磨削導(dǎo)軌表面的分形接觸模型

繆小梅,黃筱調(diào)

(1.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械技術(shù)學(xué)院，江蘇 無錫 214000； 2.南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院，南京 210009)

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磨削導(dǎo)軌表面的分形接觸模型

繆小梅,黃筱調(diào)

(1.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械技術(shù)學(xué)院，江蘇 無錫 214000； 2.南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動力工程學(xué)院，南京 210009)

導(dǎo)軌是機(jī)床最重要的結(jié)合面之一，其接觸特性對機(jī)床的性能具有極其重要的影響。磨削形成的導(dǎo)軌表面形貌具有明顯的各向異性，現(xiàn)有的分形理論無法對其接觸特性進(jìn)行預(yù)測。通過對磨削導(dǎo)軌表面的微觀形貌的測量，提取了表面的分形參數(shù)及微凸體的分布函數(shù)?；诜中卫碚?、修正的分形微凸體模型(ME模型)以及圓柱微凸體的接觸模型，建立了磨削導(dǎo)軌表面的分形接觸模型，并對模型進(jìn)行了數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)研究。所建立的模型克服了MB中不現(xiàn)實(shí)的微凸體變形模式以及不適用于各向異性表面的缺陷。結(jié)果表明，磨削表面接觸載荷和接觸面積呈近似的線性關(guān)系，表面的剛度隨著干涉量的增加而增加。

磨削導(dǎo)軌；分形接觸模型；各向異性

0 引言

導(dǎo)軌是機(jī)床最重要的結(jié)合面之一，是整臺機(jī)床的裝配基礎(chǔ)，也是機(jī)床工作精度的基礎(chǔ)?；瑒訉?dǎo)軌是最廣泛使用的導(dǎo)軌形式之一?；瑒訉?dǎo)軌表面接觸問題的研究從本質(zhì)上講是粗糙表面間接觸特性的研究。粗糙表面接觸問題一直是摩擦學(xué)的主要課題之一。粗糙表面的接觸特性對于摩擦學(xué)的很多現(xiàn)象如摩擦，磨損，熱傳遞，接觸電阻以及接觸剛度和阻尼都有著極其重要的影響[1-3]。

現(xiàn)代測量技術(shù)表明大部分的工程表面形貌具有非穩(wěn)定的隨機(jī)特性，即分形特性。自從1991年，Majumdar[4]提出了以分形幾何為基礎(chǔ)的接觸模型(MB模型)以來，很多研究者致力于相關(guān)的研究，在理論或是工程實(shí)踐方面都獲得了很多成果。Ciavarella等[5]在此模型的基礎(chǔ)上研究粗糙表面的接觸剛度和接觸電阻。Bora等[6]應(yīng)用這一方法研究了硅微電子系統(tǒng)的多尺度微凸體幾何學(xué)。Panagouli和Yin[7-8]等研究了分形表面的摩擦和磨損。Liou和Lin等[9-10]研究了分形維度可變的分形接觸模型。Tsai和Liou等[11-12]將分形模型應(yīng)用到了非名義平表面的接觸研究中。Zahouani等[13]將分形模型用于結(jié)合面的粘著接觸研究中。Horng等[14]則研究了分形表面硬化層的摩擦特性，在他們所建立的模型中，微凸體是橢球形的而不是半球形的。Yoo等[15]基于MB模型研究了粗糙表面的電阻抗特性。Abuzeid等[16]研究了分形表面的熱蠕變性能。然而，這方面的研究大多以MB模型為基礎(chǔ)，主要傾向于各向同性表面的接觸特性研究。對于磨削加工而成的金屬導(dǎo)軌而言，磨削所產(chǎn)生的表面存在肉眼可見的各向異性，表面呈現(xiàn)出明顯的垂直于主方向的條狀的波紋，而在平行于主方向的輪廓幾乎是光滑的，顯然采用各向同性的理論對磨削導(dǎo)軌表面接觸特性進(jìn)行建模是不合理的。

