知識內(nèi)部綜合，與直線、三角形、圓等平面幾何對象綜合，與向量、不等式、數(shù)列等綜合；③在新穎情境下考查.高考規(guī)避題型，力爭在“個性化”的情境中考查.教與學(xué)重點在基礎(chǔ)，對于中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識，要舍得花時間下力氣，力避灌輸、記憶型的方式，讓學(xué)生體驗知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程，學(xué)會鮮活的知識，自己可以建立知識間的有機聯(lián)系，不斷在新的情境下運用知識解決問題，從而適應(yīng)高考以及素質(zhì)教育的需要.

解構(gòu)視角三、求解過程涉及的主要知識、方法

這里所說的方法以通性通法為主，知識則是通性通法中的必需，是解題者根據(jù)自己的經(jīng)驗調(diào)用的.由附表1，客觀題求解中，利用到雙曲線（橢圓）定義4次，涉及中點坐標(biāo)公式5次，勾股定理2次，三角形相似2次，兩點間距離公式2次等；在技能上，解方程（組）是每題必考；解答題相對于客觀題特色更加明顯.由附表2，求解涉及知識點更多、應(yīng)用更靈活，直線方程相關(guān)知識是每道題的必選項，五道題中涉及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)5次，點到直線的距離公式4次，兩點間距離公式4次，韋達(dá)定理3次，還有中點坐標(biāo)公式、三角形面積公式、勾股定理、基本不等式等；方法上，代數(shù)法研究幾何性質(zhì)更是解析幾何的根本大法，待定系數(shù)法突出，處理方程（組）的方法每題必需.當(dāng)然，解答題的求解中數(shù)學(xué)思想方法的重要性更加明顯，數(shù)學(xué)能力對解題質(zhì)量的影響更加明顯.

【實例3】（2013年第9題）如圖1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：+y2=1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率為（）.

圖1

【解析】設(shè)問是求離心率，是雙曲線的經(jīng)典問題.根據(jù)題意，點A有“雙重身份”：既在橢圓上又在雙曲線上，根據(jù)定義有

|AF2|+|AF1|=4，①

|AF2|-|AF1|=2a.②

①+②，得|AF2|=2+a；①-②，得|AF1|=2-a.

根據(jù)定義解題自然而簡捷，體現(xiàn)了高考重點考查基礎(chǔ)知識、基本技能、突出通性通法的導(dǎo)向.

【對教學(xué)的啟示】高考立意在能力，載體在知識，無知便無能.在解題過程中，除試題顯示、要充分利用的知識外，解題過程中要引入、調(diào)動的知識都是最基本的、耳熟能詳?shù)亩ɡ?、公式、性質(zhì)等，能夠根據(jù)題設(shè)背景，在知識儲備中靈活引入需要的內(nèi)容，這不僅需要解題者具備這些知識，還要組織良好、有應(yīng)用意識；客觀題中概念、性質(zhì)的作用更明顯，“概念、性質(zhì)+簡單計算”即可，要強化利用概念解題的意識，小題小做；解答題體現(xiàn)代數(shù)法這一研究幾何性質(zhì)的根本大法，應(yīng)用試題給出條件外的知識更多、更靈活.

解構(gòu)視角四、數(shù)學(xué)思想方法視角

由附表1，客觀題中主要考查數(shù)形結(jié)合思想、方程思想以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，每道題都涉及數(shù)形結(jié)合思想與方程思想，10道題目中8道涉及轉(zhuǎn)化與方程思想；由附表2，解答題在對數(shù)學(xué)思想方法的考查上，深度、廣度都比客觀題更加深入、廣泛，轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想是每題都有體現(xiàn)，函數(shù)與方程思想地位也很突出.

圖2

（Ⅱ）求△ABP的面積取最大值時直線l的方程．

解析幾何問題中“形”的問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)（“數(shù)”）問題，坐標(biāo)問題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程問題，在不斷轉(zhuǎn)化與化歸的過程中研究問題、解決問題.

（Ⅱ）求△ABP的面積最大值，需要轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，是函數(shù)思想的重要應(yīng)用，而問題本身并沒有直接給出函數(shù)，考生需有化歸為函數(shù)問題的意識，有產(chǎn)生函數(shù)的能力.進(jìn)一步，求△ABP的面積涉及到兩個量：底邊與高，就是轉(zhuǎn)化為求弦長|AB|與點直線AB的距離.而求弦長需要確定直線的斜率、截距，下面通過建立關(guān)于斜率、截距的方程求解.根據(jù)題意設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點為M，當(dāng)直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，舍去.故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m（m≠0），體現(xiàn)了分類討論思想.

