小失效概率情況下的全局可靠性靈敏度分析的高效方法

柳詩(shī)雨，呂震宙＊，員婉瑩，肖思男

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

小失效概率情況下的全局可靠性靈敏度分析的高效方法

柳詩(shī)雨，呂震宙＊，員婉瑩，肖思男

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

針對(duì)目前很多算法都無(wú)法準(zhǔn)確、高效地計(jì)算小失效概率（10－4，甚至更?。┣闆r下的全局可靠性靈敏度問(wèn)題，本文提出了一種高效求解小失效概率情況下的全局可靠性靈敏度新算法。所提算法通過(guò)擴(kuò)大標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)造重要抽樣密度函數(shù)來(lái)進(jìn)行空間分割（SP），再與無(wú)跡變換（UT）結(jié)合，利用函數(shù)在分割后的子空間內(nèi)非線性程度的降低和無(wú)跡變換方法可以高效計(jì)算低非線性程度函數(shù)的前二階矩，來(lái)高效準(zhǔn)確地計(jì)算小失效概率情況下的全局可靠性靈敏度。所提算法的優(yōu)點(diǎn)有：重要抽樣密度函數(shù)的選擇可以使得空間分割時(shí)向重要區(qū)域偏移，并且在分割區(qū)域內(nèi)功能函數(shù)的復(fù)雜性被降低，從而可以利用無(wú)跡變換方法高效計(jì)算失效概率，進(jìn)而高效求得全局可靠性靈敏度。與已有的算法相比，算例說(shuō)明了本文所提方法的優(yōu)勢(shì)。

小失效概率；全局可靠性靈敏度；重要抽樣；空間分割；無(wú)跡變換

全局可靠性靈敏度分析是可靠性設(shè)計(jì)中非常重要的一項(xiàng)工作，它可以衡量輸入變量不確定性對(duì)失效概率的貢獻(xiàn)程度［1］，因而近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外越來(lái)越多的學(xué)者將精力投入到全局可靠性靈敏度分析的研究中。Cui等［2－3］定義了全局可靠性靈敏度指標(biāo)，分別用概率密度演化和態(tài)相關(guān)參數(shù)（SDP）方法來(lái)求解。在文獻(xiàn)［4］中，Wei等先采用Saltelli等提出的單層蒙特卡羅（MC）法［5－6］計(jì)算全局可靠性靈敏度，對(duì)于失效概率較大（10－2～10－1）的問(wèn)題，單層MC法效率和精度均比較高；但對(duì)于小失效概率問(wèn)題，為獲得較高的精度，就必須抽取大量的樣本以保證有足夠的樣本落入失效域中，因此效率較低。針對(duì)此問(wèn)題，Wei等［4］又提出了采用單層重要抽樣（Importance Sampling，IS）法［7－9］和截?cái)嘀匾闃樱═runcated Importance Sampling，TIS）法［10］來(lái)提高抽樣的效率，其基本思想是通過(guò)改變抽樣概率密度函數(shù)，將抽樣中心轉(zhuǎn)移到設(shè)計(jì)點(diǎn)處，使得更多樣本點(diǎn)落入失效域從而加速收斂速度［11］，取得了一定的效果，但是重要抽樣密度函數(shù)的確定依賴于設(shè)計(jì)點(diǎn)的求解，而求解設(shè)計(jì)點(diǎn)對(duì)于隱式功能函數(shù)來(lái)說(shuō)較為困難。任博等［12］在IS法基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)估計(jì)量與IS法相結(jié)合的方法求解全局可靠性靈敏度指標(biāo)。以上大多數(shù)方法都是基于數(shù)字模擬方法，對(duì)失效概率較?。?0－4，甚至更小）的這類問(wèn)題，仍需要隨機(jī)抽取大量樣本點(diǎn)才能使結(jié)果收斂，效率較低。

