數(shù)值模擬在食品凍結(jié)過程中的應(yīng)用

王金鋒 李文俊 謝 晶

(1.上海水產(chǎn)品加工及貯藏工程技術(shù)研究中心，上海 201306；2. 上海海洋大學(xué)食品學(xué)院，上海 201306)

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數(shù)值模擬在食品凍結(jié)過程中的應(yīng)用

王金鋒1,2李文俊1,2謝 晶1,2

(1.上海水產(chǎn)品加工及貯藏工程技術(shù)研究中心，上海 201306；2. 上海海洋大學(xué)食品學(xué)院，上海 201306)

文章主要通過綜述凍結(jié)過程的數(shù)值模型、求解微分方程、預(yù)測凍結(jié)時間及分析送風速度、溫度和送風方式等，討論數(shù)值模擬技術(shù)在食品凍結(jié)過程中的應(yīng)用現(xiàn)狀；總結(jié)了國內(nèi)外研究者針對不同凍結(jié)對象所采用的數(shù)值模擬方法，為今后數(shù)值模擬方法在食品傳熱過程中進一步發(fā)揮作用提供理論參考。

凍結(jié)過程；速凍食品；數(shù)值模擬；食品冷加工

隨著速凍產(chǎn)業(yè)在中國的飛速發(fā)展，中國自主研發(fā)并生產(chǎn)的速凍設(shè)備和食品加工技術(shù)已有了明顯提高，但與發(fā)達國家相比，還存在一定的差距。

食品的凍結(jié)速度直接決定了速凍食品的質(zhì)量，因此，采用科學(xué)的研究方法對凍結(jié)過程中食品溫度的變化進行準確預(yù)測，可以有效地預(yù)測凍結(jié)時間，并且對指導(dǎo)速凍設(shè)備優(yōu)化設(shè)計、提高設(shè)備能效、降低人員消耗具有重要意義。然而，大多數(shù)食品存在非均勻的物性參數(shù)，以及凍結(jié)過程存在相變導(dǎo)致食品凍結(jié)過程是一個嚴格非線性變化過程，因此很難找到一個普遍適用的方法對凍結(jié)過程進行描述[1]。

通常預(yù)測模型采用：理論求解、經(jīng)驗公式和數(shù)值求解三種方法[2]。其中理論求解和經(jīng)驗公式法通常只用于求解簡單的研究對象，對復(fù)雜的研究對象和流場環(huán)境，前兩種方法并不能進行有效地描述。比較前兩種求解方法，數(shù)值求解能夠結(jié)合食品的熱物性及流場環(huán)境進行分析求解，且不受模擬對象的限制，尤其在模擬復(fù)雜的流場環(huán)境時優(yōu)勢更為突出。本文主要綜述了數(shù)值模擬技術(shù)在食品凍結(jié)過程中的實施方法及其應(yīng)用情況，以期為今后該技術(shù)在食品傳熱過程研究中進一步發(fā)揮作用供理論參考。

1 食品凍結(jié)過程分析

食品凍結(jié)是通過使用制冷裝置將食品中游離態(tài)的水分子降溫至結(jié)晶形成冰的過程[3]。食品的形狀、尺寸、熱導(dǎo)率、比熱容，冷卻介質(zhì)的溫度、速度，氣流組織的均勻性等都是影響食品凍結(jié)速率的重要因素。在食品工業(yè)中，凍結(jié)過程不僅影響食品的質(zhì)量，而且與節(jié)能息息相關(guān)，因此對凍結(jié)過程進行模擬分析是研發(fā)高質(zhì)高效凍結(jié)裝置的重要前提。

