一類三階半線性中立型阻尼微分方程的振動(dòng)性

林文賢

(韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041)

?

一類三階半線性中立型阻尼微分方程的振動(dòng)性

林文賢

(韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041)

研究一類三階非線性中立型阻尼泛函微分方程,利用廣義Riccati變換和積分平均技巧, 建立了保證該類方程的一切解振動(dòng)或者收斂于零的若干新的充分條件, 推廣和改進(jìn)最近文獻(xiàn)的結(jié)果.

三階中立型方程；阻尼項(xiàng)；Philos型振動(dòng)性

0 引言

眾所周知,作為簡(jiǎn)諧振蕩的數(shù)學(xué)模型,二階常微分方程的所有解都有任意大的零點(diǎn),從而是振動(dòng)的.而更一般的,描述電子和機(jī)械振蕩的數(shù)學(xué)模型是泛函微分方程,其振動(dòng)性研究在實(shí)際和理論中都有著重要意義.近年來(lái),泛函微分方程的振動(dòng)理論受到極大關(guān)注,可以參看文獻(xiàn)[1-18].但是與一階和二階方程相比,關(guān)于三階微分方程的振動(dòng)性文獻(xiàn)就少得多,而關(guān)于三階中立型方程的振動(dòng)結(jié)果則更少. 最新的成果可以參看文獻(xiàn)[19-30].

本文將考慮如下的一類具阻尼項(xiàng)的三階半線性中立型泛函微分方程[r(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α]′+m(t)([x(t)+p(t)x(τ(t))]″)α+?baq(t,ξ)xα[g(t,ξ)]dσ(ξ)=0

(1)

的振動(dòng)性,其中α是兩個(gè)正奇整數(shù)之比.在本文中假設(shè)下列條件成立：

(H1)r(t)∈C([t0,+∞),(0,+∞)),p(t),m(t)∈C([t0,+∞),R+),R+=[0,+∞)，0≤p(t)≤p<1,且

(H3)g(t,ξ)∈C([t0+∞)×[a,b],R+);g(t,ξ) ≤t,ξ∈[a,b];g(t,ξ)分別關(guān)于 t, ξ 非減, 并且

(H4)σ(ξ)∈C([a,b],R)為非減.(1)中的積分為Stieltjes積分.

定義函數(shù)

y(t)=x(t)+p(t)x(σ(t)).

(2)

稱方程(1)的解是指函數(shù)x(t)∈C1[Tx,∞),Tx≥t0,使得r(t)[y″(t)]α∈C1[Τx,∞]且在[Τx,∞]上滿足方程(1). 本文只考慮方程(1)滿足性質(zhì)Sup{|x(t)|:t≥T}>0對(duì)一切T≥Tx成立的解.方程(1)的一個(gè)解稱為振動(dòng), 如果它在[Τx,∞]上有任意大的零點(diǎn). 否則, 稱它為非振動(dòng).

文獻(xiàn)[26]給出了方程(1)當(dāng)m(t)=0,α=1時(shí)的特殊情形的一切解振動(dòng)或者收斂于零的充分條件,文獻(xiàn)[27]給出了方程(1)當(dāng)α=1時(shí)的特殊情形的一切解振動(dòng)或者收斂于零的充分條件.我們的目的是利用廣義Riccati變換和積分平均技巧建立使得方程(1)的一切解振動(dòng)或收斂于零的充分條件,推廣和包含文[26-27]的結(jié)果.

1 若干引理

引理1 設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解, 則由(2)定義的y(t)只能有下列兩種類型

(A)y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)>0; (B)y(t)>0,y′(t)<0,y″(t)>0;

對(duì)t≥t1成立, 其中t1充分大.

證明 設(shè)x(t)是方程(1)的最終正解及條件(H3),存在t1≥t0,當(dāng)t≥t1時(shí),有x(t)>0,x(σ(t))>0,x(g(t))>0,易知,y(t)>x(t)>0且

[r(t)(y″(t))α]′+m(t)(y″(t))α≤-?baq(t,ξ)xα[g(t,ξ)]dσ(ξ)<0,

則

在[t2,t]上對(duì)上式積分有

在上式中令t→∞,利用(H1),有y′(t)→-∞,因此y′(t)最終為負(fù).但是,由y′(t)和y″(t)最終為負(fù),可知y(t)最終為負(fù),此與y(t)>0的假設(shè)矛盾,故有y″(t)>0.因此y(t),只能有(A)和(B)兩種類型.

