三維復(fù)合勢(shì)下的玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)及操控*

沈森挺， 宗豐德， 王海紅

(浙江師范大學(xué) 非線性物理研究所,浙江 金華 321004)

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三維復(fù)合勢(shì)下的玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)及操控*

沈森挺， 宗豐德， 王海紅

(浙江師范大學(xué) 非線性物理研究所,浙江 金華 321004)

基于二維拋物勢(shì)、一維光晶格勢(shì)和二維高斯勢(shì)所組成的復(fù)合勢(shì)，討論了一個(gè)具有層狀結(jié)構(gòu)并帶有增益的三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu).應(yīng)用能量泛函和直接數(shù)值仿真，得到了暗孤子結(jié)構(gòu)在關(guān)鍵參量空間中的穩(wěn)定性區(qū)域，并分析了暗孤子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在線性增益的作用下，暗孤子結(jié)構(gòu)的振幅和脈寬實(shí)現(xiàn)了同步變化，這為通過增益調(diào)制來控制物質(zhì)波孤子的動(dòng)力學(xué)行為提供了一種思路.而且，對(duì)不同原子數(shù)比例下的暗孤子結(jié)構(gòu)的中心位置進(jìn)行了成功操控，這將對(duì)量子信息的存儲(chǔ)和處理起到一定的理論指導(dǎo)作用.

玻色-愛因斯坦凝聚；Gross-Pitaevskii方程；暗孤子；操控

0 引 言

在玻色-愛因斯坦凝聚的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)及理論探究中，外勢(shì)起著十分關(guān)鍵的作用，尤其是拋物勢(shì)[1-3]、高斯勢(shì)[4-5]和光晶格勢(shì)[6-8].在拋物勢(shì)中，對(duì)物質(zhì)波孤子的研究集中在明孤子[1]、暗孤子[2]和矢量孤子[3]等不同的類型；在高斯勢(shì)中，主要集中于渦旋孤子[4]和暗孤子[5]；而在光晶格勢(shì)中，則對(duì)明孤子[6]、渦旋孤子[7]和Gap孤子[8]有較多的研究.可以看出，拋物勢(shì)和高斯勢(shì)在暗孤子的構(gòu)造方面作用顯著.但是采用拋物勢(shì)、高斯勢(shì)和光晶格勢(shì)所組成的聯(lián)合外勢(shì)來構(gòu)造特定結(jié)構(gòu)的暗孤子的方法到目前為止還沒有被報(bào)道，尤其是暗孤子結(jié)構(gòu).同時(shí)考慮到高斯勢(shì)可以通過向玻色-愛因斯坦凝聚的中心照射一束藍(lán)調(diào)制激光來實(shí)現(xiàn)[9]，而光晶格勢(shì)可以通過正交偏振相對(duì)傳播的激光束來實(shí)現(xiàn)[10].考慮到由二維拋物勢(shì)、一維光晶格勢(shì)和二維高斯勢(shì)組成的復(fù)合外勢(shì)是圓柱對(duì)稱結(jié)構(gòu)及每個(gè)晶格扁平形狀，本文討論了一個(gè)三維玻色-愛因斯坦凝聚層狀暗孤子結(jié)構(gòu).

除了可以用外勢(shì)來構(gòu)造暗孤子外，還有很多其他產(chǎn)生暗孤子的方法.其中，最常見的是相位注入法[11]，通過一束遠(yuǎn)失諧激光將偶極勢(shì)作用到玻色-愛因斯坦凝聚上，使其局部增加一個(gè)額外的相位，從而產(chǎn)生排斥力將原子分開，產(chǎn)生暗孤子.另外一種常用的方法是密度調(diào)制[12]，在進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)換之后，移除節(jié)點(diǎn)平面上的原子，從而得到暗孤子.此外還有像超音速流[13]等方法.另一方面，暗孤子的動(dòng)力學(xué)和穩(wěn)定性一直以來都是學(xué)者研究的焦點(diǎn)，主要集中在對(duì)幾種常見的暗孤子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析上，包括Theocharis等[14]提出的特殊環(huán)形結(jié)構(gòu)的暗孤子，受到廣泛關(guān)注的暗孤子鏈結(jié)構(gòu)[15-16]，以及最近開始受到重視的三維球殼形暗孤子結(jié)構(gòu)[17].其中在對(duì)暗孤子鏈結(jié)構(gòu)的探究方面，Hoefer等[15]通過讓兩組分玻色-愛因斯坦凝聚在窄小的通道內(nèi)快速對(duì)流的方法，實(shí)驗(yàn)上觀察到了由于調(diào)制不穩(wěn)定所產(chǎn)生的暗孤子鏈結(jié)構(gòu)；Achilleos等[16]通過利用玻色-愛因斯坦凝聚內(nèi)部的非線性及旋轉(zhuǎn)軌道能譜的性質(zhì)得到了密度不斷振動(dòng)的暗孤子鏈結(jié)構(gòu).但是，通過應(yīng)用由二維拋物勢(shì)、一維光晶格勢(shì)和二維高斯勢(shì)所構(gòu)成的聯(lián)合外勢(shì)來構(gòu)造具有層狀的暗孤子結(jié)構(gòu)的方法至今還沒有被報(bào)道.