本文對各向異性的磨削表面接觸模型進(jìn)行了研究。從磨削導(dǎo)軌表面的形貌測量出發(fā)，分析磨削表面形貌分形特性，對磨削表面的分形參數(shù)及微凸體的分布進(jìn)行了測量和提取?；趫A柱體的接觸特性[17]、修正的微凸體分形模型(ME模型)[18]以及分形接觸理論對磨削表面的接觸特性進(jìn)行建模及仿真。最后對磨削表面試驗(yàn)塊的接觸特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。本文將傳統(tǒng)的分形理論拓展到了各向異性表面的領(lǐng)域，為預(yù)測導(dǎo)軌的接觸特性奠定了理論基礎(chǔ)，具有明確的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

1 磨削表面的形貌特征及測量

圖1 粗糙度輪廓

圖2 功率譜函數(shù)與ω在對數(shù)坐標(biāo)系上的關(guān)系曲線

斜率k截距b分形維度D分形粗糙度系數(shù)G1．881-4．24271．564．68×10-5mm

在MB模型中，當(dāng)粗糙表面與剛性平面接觸時，假設(shè)粗糙表面的接觸點(diǎn)面積分布規(guī)律與海洋面島嶼面積的分布規(guī)律相似，分布密度是與最大接觸點(diǎn)相關(guān)的冪函數(shù)。然而對于各向異性的磨削表面而言，沒有現(xiàn)成的函數(shù)可以采用。由于表面接觸點(diǎn)的實(shí)際接觸面積很難測量，這里對未變形微凸體在不同干涉量下的截?cái)嚅L度進(jìn)行了測量，并對其分布規(guī)律進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖4所示。其中橫坐標(biāo)n為尺度參數(shù)， 表示截?cái)嚅L度的范圍為1/rn+11)，r=1.5可以適用于高頻譜密度和相位的隨機(jī)性。?？v坐標(biāo)為截?cái)嚅L度在對應(yīng)的尺度內(nèi)的微凸體的個數(shù)占總的微凸體個數(shù)的百分比。由于測量的樣本數(shù)有限，這里不能給出如MB模型中通用的接觸面積分布函數(shù)，而僅能通過對圖3中的測量結(jié)果進(jìn)行曲線擬合得到不同干涉量下的微凸體截?cái)嚅L度的分布函數(shù)n(lt)。

單位長度(1cm)內(nèi)微凸體的總個數(shù)約為33個

2 磨削表面的分形接觸模型

2．1 微凸體的分形接觸模型

導(dǎo)軌表面存在肉眼可見的各向異性，此時將表面的微凸體近似為半球顯然是不合適的，而應(yīng)該將微凸體看成拋物面(接觸點(diǎn)為橢圓形)或者圓柱體(接觸點(diǎn)為長方形)。拋物面微凸體適用于任何的表面微凸體，但是橢球的接觸計(jì)算相對比較復(fù)雜。磨削表面具有明顯的條狀的波紋，適合采用圓柱形來對表面的微凸體進(jìn)行模擬。文獻(xiàn)[17]中對圓柱微凸體的接觸特性進(jìn)行了分析。Morag[18]等對傳統(tǒng)分形模型中微凸體模型進(jìn)行了修正。在此基礎(chǔ)上，下面對圓柱微凸體的分形接觸模型進(jìn)行推導(dǎo)。

磨削的表面輪廓線在垂直于主方向上具有明顯的分形特性，假設(shè)分形維度為D，分形粗糙度系數(shù)為G。根據(jù)分形理論和MB模型，若忽略更小尺度上的細(xì)節(jié)，在未變形前，任意一個圓柱微凸體在徑向上的輪廓高度可以由WM函數(shù)給出：

(1)

式中， l——微凸體的尺度；

z(x)——微凸體的輪廓高度；

x——微凸體的橫向坐標(biāo)。

微凸體的大小通過指標(biāo)n來表征：

ln=1/rn

(2)