引理2 設(shè)x(t)是(1)的正解,而相應(yīng)的y(t)具有(B)型. 如果

(3)

x(t)=y(t)-p(t)x(τ(t))>L-py(τ(t))≥L-p(l+ε)=K(L+ε)=K(L+ε)>Ky(t),

(4)

[r(t)(y″(t))α]′+m(t)(y″(t))α≤-Kα?baq(t,ξ)yα[g(t,ξ)〗)dσ(ξ)，

注意到(H3)和y(t)是(B)型, 得到

[r(t)(y″(t))α]′+m(t)(y″(t))α≤-Kαyα[g(t,b)]?baq(t,ξ)dσ(ξ)≡-q1(t)ya[g1(t)]，

(5)

[z(t)r(t)(y″(t))α]′(r(t)y″(t)z(t))′≤-q1(t)yα(g1(t))z(t),

(6)

從t到∞對(duì)式(6)積分產(chǎn)生

r(t)(y″(t))αz(t))′≥?∞tq1(s)y[g1(s)]z(s)ds,

利用yα[g1(t)]≥Lα,z′(t)>0,有

(7)

再對(duì)式(7)從t到∞積分,得到

將上式從t1到∞積分,有

人生在世，都要經(jīng)歷漂泊，都要經(jīng)受蒼茫和困惑。這樣的時(shí)候，儀式感就是閃爍在人性河道上的燈塔，它總是以它的精神內(nèi)涵照徹混沌，點(diǎn)撥人心。人類的卑微和偉大，常常是通過(guò)儀式才得以充分凸顯出來(lái)的。

引理3[31]設(shè)

u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)≤0,t≥t0,

則對(duì)任一θ∈(0,1)存在Tθ≥t0,使得

引理4[32]設(shè)

u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)>0,u?(t)≤0,t≥Tα,

則存在β∈(0,1)和Tβ≥Τθ, 使得u(t)≥βtu′(t),t≥Tβ.

引理5[33]設(shè)A>0,B>0,X≥0, 則有

2 主要結(jié)果

下面利用Philos型的積分平均條件[34],給出方程(1)的新的振動(dòng)結(jié)果.為此引進(jìn)如下一類函數(shù)X. 令

D={(t,s)|t≥s≥t0}, D0={(t,s)|t>s≥t0}.

函數(shù)H(t,s)∈C(D，R)稱為屬于X 類, 記作H∈X, 如果滿足

(ⅰ)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

定理1 設(shè)(3)成立, 且存在函數(shù)H∈X和ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),使得

(8)

其中

(9)

這里的α和β由引理3和引理4定義, 則方程(1)的每一解x(t)振動(dòng), 或者當(dāng)t→∞時(shí)x(t)→0.

證明 設(shè)方程(1)存在非振動(dòng)解x(t),不失一般性,設(shè)x(t)最終為正(當(dāng)x(t)最終為負(fù)時(shí)可以類似地證明),故存在充分大的t1≥T(T在引理1中提及).使得當(dāng)t≥t1時(shí)有x(t)>0,x(σ(t))>0,x(g(t))>0.下面針對(duì)(2)式定義的函數(shù)y(t)進(jìn)行討論.由引理1可知,y(t)可能為型(A)或(B)型.

首先,設(shè)y(t)為(A)型,有

x(t)=y(t)-p(t)x(σ(t))≥y(t)-py(t)≥(1-p)y(t).

由(H3)和(1), 得到

[r(t)(y″(t))α]′+m(t)(y″(t))α≤-(1-p)α?baq(t,ξ)yα[g(t,ξ)]dσ(ξ)≤

-(1-p)αyα[g(t,a)]?baq(t,ξ) dσ(ξ)≡-q2(t)yαg(t,a)，

(10)

其中

q2(t)=(1-p)α?baq(t,ξ) dσ(ξ).

(11)

令

(12)

則有

在引理3中,令u(t)=y′(t),則有不等式

利用引理4得到

y[g(t,a)]≥βg(t,a)y′[g(t,a)].

因此有

(13)

其中Q(t)由(9)和(11)定義.

令

由(13)得到

(14)

取

利用引理5,有

則由(14)產(chǎn)生

或者

(15)

易知,式(15)與條件(8)矛盾,故情形(A)不出現(xiàn).

注:若取H(t,s)=(t-s)n, 則定理1的Philos型條件簡(jiǎn)化為Kamenev型條件.H的其他選擇如下：

3)H(t,s)=-(et-s-es-t)n；

更一般地有

[1]R.P.Agarwal,S.R.GraceandD.O’Regan,OscillationTheoryforDifferenceandFunctionalDifferentialEquations[M].Dordrecht:KluwerAcademicPublishers, 2000.

[2]R.P .Agarwal, S.R. Grace and D. O’Regan, Oscillation Theory for Second Order Dynamic Equations[M].London: Taylor & Francis Group , 2003.

[3]林文賢.具連續(xù)分布滯量的二階中立型方程的振動(dòng)性定理[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào), 2003，5 (2)：174-177.

[4]林文賢.一類非線性偶數(shù)階中立型方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005, 22(1):159-162.

[5]林文賢.一類中立型泛函微分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2005,35(6)，211-215.

[6]林文賢.一類具連續(xù)分布滯量的偶數(shù)階微分方程的新振動(dòng)性定理[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，29(4),394-396.

[7]林文賢. 一類具連續(xù)偏差變?cè)亩A非線性中立型方程的振動(dòng)性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009, 34(4):1-3.