文獻(xiàn)［13］中提出了空間劃分的思想求解基于方差的全局可靠性靈敏度指標(biāo)，該方法可以最大程度利用數(shù)字模擬樣本點(diǎn)從而減少計(jì)算量。受此文思想的啟發(fā)，本文提出空間分割（Space－Partition，SP）的數(shù)值積分法，該方法首先通過(guò)擴(kuò)大的輸入變量的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)構(gòu)造重要抽樣密度函數(shù)，以此重要抽樣密度函數(shù)來(lái)劃分空間，從而使得劃分空間向重要的失效域偏移，然后再在每個(gè)子空間中應(yīng)用低階無(wú)跡變換（Unscented Transformation，UT）來(lái)求解全局可靠性靈敏度指標(biāo)。與數(shù)字模擬方法相比，所提方法計(jì)算量不受失效概率大小影響，在保證計(jì)算結(jié)果同等精度條件下，對(duì)小失效概率（10－4，甚至更?。┑哪Ｐ停岱椒ǖ挠?jì)算效率大幅提升，本文最后采用數(shù)值算例及工程算例驗(yàn)證了所提方法的合理性和高效性。

1 全局可靠性靈敏度的定義

對(duì)于結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)Y＝g（X），X＝［X1X2… Xn］為n維輸入隨機(jī)變量，且Y＞0時(shí)結(jié)構(gòu)安全，Y＜0時(shí)結(jié)構(gòu)失效，此時(shí)輸入變量Xi的全局可靠性靈敏度可定義為［6］

式中：EXi（·）為Xi的期望算子；PfY為結(jié)構(gòu)的無(wú)條件失效概率；PfY｜X為當(dāng)變量Xi取其實(shí)現(xiàn)值時(shí)

iY的條件失效概率；Si為單個(gè)輸入變量Xi的不確定性對(duì)失效概率PfY的貢獻(xiàn)。因此若Si越大，表示Xi的不確定性對(duì)PfY的貢獻(xiàn)越大。在工程實(shí)際中，可以通過(guò)減少Si比較大的變量Xi的不確定性減小失效概率PfY。

2 全局可靠性靈敏度的求解

2．1 全局可靠性靈敏度求解的矩方法分析與本方文法的思路

由式（1）可知，為計(jì)算全局可靠性靈敏度指標(biāo)Si需計(jì)算無(wú)條件的失效概率PfY和條件失效概率平方的期望EXi（），EXi（）的求解包含內(nèi)層條件失效概率和外層期望的求解。和可以由式（2）和式（3）中所示的無(wú)條件指示函數(shù)IF（Y）和條件指示函數(shù)IF（Y ｜Xi）的期望求得。

式中：fX（x）為Xi的聯(lián)合概率密度函數(shù)；fX～i｜Xi（x～i）為給定Xi條件下除Xi以外的剩余輸入變量X～i的聯(lián)合概率密度函數(shù)；E（·）為期望算子；且

以往采用矩方法（數(shù)值積分法的一種）來(lái)求解失效概率都是先求極限狀態(tài)函數(shù)Y＝g（X）的各階矩，然后再由g（X）的各階矩來(lái)逼近g（X）的概率密度進(jìn)而求得失效概率［14－16］，以往矩方法不直接采用特征點(diǎn)和權(quán)函數(shù)來(lái)求E （IF）的原因是指示函數(shù)IF（Y）在整個(gè)變量空間中的性態(tài)比較復(fù)雜，很難采用特征點(diǎn)和權(quán)函數(shù)來(lái)捕捉IF（Y）的足夠信息以求得E （IF）。為了避免以往方法多次近似產(chǎn)生的多重誤差，本文采用空間分割的方法，由于局部區(qū)域IF（Y）的函數(shù)復(fù)雜性程度往往遠(yuǎn)低于全域函數(shù)的復(fù)雜程度，這將使得在局部子空間中可以采用特征點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)函數(shù)高精度求得E （IF）。相比于目前很多先求極限狀態(tài)函數(shù)的各階矩然后再逼近失效概率的方法，本文直接采用特征點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)函數(shù)求解E （IF）的方法的誤差來(lái)源要少得多。