本文重點(diǎn)研究由二維拋物勢(shì)、一維光晶格勢(shì)和二維高斯勢(shì)所構(gòu)成的復(fù)合勢(shì)下的帶有增益的三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu).首先，通過能量泛函的方法[18]，找到了暗孤子結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化初態(tài).接著，通過大量的數(shù)值運(yùn)算，在參數(shù)空間中找到了暗孤子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性區(qū)域，并分析了處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域之間臨界曲線的變化情況;同時(shí)，從穩(wěn)定區(qū)域中選取了一個(gè)特定的暗孤子結(jié)構(gòu)，對(duì)它的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了分析,發(fā)現(xiàn)在演化過程中，它的振幅和脈寬不斷同步增大.最后，對(duì)不同原子數(shù)比例下的暗孤子結(jié)構(gòu)的中心位置進(jìn)行了成功的操控.

1 理論模型和能量泛函

帶有增益和原子間排斥相互作用的三維玻色-愛因斯坦凝聚的時(shí)間演化滿足Gross-Pitaevskii(GP)方程[19]

(1)

(2)

與方程(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函為

(3)

(4)

(5)

式(5)中，g=4πγ.為了更好地展現(xiàn)物理意義，本文選擇具有原子間排斥相互作用的87Rb原子凝聚體作為實(shí)驗(yàn)研究數(shù)據(jù)[21]，其中，m=1.44×10-25kg，as/a⊥=4.33×10-3及ω⊥/(2π)=78 Hz，相應(yīng)的無量綱空間和時(shí)間單位為：1.222 μm和2.039×10-3s.

基于外勢(shì)的圓柱對(duì)稱結(jié)構(gòu)和每個(gè)晶格的扁平形狀，筆者提出如下組成暗孤子結(jié)構(gòu)中的基本暗孤子的靜態(tài)試探波函數(shù)：

(6)

式(6)中：z0是基本暗孤子在z軸上的中心位置；k⊥和kz分別是玻色-愛因斯坦凝聚的徑向和軸向無量綱脈寬；χ是描述基本暗孤子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子.由式(6)可知，此基本暗孤子的等振幅圖是“輪胎”狀的，而χ的大小反映了基本暗孤子的等振幅圖“輪胎”的內(nèi)外半徑的大??；φ0代表基本暗孤子的相位；A是歸一化常數(shù),

(7)

式(7)中，Γ(ξ)=∫uξ-1exp(-u)du(Reξ>0)是伽馬函數(shù).于是，暗孤子結(jié)構(gòu)靜態(tài)波函數(shù)為

(8)

式(8)中：系數(shù)m,n,u,p分別是4個(gè)基本暗孤子的原子數(shù)比例系數(shù).代入無量綱能量泛函式(4)就可得到三維復(fù)合勢(shì)下帶有增益的玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)的能量泛函.接著,通過應(yīng)用來解決多變量極值問題的粒子群算法[22]求解能量泛函的極值,可得到暗孤子結(jié)構(gòu)靜態(tài)波函數(shù)的最優(yōu)化解.