凍結(jié)過程的熱力學(xué)分析屬于低溫傳熱領(lǐng)域，而相變傳熱和食品隨時間變化的熱物性在一般的傳熱過程中往往被忽略，但在低溫傳熱領(lǐng)域，上述兩方面是不可忽略的問題[1]。食品凍結(jié)過程中，熱量由內(nèi)而外通過導(dǎo)熱的形式傳遞到食品外表面。因此，預(yù)冷過程中食品內(nèi)部存在較大的溫差，且越靠近食物中央，溫度梯度越大；隨著食品熱量散失，食品最外層最先形成一層凍結(jié)層，并且隨著時間推移，凍結(jié)層向食品中心移動，最終完全凍結(jié)。由于凍結(jié)過程中涉及相變，而相變傳熱是嚴格非線性過程[1]，普通的試驗測溫法難以對凍結(jié)過程實現(xiàn)直觀的數(shù)學(xué)描述，因此數(shù)值模擬技術(shù)已成為食品凍結(jié)科研工作者有效的科研工具。

2 數(shù)值模擬技術(shù)在食品凍結(jié)過程中的應(yīng)用

20世紀60年代以后，隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，速凍工業(yè)也迅速發(fā)展起來。大多數(shù)研究人員以禽肉、牛肉、水產(chǎn)作為研究對象，并根據(jù)食品的幾何特征建立一維、二維、三維物理模型(表1)。在食品凍結(jié)過程中對試驗對象的邊界條件、導(dǎo)熱系數(shù)、熱質(zhì)轉(zhuǎn)移進行合理的假設(shè)，通過數(shù)值模擬對速凍時間、送風速度和溫度及送風方式等進行預(yù)測和優(yōu)化。 由于相變傳熱過程完全非線性，其過程十分復(fù)雜，通過分析進行精確求解這一問題是不可能的。因此，為了提高分析結(jié)果的準確性，采用數(shù)值模擬法來近似求解凍結(jié)過程。過去的研究工作中，無限大平板、無限長圓柱和球形的試驗對象常常按一維問題處理[2]；然而，實際情況下物體的形狀都十分復(fù)雜，因此一維模型并不能普遍用來解決實際問題；目前科究人員針對不同的物體形狀，采用二維或三維模型對實際問題求解[4-5,9]。

表1 數(shù)值模擬在食品凍結(jié)過程中的應(yīng)用

2.1 建立物理模型

2.1.1 創(chuàng)建幾何模型 對研究對象進行幾何建模，是將對象進行數(shù)學(xué)描述的過程。常規(guī)幾何模型有以下三種：無限大平板、無限長圓柱和球體[2]；當研究對象的幾何形狀和三種基本模型類似時，求解過程中加入合適的幾何形狀因子，近似地按標準形狀處理，這樣不僅可以節(jié)約大量計算時間，且收斂精度較高。然而，在實際問題中，多數(shù)研究對象幾何外形復(fù)雜，采用近似處理的方法誤差較大。近年來，一些科研工作者開始把目光投向圖形處理，如李寶方等[10]通過數(shù)碼設(shè)備對研究對象進行圖像采集，使用MATLAB對圖像進行分析處理，將圖像劃分為二維或三維離散區(qū)域，再導(dǎo)入網(wǎng)格生成軟件劃分網(wǎng)格、設(shè)置邊界條件。Goni等[11-12]使用圖像處理軟件對食品表面進行色區(qū)分割，然后通過后處理軟件對分割模型進行形態(tài)調(diào)整，并構(gòu)建食品幾何模型，最終結(jié)果表明：通過線性差值構(gòu)建的食品幾何模型比真實樣品表現(xiàn)出良好的一致性，該建模方法可以有效地減小數(shù)值模擬過程中采用簡化幾何模型所帶來的誤差。

2.1.2 創(chuàng)建數(shù)值模型 數(shù)值模型建立的準確性，將直接影響試驗結(jié)果和模擬值之間的接近程度。在模擬計算過程中，首先需要通過網(wǎng)格生成軟件將所建立的食品幾何模型離散化，為下一步求解微分方程提供前提；通常商業(yè)軟件所采用的離散方法有：有限差分法、有限元法和有限體積法[2](表2)。