2．2 失效概率PfY的計(jì)算

本文求解PfY的方法包括兩部分：其一是利用積分空間的可加性將求解PfY的整個(gè)變量空間積分等價(jià)變換成子空間積分的和，由于子空間中被積函數(shù)IF（Y）的復(fù)雜性遠(yuǎn)低于整個(gè)空間的復(fù)雜性，從而可以利用特征點(diǎn)和權(quán)函數(shù)來(lái)求得子空間中的積分；其二是劃分子空間時(shí)構(gòu)造了重要抽樣密度函數(shù)，按照重要抽樣密度進(jìn)行子空間的劃分可以使得劃分的子空間向?qū)fY貢獻(xiàn)較大的區(qū)域移動(dòng)，從而提高算法的效率精度。

2．2．1 重要抽樣密度函數(shù)的構(gòu)造

對(duì)于工程中常見(jiàn)的小失效概率問(wèn)題，常用到數(shù)字模擬法中的IS法，該方法的基本思想就是引入重要抽樣密度函數(shù)hX（x）代替原來(lái)的抽樣密度函數(shù)fX（x），從而使得對(duì)失效概率貢獻(xiàn)大的樣本點(diǎn)能以較大的概率出現(xiàn)，進(jìn)而減小數(shù)字模擬法的估計(jì)方差。

本文借鑒IS法來(lái)劃分子空間，其基本思想是使得對(duì)失效概率貢獻(xiàn)大的區(qū)域能夠有更多的子空間，從而提高算法的精度和效率。構(gòu)造重要抽樣密度函數(shù)的方法有很多，選擇其中較為容易實(shí)現(xiàn)的一種，該方法只需將原來(lái)抽樣密度函數(shù)fX（x）變量的標(biāo)準(zhǔn)差σf擴(kuò)大r倍，就可構(gòu)成重要抽樣密度函數(shù)hX（x），即hX（x ，σn）＝fX（x ，rσf），然后按hX（x）進(jìn)行等概率子空間的劃分，并由下述過(guò)程實(shí)現(xiàn)PfY的求解。

2．2．2 基于SP的PfY的計(jì)算

按照上述方法構(gòu)造的hX（x）對(duì)每一維輸入變量進(jìn)行區(qū)間劃分，設(shè)Xi（i＝1，2，…，n）被劃分為Ni個(gè)子區(qū)間Aki＝（aki－1，aki）（ki＝1，2，…，Ni；i＝1，2，…，n），則在此劃分下，失效概率PfY的計(jì)算公式為

因此，式（6）可改寫為

因此，式（8）又等價(jià)為

值W（j）X及相應(yīng)的n維Sigma點(diǎn)x（j）（j＝0，1，…，2n）：

與以前采用特征點(diǎn)及權(quán)函數(shù)直接求解Y＝g（X）的各階矩然后由Y的各階矩逼近Y的密度函數(shù)進(jìn)而再近似求得失效概率的算法相比，本文方法的誤差來(lái)源少，只是在子空間做積分時(shí)產(chǎn)生誤差，但由于子空間中函數(shù)的非線性程度較低，因而可以得到較高的近似精度。

2．3 條件失效概率PfY｜X及EXi的計(jì)算i

斯積分點(diǎn)及對(duì)應(yīng)權(quán)重系數(shù)可查閱文獻(xiàn)［19］。

2．4 全局可靠性靈敏度求解的計(jì)算流程

綜上，本文計(jì)算全局可靠性靈敏度指標(biāo)Si的計(jì)算流程簡(jiǎn)要總結(jié)如下：

步驟1 通過(guò)擴(kuò)大輸入變量X的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)構(gòu)造重要密度函數(shù)hX（x），隨后根據(jù)此密度函數(shù)hX（x）將整個(gè)積分空間等概率地劃分為（i＝1，2，…，n）個(gè)子空間，在每個(gè)子空間內(nèi)應(yīng)用UT求解失效概率PfY。