微凸體峰頂附近的曲率半徑為：

(3)

式中，Rn—尺度為n的微凸體的接觸半徑。

根據(jù)Green[19]對圓柱微凸體彈性接觸的理論研究及公式3，微凸體的彈性臨界干涉量和彈性臨界接觸長度為：

(4)

(5)

式中， χecn—尺度為n的微凸體的彈性臨界接觸長度；

δecn—尺度為n的微凸體的彈性臨界干涉量；

σs—材料的屈服強(qiáng)度；

E—材料的彈性模量。

根據(jù)有限元計(jì)算的結(jié)果[17]，塑性臨界干涉量為彈性臨界干涉量的20倍，塑性臨界接觸長度約為彈性臨界接觸長度的8.8倍。

(6)

(7)

式中， χpcn—尺度為n的微凸體的塑性臨界接觸長度(對圓柱微凸體而言，即為單位長度上的接觸面積)；

δpcn—尺度為n的微凸體的塑性臨界干涉量。

當(dāng)χ<χec時，微凸體為彈性變形，χec<χ<χpc時微凸體為彈塑性變形，χ>χpc時微凸體為完全塑性變形。隨著接觸載荷和接觸面積的增加，微凸體的變形模式從彈性向彈塑性轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到完全塑性變形。這與經(jīng)典接觸力學(xué)一致，而與MB模型相反。值得注意的是，對于本章所研究的表面，已知的截?cái)嚅L度的分布，而不是接觸長度的分布，而在確定的尺度內(nèi)截?cái)嚅L度與干涉量是一一對應(yīng)的。

(8)

式中， δ——微凸體的干涉量；

lt——微凸體的截?cái)嚅L度；

lt——微凸體的截?cái)嚅L度。

彈性變形時，圓柱形微凸體的接觸載荷和接觸面積與干涉量的關(guān)系可赫茲理論得到。塑性變形時微凸體的接觸載荷和接觸面積與干涉量和截?cái)嗝娣e的關(guān)系可以由AF模型給出。彈塑性變形時微凸體的接觸載荷和接觸面積與截?cái)嚅L度的關(guān)系可以由文獻(xiàn)[9]中的有限元計(jì)算結(jié)果給出。這里簡記為：

(9)

(10)

2.2 接觸面積和接觸載荷

假設(shè)尺度指數(shù)n的取值范圍為nmin(對應(yīng)最大微凸體)到nmax(對應(yīng)最小微凸體)。nmax取決于表面輪廓線測量的分辨率， nmin和被測表面的取樣長度以及表面所受的載荷有關(guān)。

在任意尺度內(nèi)，微凸體干涉量的變化范圍為:

δminn<δ<δmaxn

(11)

(12)

(13)

由于在任意尺度內(nèi)，微凸體的變形模式都是從彈性向塑形過渡的。因此任意尺度內(nèi)微凸體變形模式取決于δminn、δmaxn與δecn、δpcn的大小關(guān)系。如圖4所示，有6種情況。

圖4 微凸體的變形模式

①尺度內(nèi)微凸體全部發(fā)生彈性變形，該尺度中總的接觸載荷和接觸長度可以通過對該尺度內(nèi)所有的微凸體的彈性接觸載荷和接觸面積積分得到，其中單個微凸體的接觸載荷和接觸面積可以由公式(9)和(10)得到。因此，變形模式屬于情況Ⅰ的尺度內(nèi)的總的接觸載荷和接觸面積為：

(14)

(15)