2 三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析

首先，把通過應(yīng)用粒子群算法求解能量泛函的極值得到的暗孤子結(jié)構(gòu)靜態(tài)波函數(shù)最優(yōu)化解作為直接數(shù)值仿真的暗孤子結(jié)構(gòu)初態(tài)，并進(jìn)行大量的數(shù)值計(jì)算，獲得了決定暗孤子結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的關(guān)鍵參量空間(ω,N,V0)中暗孤子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性區(qū)域.數(shù)值仿真采用Crank-Nicholson算法[23]，時(shí)間和空間步長(zhǎng)分別為0.001和0.045，網(wǎng)格大小為256×256×256，空間范圍為-5.76≤x,y,z≤5.76.圖1表示在線性增益下原子數(shù)比例為1∶1∶1∶1的三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域之間的臨界曲線的變化情況，臨界曲線以上區(qū)域是穩(wěn)定區(qū)域，而臨界曲線以下區(qū)域是不穩(wěn)定區(qū)域.其中，圖1(a)是對(duì)應(yīng)于不同的ω時(shí)，V0隨著原子數(shù)N變化的臨界曲線.曲線從下往上分別對(duì)應(yīng)：ω=1.3,1.9,2.5,3.1.由圖1可知，對(duì)于一個(gè)特定的ω，V0隨著N的增加不斷減小.這說明對(duì)于一個(gè)特定的光晶格寬度，隨著原子數(shù)的增加，在原子間排斥相互作用、高斯勢(shì)的排斥作用和線性增益的綜合作用下，凝聚體變得更加穩(wěn)定.而圖1(b)是對(duì)應(yīng)于不同的N時(shí)，V0隨著ω的變化情況.這里，曲線從上往下分別對(duì)應(yīng)：N=1 700,1 300,900,500,100.對(duì)于一個(gè)特定的原子數(shù)N，隨著ω的增加，V0先減小后再不斷增大.這表明對(duì)于一個(gè)特定的原子數(shù)，隨著光晶格的不斷變窄，在原子間排斥相互作用、高斯勢(shì)的排斥作用和線性增益調(diào)制下,凝聚體穩(wěn)定性先增強(qiáng)后不斷減弱.考慮到N=500這條曲線在圖中的極值點(diǎn)出現(xiàn)在ω=1.5處，為了方便實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)，選擇處于穩(wěn)定區(qū)域中的特定暗孤子結(jié)構(gòu)時(shí)，其參量取為：ω=1.5，N=500,V0=50.

圖1 三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)在參量空間(ω,N,V0)上的穩(wěn)定區(qū)域圖

然后，從以上穩(wěn)定區(qū)域中選取特定參量及原子數(shù)比例的暗孤子結(jié)構(gòu)，并展示了它的穩(wěn)定演化，如圖2所示.圖2(a),(b)分別是暗孤子結(jié)構(gòu)的初態(tài)和末態(tài)在y=0處的切片圖.

圖2 在線性增益下原子數(shù)比例為1∶1∶1∶1的三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定演化圖

從圖2(a)可以看出，這是一個(gè)層狀暗孤子結(jié)構(gòu)，其中4個(gè)基本暗孤子分別位于:z=-2π/ω,-π/ω,0,π/ω.將圖2(b)與圖2(a)比較發(fā)現(xiàn)，在演化過程中，各個(gè)基本暗孤子的位置未發(fā)生改變，但從圖中暗孤子結(jié)構(gòu)的形狀及顏色深淺的變化可以發(fā)現(xiàn)它的密度分布發(fā)生了變化.圖2(c)是暗孤子的穩(wěn)定演化圖.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著演化的進(jìn)行，等振幅圖中4個(gè)基本暗孤子所對(duì)應(yīng)的管子直徑不斷同步變大.這是由于在線性增益的作用下，凝聚體原子數(shù)不斷增加，使得原子間排斥相互作用不斷增大所導(dǎo)致的.為了更清楚地說明這個(gè)問題，筆者給出了暗孤子結(jié)構(gòu)中位于z=π/ω處的第4個(gè)基本暗孤子的一維振幅演化圖，如圖2(d)所示，其中曲線從下往上分別對(duì)應(yīng)時(shí)刻：t=0,t=15,t=50,t=75,t=100.從圖中可以看出，在線性增益的作用下，原子數(shù)不斷增加，導(dǎo)致了基本暗孤子的振幅和脈寬在演化過程中同步不斷變大.同時(shí)還發(fā)現(xiàn)，在演化過程中，基本暗孤子的中間開口不斷變小，而外部直徑不斷變大.上述暗孤子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定演化是在由吸引的二維拋物勢(shì)、一維光晶格勢(shì)和排斥的二維高斯勢(shì)所組成的聯(lián)合外勢(shì)及線性增益的共同作用下實(shí)現(xiàn)的.通過同樣的方法，還可得到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子為χ=1,2及由2個(gè)或3個(gè)基本暗孤子所組成的穩(wěn)定的暗孤子結(jié)構(gòu).而拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子變化時(shí),暗孤子結(jié)構(gòu)中“輪胎”狀基本暗孤子的內(nèi)外半徑也隨之發(fā)生改變.當(dāng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子變小時(shí)，基本暗孤子的內(nèi)外半徑同步變??；當(dāng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因子變大時(shí)，內(nèi)外半徑同步變大.