步驟2 根據(jù)一維輸入變量Xi的重要抽樣密度函數(shù)hXi（xi）產(chǎn)生M 個(gè)高斯點(diǎn)（xi1，xi2，…，xiM）及其相應(yīng)的權(quán)重（wi1，wi2，…，wiM）。

步驟3 固定變量Xi于xil（l＝1，2，…，M）處，除Xi外變量X～i根據(jù)其重要抽樣密度hX～i（x～i）將 整 個(gè) 積 分 空 間 等 概 率 地 劃 分 為（j＝1，2，…，i－1，i＋1，…，n）個(gè)子空間，在每個(gè)子空間內(nèi)應(yīng)用UT求解條件失效概率

步驟4 將步驟3重復(fù)M次，得到變量Xi固定于高斯點(diǎn)（xi1，xi2…，xiM）處的條件失效概率的（l＝1，2，…，M），對(duì)上 述（l＝1，2，…，M）進(jìn)行期望求解。

步驟5 將步驟1得到的PfY和步驟4得到的EXi（）代入式（1）即可計(jì)算得到基本輸入變量Xi的全局可靠性靈敏度指標(biāo)Si。

2．5 計(jì)算量的討論

將每一維變量空間分別劃分Ni個(gè)子區(qū)間，Ni個(gè)子空間。在每個(gè)子空間內(nèi)應(yīng)用UT，需產(chǎn)生2n＋1個(gè)Sigma點(diǎn)，由于選擇標(biāo)準(zhǔn) UT，即W0＝0，因此舍去第一個(gè)Sigma點(diǎn)，即：在每個(gè)子空間中僅需要調(diào)用模型2n次。因此，計(jì)算PfY的計(jì)算量為整個(gè)積分空間被劃分為，計(jì)算）時(shí)，外層采用M個(gè)高斯點(diǎn)，內(nèi)層采用SP－UT法的計(jì)算量為，總計(jì)算量為，于是計(jì)算Si的總計(jì)算量為

綜上所述，對(duì)于低維小失效概率（10－4或更?。┣闆r下的全局可靠性靈敏度的求解，為獲得較高的精度，MC法或IS法等數(shù)字模擬方法必須抽取大量的樣本以保證有足夠的樣本落入失效域中，因此效率較低。而本文所提方法的計(jì)算量受失效概率的大小影響很小，主要與函數(shù)的非線性程度和輸入變量的維度有關(guān)，因此計(jì)算效率較高，在小失效概率（10－4或更?。┑娜挚煽啃造`敏度的計(jì)算上有明顯優(yōu)勢(shì)。

3 算例

采用一個(gè)數(shù)值算例和兩個(gè)工程算例來(lái)說(shuō)明本文所提方法（Proposed）在計(jì)算小失效概率（10－5～10－3）問(wèn)題上的合理性和高效性。在對(duì)比結(jié)果中，使用MC法在大樣本抽樣（9×106）情況下的結(jié)果作為近似精確解，以說(shuō)明所提算法的精度。另外，引入文獻(xiàn)［4］提出的IS法進(jìn)行比較，以說(shuō)明所提算法的高效性。本文采用9點(diǎn)高斯積分。N用來(lái)表示每種方法的模型計(jì)算量。

3．1 數(shù)值算例

圖1給出了在空間分割情況一致的條件下，本文所提直接利用特征值和權(quán)函數(shù)求E （IF）和通過(guò)求 g（x）的四階矩 （Fourth－Order Moment，F(xiàn)OM）來(lái)逼近E （IF）這兩種求解失效概率PfY的方法隨模型調(diào)用次數(shù)的變化規(guī)律對(duì)照?qǐng)D。從圖1中可以看出，與直接計(jì)算指示函數(shù)的均值的方法相比，通過(guò)計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)g（x）的四階矩來(lái)逼近得到的失效概率與精確解相差很大，且收斂速度很慢，從這個(gè)意義上講，本文所提出的通過(guò)空間分割直接復(fù)雜函數(shù)IF（x）的均值的方法大大提高了失效概率的計(jì)算效率和精度。