有限差分法是數(shù)值模擬計算中最早采用的網(wǎng)格劃分方法，其基本思想在于，通過對模擬區(qū)域進行網(wǎng)格劃分使連續(xù)區(qū)域離散化，并通過網(wǎng)格上的節(jié)點對連續(xù)區(qū)域上的連續(xù)變量函數(shù)使用離散后網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似替代?？紤]時間因子在計算過程中的作用，可將有限差分法簡單細化為：顯式、隱式兩種格式。采用顯式格式對研究對象進行數(shù)值計算時，其計算工作量較小，但對時間、空間步長有一定的限制，否則將出現(xiàn)震蕩解；隱式格式對步長沒有限制，不會出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，但計算工作量大[13]。有限差分法在數(shù)值計算過程中是逐層推進的，誤差也會逐層累積，因此有限差分法使用于較為復(fù)雜的模擬區(qū)域中時，最終計算結(jié)果誤差偏大，同時對計算過程中收斂精度要求較高，導(dǎo)致計算時間花費較大，不利于對實際問題的求解；因此，通常不采用有限差分法建立數(shù)值模型。但具體在冷凍傳熱過程中，Botheju等[6]采用有限差分法建立一維數(shù)學(xué)模型，不僅極大地縮短了計算時間，而且將標準誤差控制在0.63%～1.23%，使用有限差分法對特殊研究對象創(chuàng)建簡單的物理模型，計算結(jié)果令人滿意。

表2 數(shù)值離散法分類原理及優(yōu)劣

Table 2 The classification principle of numerical discretization method and its advantages and disadvantages

數(shù)值離散方法原理及優(yōu)劣有限差分法將連續(xù)區(qū)域離散化后,通過網(wǎng)格上的節(jié)點對連續(xù)區(qū)域上的連續(xù)變量函數(shù)使用離散后網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似替代。求解速度快、精度較低有限元法 將計算域轉(zhuǎn)換為一系列的子域,通過每個子域內(nèi)的近似函數(shù)來描述所求解的未知場函數(shù)。求解速度慢、精度高有限體積法計算區(qū)域內(nèi)所包含的每個節(jié)點的控制體都分布于網(wǎng)格上,通過對控制體進行積分來求解微分方程。求解速度快、精度較高

有限元法其基本思想是將計算域轉(zhuǎn)換為一系列的子域，通過每個子域內(nèi)的近似函數(shù)來描述所求解的未知場函數(shù)。有限元法不受空間的限制，可以實現(xiàn)對任意模型進行預(yù)測，尤其在食品以導(dǎo)熱的形式進行熱量傳遞時，有限元法表現(xiàn)出優(yōu)良的精度[1]。因此，有限元法被Ansys公司廣泛地應(yīng)用在數(shù)值計算模塊。Sabliov等[4]對一個軸對稱非穩(wěn)態(tài)傳熱的有限元在低溫冷卻中開發(fā)了殼蛋低溫冷卻模型，并通過對預(yù)測模型輸出溫度與試驗測量溫度進行比對；結(jié)果表明，有限元法可以有效地預(yù)測相變過程熱物性隨時間的變化規(guī)律，從而精確地預(yù)測冷卻時間。Pham等[14]以牛肉為研究對象建立有限元模型，將基于二維網(wǎng)格上的熱傳導(dǎo)方程和一維網(wǎng)格上的水分擴散方程總結(jié)成一組回歸方程，對食品的各項物性參數(shù)進行預(yù)測，最終通過實驗得到了很好的驗證；但由于有限元法求解過程復(fù)雜，并且對計算機的內(nèi)存要求高，因此并未得到推廣，而僅適用于一些研究精度較高的工程領(lǐng)域。

有限體積法是商用CFD軟件最常使用的方法，其與有限差分法和有限元法的本質(zhì)區(qū)別在于，采用有限體積法離散的計算區(qū)域內(nèi)所包含的每個節(jié)點的控制體都分布于網(wǎng)格上，通過對控制體進行積分來求解微分方程。Moraga等[5]通過以三種不同的肉柱為研究對象，在研究凍結(jié)過程中比較了有限差分法和有限體積法對二維定常條件下時間及熱物性的預(yù)測，結(jié)果表明有限體積法更能精確地模擬凍結(jié)過程以及估計該產(chǎn)品凍結(jié)時間。