再者，作為對(duì)比，在不穩(wěn)定區(qū)域中選擇特定參量和原子數(shù)比例的暗孤子結(jié)構(gòu)，并展示了它的不穩(wěn)定演化，如圖3所示.由圖3可以看出，暗孤子結(jié)構(gòu)中的4個(gè)基本暗孤子都發(fā)生了不同程度的遂穿現(xiàn)象，而位于兩邊晶格中的第1個(gè)和第4個(gè)基本暗孤子由于原子間排斥相互作用所發(fā)生的遂穿現(xiàn)象更加嚴(yán)重.宏觀量子遂穿現(xiàn)象的出現(xiàn)與參量ω,N和V0有著十分密切的關(guān)系.ω,N和V0分別代表光晶格勢(shì)的空間寬度、凝聚體的原子數(shù)及光晶格勢(shì)的強(qiáng)度.相比于圖2中穩(wěn)定演化的暗孤子結(jié)構(gòu)，這里原子數(shù)的增大導(dǎo)致了原子間相互作用強(qiáng)度的增大；并且光晶格勢(shì)強(qiáng)度V0的變小，也大大增加了凝聚體原子逃逸的概率.總之，在參量ω,N及V0的共同作用下，暗孤子結(jié)構(gòu)發(fā)生了顯著的量子遂穿現(xiàn)象.

χ=3,A=0.085 7,k⊥=1.303 5,kz=0.586 5,ω=1.3,圖3 在線性增益下原子數(shù)比例為1∶1∶1∶1的三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定演化圖

3 三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)中心位置的操控

通過控制外勢(shì)來操控玻色-愛因斯坦凝聚體[24]是量子調(diào)控的中心議題之一.

(9)

式(9)中：zi是初位置；zf是末位置；t0是移動(dòng)的初始時(shí)刻；τ是移動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間.為了控制暗孤子結(jié)構(gòu)在穩(wěn)定狀態(tài)下的中心位置定向移動(dòng)，就得保證移動(dòng)過程是絕熱的，這就要求暗孤子結(jié)構(gòu)的最大移動(dòng)速度vmax=|zf-zi|/(2π)必須足夠小.在線性增益下對(duì)帶有相同原子數(shù)比例和不同原子數(shù)比例的三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)的中心位置進(jìn)行操控的穩(wěn)定演化如圖4所示.圖4(a)原子數(shù)比例為1∶1∶1∶1，圖4(b)則為1∶2∶3∶4.在演化過程中，凝聚體原子數(shù)在線性增益的作用下不斷增加，致使原子間排斥相互作用不斷增大，從而使得等振幅圖中的管子直徑隨著演化的進(jìn)行不斷變大.圖4(a)中4個(gè)基本暗孤子所對(duì)應(yīng)的管子直徑不斷同步增大，而圖4(b)中管子直徑按原子數(shù)比例不斷增大.在實(shí)現(xiàn)線性增益調(diào)制的同時(shí)，暗孤子結(jié)構(gòu)沿z軸被移動(dòng)了一個(gè)光晶格周期的距離，其中暗孤子結(jié)構(gòu)中第3個(gè)基本暗孤子從zi=0移到了zf=π/ω的位置.這里，沿z軸對(duì)稱的周期性光晶格勢(shì)的使用能夠保證在緩慢地沿著軸移動(dòng)的過程中保持暗孤子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.