圖1 本文所提方法和四階矩（FOM）方法求解失效概率PfY的收斂趨勢(shì)圖Fig．1 Schematic comparison of convergence rates of failure probability PfYcalculated by proposed and fourth－order moment（FOM）methods

圖2和圖3分別給出了不同標(biāo)準(zhǔn)差擴(kuò)大倍數(shù)r的情況下，失效概率PfY和全局可靠性靈敏度指標(biāo)S1隨著空間分割數(shù)目r的增加而變化的曲線。從圖2可以明顯看出，當(dāng)采用原概率密度函數(shù)（r＝1）時(shí)，失效概率始終為0，即無(wú)失效情況出現(xiàn)，而通過(guò)重要抽樣密度函數(shù)（r＝2～5）來(lái)劃分空間，每一維空間劃分?jǐn)?shù)目從5個(gè)開(kāi)始即可出現(xiàn)失效。從兩張圖中都可以看出，當(dāng)r取2～5時(shí)，隨著空間分割數(shù)的增多，所提方法都能較快較好地收斂到其精確解。從這個(gè)意義講，通過(guò)擴(kuò)大標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)造重要抽樣函數(shù)使得按重要抽樣密度函數(shù)抽取的樣本點(diǎn)有更大的概率落入失效域，從而減小估計(jì)值的方差，提高了計(jì)算精度和速度。

雖然從理論上講，擴(kuò)大系數(shù)取大于1的值就可以提高數(shù)字模擬法的效率，但是研究表明，如果r值取得過(guò)大，就會(huì)使得過(guò)多的樣本點(diǎn)又落入了對(duì)失效概率貢獻(xiàn)不大的失效域，這也不利于計(jì)算效率的提高［20－21］。然而最優(yōu)的放大系數(shù)的搜索涉及額外的優(yōu)化計(jì)算，并且這種尋優(yōu)過(guò)程所耗費(fèi)的計(jì)算量有可能較大。因此如何合理地確定標(biāo)準(zhǔn)差放大系數(shù)，還有必要做進(jìn)一步的理論和數(shù)值研究。本文算例中均采用r＝2，建議標(biāo)準(zhǔn)差擴(kuò)大倍數(shù)r取2～5。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)差放大系數(shù)r對(duì)失效概率PfY估計(jì)值的影響Fig．2 Influence of amplification ratios of standarddeviation r on failure probability PfY

圖3 標(biāo)準(zhǔn)差放大系數(shù)r對(duì)全局可靠性靈敏度指標(biāo)S1的影響Fig．3 Influence of amplification ratios of standard deviation r on global reliability sensitivity indices S1

表1給出了采用三種方法求解算例1的全局可靠性靈敏度指標(biāo)的結(jié)果。從表1的結(jié)果可以直觀地看出，本文所提方法計(jì)算得到的全局可靠性靈敏度指標(biāo)Si的值與文獻(xiàn)［4］的IS法及精確解MC法的計(jì)算結(jié)果相吻合，從而說(shuō)明了本文方法的正確性。而在計(jì)算量上，本文所提方法優(yōu)越很多，只需要調(diào)用功能函數(shù)1 170次，而MC法計(jì)算量非常龐大，為4．5×107。IS法較MC法效率提高很多，但仍然需要2×104次的模型計(jì)算量。為了進(jìn)一步說(shuō)明本文所提方法的高效性，圖4給出了本文所提方法和IS法計(jì)算S1指標(biāo)的收斂趨勢(shì)圖，從圖4中可以看出，本文所提方法計(jì)算S1指標(biāo)的收斂速度比IS法快得多。

表1 算例1全局可靠性靈敏度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果Table 1 Estimates for global reliability sensitivity indices of Example 1