凍結(jié)過程中由于食品存在熱物性，將導(dǎo)致凍結(jié)結(jié)束后食品形態(tài)發(fā)生劇烈變化；比如，相變過程伴隨著膨脹、收縮，現(xiàn)有的網(wǎng)格技術(shù)并不能解決物性變化對幾何模型所產(chǎn)生的影響。因此，近幾年一些學(xué)者如：Belytschko等[15-17]開始將目光投向無網(wǎng)格技術(shù)，并指出無網(wǎng)格方法和空間區(qū)域離散法的本質(zhì)區(qū)別在于，無網(wǎng)格法將模擬對象近似成點的集合，此種方法將有效處理凍結(jié)過程中由于食品物性的突變所產(chǎn)生的大變形以及裂紋等問題，在模擬過程中不需要對網(wǎng)格進行重構(gòu)和劃分，避免了網(wǎng)格設(shè)置等技術(shù)難題，不僅提高了計算結(jié)果的準確性，而且降低了計算難度。目前，通過各國科學(xué)家的努力已提出了十余種無網(wǎng)格法，如：伽遼金法[18-20]、最小二乘法[21-22]、配點法[21]等。Amantea等[23]開發(fā)了一種基于三次徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格數(shù)值方法求解非線性耦合對流占優(yōu)的偏微分方程組；將此方程運用于干燥過程中，模擬結(jié)果與前人的研究相比表現(xiàn)出優(yōu)良的精度。目前，無網(wǎng)格技術(shù)在食品干燥領(lǐng)域已初步涉及，而在冷凍領(lǐng)域還沒有可查閱的相關(guān)文獻資料[24]。

2.2 求解微分方程

使用數(shù)值模擬計算是在質(zhì)量、能量守恒方程滿足的前提下進行的，求解過程中應(yīng)充分考慮導(dǎo)熱和擴散對能量的影響。Welti等[25]認為由于食品凍結(jié)過程涉及到相變，其物理性質(zhì)(密度、比熱容、熱導(dǎo)率等)將隨溫度的變化發(fā)生突變，因此求解過程中需要對模擬對象建立間斷微分方程，通過將物理模型連續(xù)區(qū)域離散化，求解微分方程得到仿真解，仿真解和試驗結(jié)果進行對比即可評價建立模型的優(yōu)劣。當計算區(qū)域較復(fù)雜時，有限差分法性能較差，長期研究發(fā)現(xiàn)，選用合適的時間步長可以改善這種情況。食品在凍結(jié)過程中由于一些物理性質(zhì)發(fā)生突變，其非線性使得數(shù)值計算難度加大，且準確性較低，基于這一情況，基爾霍夫轉(zhuǎn)換將所有的非線性因素都統(tǒng)籌為一個影響因子，使食品中不同溫度節(jié)點取值得以解決。Scheerlinck等[26]發(fā)現(xiàn)在數(shù)值模擬計算過程中采用基爾霍夫轉(zhuǎn)換時可以節(jié)省大量的迭代時間。此外，還有表觀比熱容法、熱質(zhì)傳遞耦合以及準焓法；其中表觀比熱容法是商業(yè)模擬軟件常采用的方法，此方法特征在于：將食品凍結(jié)過程中相變所釋放的潛熱以顯熱的形式在傳熱方程進行表達，但由于潛熱的疊加使表觀比熱與溫度呈現(xiàn)非線性關(guān)系，導(dǎo)致食品凍結(jié)點附近的比熱容難以確定[2]。Santos等[27]使用DSC測得食品比熱，并將其作為模型參量輸入數(shù)值計算模型，解決了凍結(jié)點比熱容難以確定的問題。