式中， Fen——尺度n內(nèi)，發(fā)生彈性接觸的微凸體的總的接觸載荷；

Λen——尺度n內(nèi)，發(fā)生彈性接觸的微凸體的總的接觸長度；

ltminn——尺度n內(nèi)最小接觸點(diǎn)的截?cái)嚅L度，ltminn=ln；

ltmaxn——尺度n內(nèi)最小接觸點(diǎn)的截?cái)嚅L度，ltminn=ln+1；

②微凸體全部發(fā)生塑性變形，該尺度中總的接觸載荷和接觸長度可以通過對該尺度內(nèi)所有微凸體的塑性接觸載荷和接觸面積積分得到，其中單個微凸體的接觸載荷和接觸面積可以由公式(9)和(10)得到。因此，變形模式屬于情況Ⅰ的尺度內(nèi)的總的接觸載荷和接觸面積為：

(16)

(17)

式中， Fpn——尺度n內(nèi)，發(fā)生塑性接觸的微凸體的總的接觸載荷；

Λpn——尺度n內(nèi)，發(fā)生塑性接觸的微凸體的總的接觸長度。

③微凸體的變形模式有三種，干涉量δminn<δ<δecn(截?cái)嚅L度ltminn

(18)

(19)

式中， Fepn——尺度n內(nèi)，發(fā)生彈塑性接觸的微凸體的總的接觸載荷；

Λepn——尺度n內(nèi)，發(fā)生彈塑性接觸的微凸體的總的接觸長度；

④微凸體的變形模式有兩種：干涉量δminn<δ<δpcn(截?cái)嚅L度ltminn

(20)

(21)

⑤微凸體變形模式有兩種：干涉量δminn<δ<δpcn(截?cái)嚅L度ltminn

(22)

(23)

⑥微凸體全部發(fā)生彈塑性變形，該尺度中總的接觸載荷和接觸長度可以通過對該尺度內(nèi)所有微凸體的彈塑性接觸載荷和接觸面積積分得到；

(24)

(25)

結(jié)合面的總的接觸載荷和接觸面積通過對所有尺度內(nèi)的接觸面積和接觸長度求和得到：

(26)

(27)

式中，F(xiàn)——結(jié)合面總的接觸載荷

Λ——結(jié)合面總的接觸長度。

這樣，我們就建立了磨削表面接觸載荷和接觸面積與干涉量之間的關(guān)系。這里計(jì)算的接觸載荷和接觸長度指的是結(jié)合面的寬度為單位長度時的值。結(jié)合面總接觸載荷和接觸面積只需將上述的接觸載荷和接觸長度乘以結(jié)合面的寬度即可。

3 數(shù)值仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

研究兩個45號鋼磨削導(dǎo)軌表面接觸時的特性，將兩個表面的接觸等效為一個彈塑性粗糙面與一個剛性平表面的接觸。等效后的材料參數(shù)如表2所示。在本文中導(dǎo)軌實(shí)驗(yàn)塊表面的取樣長度為2.5mm，分辨率為5×10-4mm，微凸體可能的尺度范圍為-3≤n≤18。

表2 仿真參數(shù)

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證采用如圖5所示的微機(jī)控制電子萬能試驗(yàn)機(jī)和Microtrak 3型激光位移傳感器對磨削導(dǎo)軌試驗(yàn)塊的干涉量和接觸載荷進(jìn)行測量，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖6所示。

圖5 試驗(yàn)儀器

圖6 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

圖7是數(shù)值仿真得到的接觸面積和干涉量的關(guān)系曲線，隨著干涉量的增加，接觸面積非線性增加，且增加的速度越來越快。圖8是數(shù)值仿真得到的接觸載荷和接觸面積的關(guān)系曲線，由圖中可以看出，接觸載荷和接觸面積呈近似的線性關(guān)系，這一結(jié)論和傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型以及各向同性表面的分形接觸模型是類似的。

