多核集群任務(wù)分配問題的0-1整數(shù)規(guī)劃求解模型①

楊際祥 凌 玲

(重慶交通大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 重慶 400074)

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多核集群任務(wù)分配問題的0-1整數(shù)規(guī)劃求解模型①

楊際祥②凌 玲

(重慶交通大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 重慶 400074)

研究了典型多核集群任務(wù)分配中的節(jié)點內(nèi)通訊特性?；?-1整數(shù)非線性規(guī)劃模型和線性松弛技術(shù)，給出了一種0-1整數(shù)線性規(guī)劃任務(wù)分配問題求解優(yōu)化模型。由于節(jié)點內(nèi)的通訊量與通訊延遲較大，以最小化計算代價和節(jié)點間通訊代價為研究目標的傳統(tǒng)求解模型具有嚴重的局限性，而該求解模型考慮了節(jié)點內(nèi)通訊代價，并采用了線性規(guī)劃松弛技術(shù)，其目標是最小化計算代價、節(jié)點間通訊代價和節(jié)點內(nèi)通訊代價。計算結(jié)果驗證了提出的模型的有效性。

多核集群， 任務(wù)分配問題(TAP)， 0-1整數(shù)規(guī)劃， 線性規(guī)劃松弛

0 引 言

任務(wù)分配問題(task allocation problem, TAP)是并行計算領(lǐng)域的一個經(jīng)典問題，任務(wù)分配旨在將一組任務(wù)分配到一組計算節(jié)點上，以最小化總成本。總成本通常包括執(zhí)行成本和節(jié)點間(或處理器間)通訊成本。然而，隨著基于多核節(jié)點的以層次方式構(gòu)成的集群成為并行計算的一種發(fā)展趨勢，通訊成本不但包括節(jié)點間通訊成本，還應(yīng)包括節(jié)點內(nèi)通訊成本，而節(jié)點內(nèi)通訊成本又與節(jié)點內(nèi)的通訊量和通訊延遲兩個因素密切相關(guān)。文獻[1,2]通過通訊量和通訊延遲展示了節(jié)點內(nèi)通訊的重要性。文獻[1]指出，網(wǎng)絡(luò)附屬存儲(NAS)基準測試中超過50%的通訊量是通過節(jié)點內(nèi)通訊完成的。文獻[2]研究表明，在典型的多核集群系統(tǒng)中，在節(jié)點內(nèi)的通訊延遲與節(jié)點間的通訊延遲之比隨消息的增大而增大。因此，考慮并優(yōu)化節(jié)點內(nèi)通訊與優(yōu)化節(jié)點間通訊成本同等重要。傳統(tǒng)的任務(wù)分配問題(TAP)求解以最小化節(jié)點計算代價與節(jié)點之間的通訊代價為研究目標，具有嚴重的局限性。

現(xiàn)有的求解TAP的方法大致可分為三類，即圖理論法、數(shù)學規(guī)劃法以及啟發(fā)式方法[3]。數(shù)學規(guī)劃方法將任務(wù)分配問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，并使用數(shù)學規(guī)劃技術(shù)[3,4]進行求解。如果未知變量為整數(shù)，則該問題為整數(shù)規(guī)劃問題。在實際情況中，通常未知變量個數(shù)有限，該問題為一NP難問題。0-1整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)規(guī)劃的一種特殊情況，變量或為0或為1，該問題仍為一NP難問題。傳統(tǒng)的四個或者更多個計算機上的任務(wù)分配問題的求解為一NP完全問題，更不必說新的多核集群任務(wù)分配問題(task allocation problem in multi-core clusters，TAPMC)的求解為一難解問題。本文使用整數(shù)規(guī)劃理論求解TAPMC，首先給出一個0-1整數(shù)非線性規(guī)劃求解模型，然后借助線性規(guī)劃松弛技術(shù)與優(yōu)化方法給出一種新的0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型。

1 傳統(tǒng)TAP的0-1整數(shù)規(guī)劃模型

不失一般性，假設(shè)n個任務(wù)分配到m個計算節(jié)點上，部分任務(wù)間彼此存在通訊。如果任務(wù)i被分配到計算節(jié)點j上，產(chǎn)生的執(zhí)行成本設(shè)為eij，而設(shè)當任務(wù)i與任務(wù)k未被分配到同一個計算節(jié)點上產(chǎn)生的通訊成本為cik。二元變量xij定義為1，當且僅當任務(wù)i分配到計算節(jié)點j上，反之為0。傳統(tǒng)任務(wù)分配問題可轉(zhuǎn)化為0-1整數(shù)規(guī)劃問題，該0-1整數(shù)規(guī)劃問題旨在最小化完成任務(wù)的總成本，如模型

(1)

所示。

0-1整數(shù)規(guī)劃問題可分為整數(shù)規(guī)劃問題或者非線性規(guī)劃問題，部分研究者給出了該問題的求解方法?；诜种ο藿缂夹g(shù)，文獻[5]給出了一種求解該問題的方法。文獻[6]使用Lagrangian對偶公式分枝限界法給出了一種有效的求解算法；文獻[7,8]給出一種解決整數(shù)規(guī)劃問題的列生成模型，并且證明了它們的計算性能；文獻[4]引入一種混合整數(shù)規(guī)劃模型，當存在大量的任務(wù)通訊時尤其有效，求解大規(guī)模問題時比其它精確算法更為有效。