(a)參數(shù)同圖2；(b)參數(shù)為:χ=3,A=0.032 2,k⊥=1.713 6,kz=0.328 5,ω=1.5,

圖4 在線性增益下帶有相同原子數(shù)比例和不同原子數(shù)比例的三維玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)的中心位置操控的穩(wěn)定演化圖

圖5 對(duì)應(yīng)于圖4(b)的暗孤子結(jié)構(gòu)中4個(gè)基本暗孤子的一維振幅演化圖

其次，給出了圖4(b)中暗孤子結(jié)構(gòu)的4個(gè)基本暗孤子的一維振幅演化圖.如圖5所示，原子數(shù)比例從(a)到(d)分別是1∶2∶3∶4.每幅圖中曲線從下到上分別對(duì)應(yīng)時(shí)刻t=0,20,80,100.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，在線性增益調(diào)制的作用下，在暗孤子結(jié)構(gòu)的中心位置被成功地穩(wěn)定操控過程中，隨著原子數(shù)的增加，4個(gè)基本暗孤子的振幅和脈寬隨時(shí)間也得到了同步不斷變大的操控.需要指出的是，如果玻色-愛因斯坦凝聚系統(tǒng)帶有線性損耗，那么隨著原子數(shù)的減少，暗孤子結(jié)構(gòu)中的4個(gè)基本暗孤子的振幅和脈寬隨時(shí)間將同步不斷變小.

筆者已經(jīng)討論了三維復(fù)合勢(shì)下的玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)的存在和穩(wěn)定性，并通過控制增益和外勢(shì)實(shí)現(xiàn)了對(duì)暗孤子結(jié)構(gòu)的振幅、脈寬和中心位置的操控，期待著相關(guān)實(shí)驗(yàn)不久就能實(shí)現(xiàn).

4 總 結(jié)

考慮到由二維拋物勢(shì)、一維光晶格勢(shì)和二維高斯勢(shì)所組成的復(fù)合勢(shì)的圓柱對(duì)稱結(jié)構(gòu)及每個(gè)晶格的扁平形狀，筆者構(gòu)造了一個(gè)具有層狀結(jié)構(gòu)的在含增益調(diào)制及不同原子數(shù)比例下的玻色-愛因斯坦凝聚暗孤子結(jié)構(gòu)，并討論了暗孤子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和操控動(dòng)力學(xué).首先利用能量泛函的方法，獲得了暗孤子結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化初態(tài).接著通過大量的數(shù)值仿真，找到了關(guān)鍵參量空間中的穩(wěn)定性區(qū)域，并展示了介于穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域之間的臨界曲線的變化情況.同時(shí)，分析了特定暗孤子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)性質(zhì).發(fā)現(xiàn)在線性增益的作用下，在穩(wěn)定演化過程中，隨著原子數(shù)的不斷增加，實(shí)現(xiàn)了對(duì)暗孤子結(jié)構(gòu)中的4個(gè)基本暗孤子的振幅和脈寬不斷同步變大的控制.再者，通過控制光晶格成功實(shí)現(xiàn)了對(duì)線性增益下任意原子數(shù)比例的暗孤子結(jié)構(gòu)的振幅、脈寬和中心位置的同步操控.這將為量子信息的放大、壓縮和存儲(chǔ)等提供一定的理論依據(jù).

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(責(zé)任編輯 杜利民)

Bose-Einstein condensate dark-soliton structures and manipulation in a three-dimensional complex potential

SHEN Senting, ZONG Fengde, WANG Haihong

(InstituteofNonlinearPhysics,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

It was discussed the Bose-Einstein condensate dark-soliton structures with a gain modulation and a layer-chain structure under a complex potential combined of a two-dimensional harmonic potential, a one-dimensional optical lattice and a two-dimensional Gaussian trap. By employing the energy functional method and direct numerical simulations, the stability region of the dark-soliton structures in the parameter space were acquired and their dynamics were analyzed. It was found that the amplitudes and the pulse widths of the dark-soliton structures varied simultaneously under the linear gain modulation. It provided an idea to control the dynamical behaviors of the matter-wave solitons through the gain modulation. Furthermore, the central positions of the dark-soliton structures with different atomic number ratios were manipulated successfully. It would play an important part in the theoretical guidance of the storage and process of the quantum information.

Bose-Einstein condensate; Gross-Pitaevskii equation; dark soliton; manipulation

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.04.004

2016-03-19；

2016-04-18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072219)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Y1080959)

沈森挺(1989-)，男，浙江寧波人，碩士研究生.研究方向：玻色-愛因斯坦凝聚. 通信作者：宗豐德.E-mail:fdzong@zjnu.cn

O415

A

1001-5051(2016)04-0379-07