圖9是試驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型仿真數(shù)據(jù)的比較(接觸載荷和干涉量的曲線)，接觸載荷隨著干涉量的增加而迅速增加，曲線的斜率越來越大，即隨著干涉量的增加，表面的剛度越來越大，這與我們工程實(shí)踐中得到的經(jīng)驗(yàn)是相符的。由圖中可以看出，數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)趨勢基本相同的，在確定的載荷下，實(shí)驗(yàn)所測量的干涉量略大于數(shù)值計(jì)算所得的值，這意味著實(shí)際測量到的表面的剛度要比模型預(yù)測略小。產(chǎn)生這一原因的可能性很多，可能是由于干涉量的值很小，測量中不可避免的存在誤差；模型對表面進(jìn)行了一些等效和近似也不可避免的引入一些誤差，此外實(shí)際的表面還存在一些缺陷(碰撞產(chǎn)生的凹點(diǎn)等)。值得注意的是，本文所研究是比較理想化的導(dǎo)軌表面，比如忽略了導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)和加工所帶來的宏觀尺寸誤差以及導(dǎo)軌的磨損、冷作硬化、潤滑等因素。

圖7 接觸載荷和干涉量的關(guān)系曲線

圖8 加載時接觸載荷和接觸面積的關(guān)系曲線

圖9 接觸載荷和干涉量的關(guān)系曲線

4 結(jié)論

(1)測量了磨削導(dǎo)軌表面的微觀形貌，驗(yàn)證了磨削表面的分形特性，提取了表面的分形特性；根據(jù)測量磨削導(dǎo)軌微觀形貌數(shù)據(jù)，提取了表面微凸體的離散分布函數(shù)。

(2)基于分形理論、ME模型以及圓柱微凸體接觸模型，建立磨削導(dǎo)軌表面的分形接觸模型；模型中，隨著接觸載荷和接觸面積的增加，微凸體的變形模式從彈性向彈塑性轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到完全塑性變形，克服了MB模型中微凸體變形模式與統(tǒng)計(jì)模型及實(shí)驗(yàn)不符的缺陷；

(3)接觸載荷和接觸面積呈近似的線性關(guān)系，這一結(jié)論和傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型以及各向同性表面的分形接觸模型是相同的。接觸載荷隨著干涉的增加而快速增加，即表面的剛度隨著干涉量的增加而增加。

(4)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值仿真結(jié)果趨勢基本是一致的，在確定的載荷下，實(shí)驗(yàn)所測量的干涉量略大于數(shù)值計(jì)算所得的值，在干涉量較小時誤差較大。

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(編輯 李秀敏)

Fractal Contact Model of Ground Guide Surface

MIAO Xiao-mei1, HUANG Xiao-diao2

(1.College of Mechanical Technology,Wuxi Institute of Technology,Wuxi Jiangsu 214000,China;2.School of Mechanical and Power Engineering,Nanjing University of Technology,Nanjing 210009,China)

Guide is one of the most important interface of the machine tools. The contact characteristic of guide has extremely important influence on the performance of the machine tool.The surface morphology of grinding guide is obviously anisotropic. The contact characteristics of guide can not be forecast through the existing fractal theory. Based on surface topography measurement of grinding guide , the fractal parameters and distribution of asperities were identified. Based on the fractal theory, modified fractal model of asperities and contact mode of cylinder, the fractal contact mode of grinding surface was established and a numerical simulation is conducted. At last, experimental validation of the model is undergone. The model overcame the shortcomings of the MB, namely the unpractical contact mode transition and the non-applicability at special condition of anisotropic surface. The results revealed that the contact area depended linearly on the contact load and that the contact stiffness increased with increasing contact load.

ground guide;fractal contact model;anisotropy

1001-2265(2016)11-0041-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.11.012

2015-12-04；

2016-02-24

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175242)；江蘇省品牌專業(yè)建設(shè)工程資助項(xiàng)目(PPZY2015A086)

繆小梅(1986—)，女，江蘇泰州人，無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，工學(xué)博士，研究方向?yàn)榻Y(jié)合面的接觸特性及精度衰減研究，(E-mail)18101517860@163.com;黃筱調(diào)(1952—)，男，安徽安慶人，南京工業(yè)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楣I(yè)裝備數(shù)字化制造及控制技術(shù)，(E-mail)njgdhxd@189.com。

TH113.1；TG506

A