2 多核集群任務(wù)分配問題(TAPMC)求解模型

2.1 0-1整數(shù)非線性規(guī)劃模型

0-1整數(shù)規(guī)模劃型(式(1))能夠有效求解傳統(tǒng)任務(wù)分配問題，但無法有效求解多核集群任務(wù)分配問題。在本文中，考慮了多核集群任務(wù)分配問題的0-1整數(shù)規(guī)劃問題，給出多核集群任務(wù)分配問題的一種0-1整數(shù)非線性規(guī)劃求解模型，如模型

(2)

所示。

在模型式(2)中，目標函數(shù)包括以下三個部分：

為有助于求解TAPMC問題，模型式(2)可表示為

(3)

2.2 0-1線性整數(shù)規(guī)劃模型

(4)

進一步，引入變量uij與vij。若任務(wù)i未分配到計算節(jié)點j，則uij(或者vij)為0，否則表示任務(wù)i與其它任務(wù)(任務(wù)i+1,i+2,…,n)之間發(fā)生的節(jié)點間(或者節(jié)點內(nèi))通訊總成本。因此，模型式(4)可表示為

(5)

2.3 應(yīng)用極大獨立集優(yōu)化TAPMC求解模型

盡管給出了求解TAPMC的0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型，該模型仍需進一步優(yōu)化。在計算節(jié)點內(nèi)與節(jié)點間的通訊成本時，假定通訊圖為一完全圖，因此可能產(chǎn)生一些不必要的計算。為避免這些不必要的計算，引入極大獨立集理論以優(yōu)化通訊成本的計算。

定義1：對于一個無向圖G=(V,E)及子集S(S?V)，若：(1) S中的任意兩個節(jié)點不相鄰，則稱S為G的一個獨立集；(2) S為G的一個獨立集，且對任意v∈V-S，在S中至少存在一個節(jié)點鄰接v，則稱S為G的一個極大獨立集。

圖1 調(diào)整前的通訊圖與通訊矩陣

圖2 調(diào)整后的通訊圖與通訊矩陣

在算法1中，swap(i, j)方法完成第i行與第j行之間的數(shù)據(jù)交換操作，同時完成第i列與第j列之間的數(shù)據(jù)交換操作。

3 計算結(jié)果

任務(wù)間的通訊使得分配決策比較困難。傳統(tǒng)的任務(wù)分配問題的解決方法在任務(wù)間存在較少通訊時比較有效，而在解決涉及大量的任務(wù)間通訊(如通訊密度為50%、75%或100%)情形時顯得較為困難。文獻[4]引入了一種任務(wù)分配問題整數(shù)求解模型U2,且計算結(jié)果表明其在當所求解問題存在大量的任務(wù)間通訊成本時效果較好。因此，通過與U2計算結(jié)果比較，以研究本文模型的有效性。

計算節(jié)點具體環(huán)境為Intel(R) Core(TM)2 Quad CPU Q6000 @2.40GHz,8G內(nèi)存,L2 Cache 4M, L1 Cache 32KB;Windows Server 2003;CPLEX 9.0[9]。任務(wù)數(shù)n配置為100,150,200；計算節(jié)點數(shù)m配置為4,6,8,10；通訊密度配置為50%,75%,100%。

計算結(jié)果如圖3～圖5所示。在任務(wù)數(shù)n=100,150,200時，本文模型的求解時間皆快于U2，且隨任務(wù)間通訊密度的增大，本文模型的優(yōu)勢更加明顯。此外，當n=150,m=10，通訊密度=100%；n=200，m=8,10，通訊密度=50%, 75%；n=200,m=6,8,10，通訊密度=100%時，模型U2計算效率低下(超時)，而本文模型則表現(xiàn)出了良好的計算效率與可擴展性。

圖3 不同通訊密度下的任務(wù)(任務(wù)數(shù)n=100)求解時間隨節(jié)點數(shù)的變化關(guān)系

圖4 不同通訊密度下的任務(wù)(任務(wù)數(shù)n=150)求解時間隨節(jié)點數(shù)的變化關(guān)系

圖5 不同通訊密度下的任務(wù)(任務(wù)數(shù)n=200)求解時間隨節(jié)點數(shù)的變化關(guān)系

4 結(jié) 論

任務(wù)分配是多核集群系統(tǒng)中的一個重要問題。傳統(tǒng)TAP為NP難問題,新的TAPMC的求解更具有挑戰(zhàn)性。本文給出一種求解TAPMC的0-1整數(shù)非線性規(guī)劃模型,并給出一種0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型及其優(yōu)化方法。計算結(jié)果表明,當存在大量任務(wù)間通訊時,本文給出的計算模型比較有效。

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A model for solving task allocation problems in multi-core clusters using 0-1 integer programming

Yang Jixiang, Ling Ling

(School of Mathematics and Statistics, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074)

The in-node communication characteristics of the task allocation of multi-core clusters was studied. An optimized model for solving task allocation problems in multi-core clusters using 0-1 integer linear programming was proposed based on the 0-1 integer linear programming model and the linear relaxation technique. Considering that the traffic and delay of in-node communications are bigger, which brings serious limitations to the traditional models aiming to minimize the computing cost and the cost of the node-node communications, the proposed model takes account of the cost of in-node communications and adopts the technique of linear programming relaxation, with the aim to minimize the computing cost, the cost of node-node communications, and the in-node communication cost. The effectiveness of the model is verified by the computation result.

multi-core cluster, tast allocation problem, 0-1 integer programming, linear programming relaxation

10.3772/j.issn.1002-0470.2016.04.003

①國家自然科學基金(11401061)，重慶市自然科學基金(KJ1400316)和交通運輸部建設(shè)科技基金(2014318223030)資助項目。

2015-12-16)

②男，1975年生，博士，副教授；研究方向：并行計算與系統(tǒng)可靠性等；聯(lián)系人，E-mail: jixiang_yang@126.com(