圖4 本文所提方法和IS法計(jì)算算例1的全局可靠性靈敏度指標(biāo)S1收斂趨勢(shì)圖Fig．4 Schematic comparison of convergence rates of global reliability sensitivity indices S1calculated by proposed and IS methods in Example 1

3．2 工程算例

算例2 如圖5所示一矩形截面懸臂梁受到均布載荷，以其自由端撓度不超過(guò)L／325為約束建立極限狀態(tài)函數(shù)為g（ω，b）＝L／325－ωbL4／8EI式中：ω、b、L、E、I分別為單位載荷、截面尺寸、梁的長(zhǎng)度、彈性模量和截面慣性矩，其中L和E為已知常量，L＝6m，E＝26GPa，I＝b4／12，將極限狀態(tài)函數(shù)簡(jiǎn)化為g（ω，b）＝0．018 461 54－74．769 12ω／b3其中：ω～N（1 000，1002），b～N（250，252）。

本工程算例分析了輸入變量對(duì)矩形截面懸臂梁模型失效概率影響的全局可靠性靈敏度指標(biāo)Si。從表2的結(jié)果可以直觀地看出，在計(jì)算工程算例中，本文所提方法計(jì)算精度與MC法和IS法一致，而在計(jì)算量上，則遠(yuǎn)優(yōu)于MC法和IS法，這也證明了本文所提方法同樣適用于工程算例。

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文所提方法的高效性，圖6給出了IS法和本文所提方法計(jì)算S2指標(biāo)的收斂趨勢(shì)圖，從圖中可以看出，本文所提方法計(jì)算S2指標(biāo)的收斂速度比IS法快得多。

圖5 矩形截面懸臂梁Fig．5 Rectangular－section cantilever beam

表2 算例2全局可靠性靈敏度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果Table 2 Estimates for global reliability sensitivity indices of Example 2

圖6 本文所提方法和IS法計(jì)算算例2的全局可靠性靈敏度指標(biāo)S2收斂趨勢(shì)圖Fig．6 Schematic comparison of convergence rates of global reliability sensitivity indices S2calculated by proposed and IS methods in Example 2

3．3 隱式算例

算例3 如圖7所示的十桿結(jié)構(gòu)，其中水平桿和豎直桿的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)；每根桿的截面積為Ai＝0．001（i＝1，2…，10）；彈性模量為E；P1、P2和P3為作用在圖上所示位置的外載荷，P2＝P3＝100kN。設(shè)L、E和P1服從正態(tài)分布，其均值為L(zhǎng)＝1m，E＝100GPa，P1＝800kN，變異系數(shù)均為0．05。當(dāng)2節(jié)點(diǎn)縱向位移超過(guò)0．04m時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效，因此極限狀態(tài)函數(shù)為

由MC法求得該結(jié)構(gòu)失效概率為4．6×10－5，屬于小失效概率情況。下面采用本文所提方法、IS法和MC法計(jì)算各變量的全局可靠性靈敏度指標(biāo)，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。從圖8的全局可靠性靈敏度指標(biāo)對(duì)比結(jié)果可以看出，對(duì)于工程中的隱式非線性功能函數(shù)情況，文獻(xiàn)［6］所提的IS法的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)了明顯的偏差，原因可能是重要抽樣密度函數(shù)的確定依賴于設(shè)計(jì)點(diǎn)的求解，而求解設(shè)計(jì)點(diǎn)對(duì)于隱式功能函數(shù)來(lái)說(shuō)較為困難。而本文所提方法的結(jié)果與MC法基本一致，證明本文所提方法在計(jì)算工程中的隱式非線性功能函數(shù)的全局可靠性靈敏度指標(biāo)上仍然保證很好的計(jì)算精度。

圖7 平面十桿桁架結(jié)構(gòu)Fig．7 Planer 10－bar structure

圖8 算例3全局可靠性靈敏度指標(biāo)計(jì)算結(jié)果Fig．8 Estimates for global reliability sensitivity indices of Example 3