【對教學(xué)的啟示】首先，要有全面的知識視野，把數(shù)學(xué)思想方法納入知識的范疇，不僅僅著眼于概念、法則、公式、定理等“是什么”的知識，也要注重數(shù)學(xué)思想方法這類“如何做”的程序性知識；其次，理解數(shù)學(xué)思想方法考查的特點.高考對數(shù)學(xué)思想方法的考查貫穿于全卷，不同題型、不同位置的試題在考查思想方法類型與層次上明顯有層次、有梯度，以基礎(chǔ)知識為依托、以能力為目的，與通性通法相結(jié)合.當(dāng)然，認(rèn)識數(shù)學(xué)思想方法的特點，目的是講究教與學(xué)的策略，提升數(shù)學(xué)思想方法教與學(xué)的水平.只在高三復(fù)習(xí)中“貼標(biāo)簽”，學(xué)生對思想方法的理解運用就不可能達(dá)到要求的層次.

解構(gòu)視角五、數(shù)學(xué)能力考查

由附表2，圓錐曲線試題最突出的是考查運算能力，推理論證能力等.運算能力每道試題都重點考查，是試題立意的重要內(nèi)容.這里運算能力的考查既要會“根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運算、變形和處理數(shù)據(jù)”，更重要的是考查“能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑”.考生感覺解析幾何難度大的原因基本上是兩個方面：找不到途徑、算不出結(jié)果，其中，算不出是最頭疼的.

圖3

【實例5】（2011年第21題）已知拋物線C1：x2＝y(tǒng)，圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點M.

（Ⅰ）求點M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；

（Ⅱ）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線的方程.

【解析】第一步考查基本知識，是送分的模式；第二問則對運算能力提出了較高的要求.首先是如何根據(jù)問題的條件，“尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑”.求直線l的方程大致有如下一些“合理的途徑”：①因為點M的坐標(biāo)已知，設(shè)出直線l的斜率k，利用點斜式求直線的方程；②利用兩點式，設(shè)出點P的坐標(biāo)然后求解；③確定直線AB的斜率，然后確定待求斜率等等.然后再看“簡捷性”.按途徑①，解方程組求解點P的坐標(biāo)，接下來切線方程形式將會繁瑣無比，而求A，B兩點的坐標(biāo)、過兩點的斜率計算量之大更是難以為繼；按途徑②，從點P坐標(biāo)出發(fā)，由于兩條切線的等價性，設(shè)出切線斜率即可，設(shè)P（x0，），A（x，），B（x，，由題意得x≠±1，x≠x.設(shè)過點P的圓C2的切線方程為y-x0=k（x-x0），即y-=k（x-x0），（*）則即（-1）k2+2x0（4-）k+（-4）2-1=0.

設(shè)PA，PB的斜率為k1，k2（k1≠k2），則k1，k2是上述方程的兩根，所以將（*）代入y=x2得x2-kx+kx0-=0，由于點P的坐標(biāo)是“已知”，一元二次方程已知一個根，另一個根可以表示出來，進(jìn)而，過AB的直線的斜率就可以確定，利用兩條直線的垂直關(guān)系，建立方程求解.x1=k1-x0，x2=k2-x0.所以=x1+x2=由MP⊥AB，得kAB·，解得故點P的坐標(biāo)為所以直線l的方程為x+4.途徑③表面上看起來有“路”走起來卻無運算之“徑”，只能作罷.

【對教學(xué)的啟示】能力培養(yǎng)要目標(biāo)正確、步驟扎實、長期堅持，沒有捷徑可走，比如運算求解能力，“根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運算、變形和處理數(shù)據(jù)”需要的是公式熟練、計算準(zhǔn)確、代數(shù)變形合理簡捷等，需要在合適題材的基礎(chǔ)上反復(fù)操作、比較、體驗，要有一定量的基礎(chǔ)性、針對性的練習(xí)；“能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑”則需要綜合問題、新穎背景下嘗試“尋找與設(shè)計”；無解、錯解、多解、優(yōu)解之后的反思優(yōu)化，在無解處體驗“合理”，在優(yōu)解中體驗“簡捷”，熟練簡化計算需要的常用手段，如設(shè)而不求、整體代換、同類可解等等.題不在多，理解則靈.學(xué)生只有熟練基本技能、充分體驗尋求解題合理性、簡捷性方案的基礎(chǔ)上，才能逐步提高解決綜合性問題的能力.

1.教育部考試中心.高考數(shù)學(xué)測量理論與實踐［M］.北京：高等教育出版社，2005.

2.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.曹鳳山.從一道高考題看高考對運算能力的考查［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2010（10）.

4.曹鳳山.落霞與孤鶩齊飛秋水共長天一色——從數(shù)學(xué)思想方法考查的視角分析2012年浙江省高考數(shù)學(xué)試題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2012（11）.