[8]Lin Wenxian. Interval oscillation theorems for certain second order neutral differential equations with continuous deviating arguments[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 2010,34(6):1055-1061.

[9]林文賢.具有阻尼項(xiàng)的中立型Emden-Fowler方程的區(qū)間振動(dòng)準(zhǔn)則[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011, 32(6):8-11.

[10]Lin Wenxian. A note on oscillation of certain second order partial functional differential equation with damping [J].Pioneer Journal of Mathematics and Mathematics Sciences, 2012,4(1):125-128.

[11]林文賢.具連續(xù)分布時(shí)滯的二階半線性中立型阻尼泛函微分方程的Philos型振動(dòng)定理[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012, 33(3):7-12.

[12]林文賢.一類二階中立型微分不等式最終正解的不存在性[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,40(2)：31-33.

[13]林文賢.二階中立型阻尼微分不等式最終正解不存在性[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，38(5)：138-140.

[14]林文賢.具連續(xù)偏差變?cè)亩A阻尼微分方程的振動(dòng)性[J].中國(guó)科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào)，2012，29(5)：594-598.

[15]林文賢.一類中立型阻尼泛函微分方程的振動(dòng)性[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013, 36(3):20-22.

[16]林文賢.一類帶強(qiáng)迫項(xiàng)的二階阻尼微分方程的區(qū)間振動(dòng)性[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版),2014, 46(2):1-5.

[17]林文賢,俞元洪.高階中立型時(shí)滯微分方程的振動(dòng)準(zhǔn)則[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014, 37(6):1018-1024.

[18]林文賢. 振動(dòng)性和周期解理論的研究[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2014.

[19]L.H. Erbe, Q.Kong and B.G.Zhang, Oscillation Theory for Difference and Functional Differential Equations[M].New York: Marcel Dekker, 1995.

[20]Aktas M.F.,Tiryaki A, Zafer A. Oscillation criteria for third order nonlinear functional differential equations[J].Appl. Math. Letters, 2010(23):.756-762.

[21]Dzurina J. Asymptotic properties of the third order delay differential equations[J].Nonlinear Anal TMA, 1996(26):33-43.

[22]Grace S.R. Agarwal R.P, Pavani R, et al. On the oscillation criteria for third order nonlinear functional differential equations[J].Appl. Math. Comput., 2008(202)：102-112.

[23]Grace S.R. Agarwal R.P, Aktas M F. On the oscillation of third order functional differential equations[J].Indian J Pure Appl. Math., 2008(39):491-507.

[24]Parhi N, Padhi S. On asymptotic behavior of solutions of third order delay differential equations[J].Indian J Pure Appl. Math., 2002(33):327-332.

[25]Q.X. Zhang, L. Gao & Y.H. Yu, Oscillation criteria for third-order neutral differential equations with continuously distributed delay[J].Applied Mathematics Letters, 2012(25): 1514-1519.

[26]俞元洪.三階中立型分布時(shí)滯微分方程的振動(dòng)定理[J].瓊州學(xué)院學(xué)報(bào), 2010, 17(5): 1-5.

[27]林文賢.三階中立型分布時(shí)滯阻尼微分方程的振動(dòng)定理[J].瓊州學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，21(2) : 7-11.

[28]林文賢.一類三階中立型阻尼方程的Philos型振動(dòng)定理[J].寧夏大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014, 35(2):1-4.

[29]林文賢.三階非線性中立型阻尼泛函微分方程的振動(dòng)性[J].安徽大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015, 39(3):5-9.

[30]林文賢.一類具分布時(shí)滯的三階非線性泛函微分方程的振動(dòng)性和漸近性[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2015，36(3) :6 -14.

[31]Erbe L. Oscillation criteria for second order nonlinear delay equations[J].Canad Math. Bull., 1973(16): 49-56.

[33]Hardy G H，Litterwood J E，Polya G.Inequalities(2nd Edition) [M].Cambridge: Cambridge University Press, 1952.

[34]Ch G Philos. Oscillation theorems for linear differential equation of second order[J].Arch Math., 1989(53): 483-492.

(編校：吳炎)

Oscillation for Third-Order Neutral Functional Differential Equations with a Damping Term and Distributed Delays

LIN Wen-xian

(College of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University, Chaozhou Guangdong 521041，China)

The oscillation of third-order nonlinear neutral damped functional differential equations with distributed delays was studied. By using a generalized Riccati transformation and integral averaging technique, established is some new sufficient conditions which insure that any solution of this equation oscillates converges to zero. Consequently, the corresponding results in the latest literature are extended and improved.

a damping term ; third-order neutral equations; Philos-type oscillation

2016-04-12

廣東省高等學(xué)校特色創(chuàng)新項(xiàng)目(2014GXJK125);廣東省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目(GDJG20142396)

林文賢(1966- ),男,廣東潮州人,韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授,研究方向?yàn)榉汉⒎址匠汤碚摷皯?yīng)用.

O175.10

A

1008-6722(2016) 05-0038-06

10.13307/j.issn.1008-6722.2016.05.08