4 結(jié) 論

1）將空間分割（SP）和無(wú)跡變換（UT）方法結(jié)合，提出了高效計(jì)算全局可靠性靈敏度指標(biāo)的方法。該方法計(jì)算量受失效概率的大小影響很小，而與輸入變量的維度和函數(shù)的非線性程度相關(guān)，因此在計(jì)算小失效概率（10－5～10－3）情況下的全局可靠性靈敏度指標(biāo)上，特別是在輸入變量維度較低時(shí)很有優(yōu)勢(shì)。

2）數(shù)值算例和工程算例都表明，與IS法相比，該方法不僅在求解全局可靠性靈敏度指標(biāo)時(shí)具有更高的收斂速度，而且還適用于工程中的隱式非線性功能函數(shù)情況。

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Efficient method for global reliability sensitivity analysis with small failure probability

LIU Shiyu，LYU Zhenzhou＊，YUN Wanying，XIAO Sinan
School of Aeronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China

At present，there are many methods for the estimation of global reliability sensitivity．However，these methods cannot efficiently and accurately estimate the global reliability probability in case of small failure probability（10－4or smaller）．In this work，a highly efficient method to compute the global reliability sensitivity is proposed for the small failure probability．The proposed method combines the space－partition（SP）with unscented transformation（UT）which can obtain the first two moments of lowly nonlinear response function．The importance sampling density function，which is constructed by increasing the standard deviation，is employed to partition the input space into a series of subspaces，and thus the subspaces partitioned by the constructed importance sampling density function can move to the important area for the failure probability．Because the complexity of response function is reduced in the partitioned subspace，in which UT can estimate effectively the failure probability，the proposed method can estimate the global reliability sensitivity indices efficiently．All the above contribute to the efficiency and accuracy of the proposed method to compute the global reliability sensitivity．In this paper，the proposed method is compared with the existing methods and examples，and it is shown that the proposed method outperforms the others．

small failure probability；global reliability sensitivity；importance sampling；space－partition；unscented transformation

2015－09－16；Revised：2015－11－22；Accepted：2016－01－25；Published online：2016－03－09 14：47

URL：www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160309．1447．006．html

s：National Natural Science Foundation of China（51475370）；the Fundamental Research Funds for the Central Universities（3102015BJ（II）CG009）

V19；TB114．3

A

1000－6893（2016）09－2766－09

10．7527／S1000－6893．2016．0029

2015－09－16；退修日期：2015－11－22；錄用日期：2016－01－25；網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016－03－09 14：47

www．cnki．net／kcms／detail／11．1929．V．20160309．1447．006．html

國(guó)家自然科學(xué)基金（51475370）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（3102015BJ（II）CG009）

＊通訊作者．Tel．：029－88460480 E－mail：zhenzhoulu＠nwpu．edu．cn

柳詩(shī)雨，呂震宙，員婉瑩，等．小失效概率情況下的全局可靠性靈敏度分析的高效方法［J］．航空學(xué)報(bào)，2016，37（9）：2766－2774．LIU S Y，LYU Z Z，YUN W Y，et al．Efficient method for global reliability sensitivity analysis with small failure probability［J］．Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2016，37（9）：27662－774．

柳詩(shī)雨 女，碩士研究生。主要研究方向：飛行器設(shè)計(jì)及可靠性工程。

Tel．：029－88460480

E－mail：shiyu＿liu22＠163．com

呂震宙 女，博士，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：飛行器設(shè)計(jì)及可靠性工程。

Tel．：029－88460480

E－mail：zhenzhoulu＠nwpu．edu．cn

員婉瑩 女，博士研究生。主要研究方向：飛行器設(shè)計(jì)及可靠性工程。

Tel．：029－88460480

E－mail：wanying＿yun＠163．com

肖思男 男，博士研究生。主要研究方向：飛行器設(shè)計(jì)及可靠性工程。

Tel．：029－88460480

E－mail：bruce1209＠163．com

＊Corresponding author．Tel．：029－88460480 E－mail：zhenzhoulu＠nwpu．edu．cn