2.3 預(yù)測凍結(jié)時間

20世紀60年代以來，數(shù)值模擬技術(shù)在凍結(jié)領(lǐng)域不斷發(fā)展，其中最重要的任務(wù)就是預(yù)測凍結(jié)時間，因為凍結(jié)時間直接關(guān)系到食品品質(zhì)和能耗。Norton等[28-30]提出了對食品凍結(jié)時間預(yù)測的方法，并指出凍結(jié)時間預(yù)測公式的驗證需要高質(zhì)量的試驗數(shù)據(jù)，然而研究表明，常用的試驗方法有不足之處，特別是在維持表面換熱系數(shù)的均勻性、試驗過程中引入的誤差等，都將影響預(yù)測結(jié)果的準確性。李杰等[9]對鼓風式速凍裝置中的食品凍結(jié)過程以及冷凍時間進行了非穩(wěn)態(tài)模擬，結(jié)果表明，食品在凍結(jié)過程中預(yù)測值與試驗值之間絕對溫度誤差最大值為1.5 ℃，食品凍結(jié)時間相對誤差為3.8%，從試驗角度驗證了數(shù)值模擬計算的可行性。針對不同的凍結(jié)階段，李杰等[31]以冰箱為試驗平臺，采用各項物性較為均勻的土豆為試驗對象，建立三維數(shù)值模型，但由于凍結(jié)模型只適用于液體，因此數(shù)值模型設(shè)置時需要將土豆四周設(shè)置成固定壁面的封閉體，且內(nèi)部設(shè)置成和土豆物性參數(shù)(熱導(dǎo)率、密度、比熱容)相同的液體，同時不考慮非凝固區(qū)域的傳質(zhì)與流動，通過模擬土豆在冷凍過程中溫度場隨時間的變化規(guī)律，較為準確地預(yù)測了土豆的凍結(jié)時間。

2.4 分析送風速度、溫度及送風方式

凍結(jié)裝置的送風速度和溫度直接影響食品的凍結(jié)時間，對于最佳送風速度的研究，過去已有一些學(xué)者[32-34]進行了相關(guān)的試驗。Dominguez等[34]以饅頭為試驗對象，對流場內(nèi)低溫空氣的溫度和速度進行了研究，結(jié)果表明：食品的凍結(jié)速度與空氣冷卻器進口風速成正比。Song等[7]以馬鈴薯為研究對象，使用COMSOL仿真軟件對馬鈴薯建立二維瞬態(tài)導(dǎo)熱固體模型，并分別以1，2，4，8 m/s的風速進行模擬計算，將仿真結(jié)果和試驗結(jié)果對比分析，結(jié)果表明，當冷卻空氣為-40 ℃時，隨著風速的增加，相變表面移動速度降低，當無冷卻風時，背風面相變界面移動最快，當風速大于4 m/s時，迎風面的相變表面移動速度大于背風面。張珍等[35-37]通過對送風方式和流場區(qū)域進行優(yōu)化，將傳統(tǒng)的單側(cè)吹風方式變?yōu)樯舷聝蓚?cè)吹風，并且研究了不同網(wǎng)帶孔隙率對食品的凍結(jié)速度的影響，結(jié)果表明：上下兩側(cè)協(xié)同送風的送風方式能更快地加速食品的凍結(jié)。隨著研究的深入，李杰等[37]以蝦為試驗對象建立了二維數(shù)值模型，試驗結(jié)果與模擬結(jié)果存在較高的一致性，在此基礎(chǔ)上還重點討論了影響蝦凍結(jié)時間的多個物理參數(shù)，結(jié)果表明：上下兩側(cè)吹風與單側(cè)吹風相比能夠有效地縮短食品凍結(jié)時間，并且當上吹風風速一定時，提高下吹風風速能夠明顯提高凍結(jié)速率，同時使凍結(jié)過程中食品內(nèi)部溫度均勻降低，有效地提高了食品凍結(jié)質(zhì)量。Sarkar等[38-39]對鼓風式速凍設(shè)備進行了一系列的設(shè)計研究，模擬了不同噴嘴直徑與噴嘴長度比值α，不同的沖擊方式對食品凍結(jié)過程效率的影響。研究結(jié)果表明：當α在6～8時效率最高，雙向噴射比單向噴射效率高。

3 結(jié)論與展望

使用數(shù)值模擬技術(shù)預(yù)測食品凍結(jié)過程中的各項物理參數(shù)是目前普遍使用的科研工具，但由于食品存在復(fù)雜的幾何形狀以及食品凍結(jié)過程中多變的熱物理性質(zhì)，這些因素將直接影響數(shù)值模擬結(jié)果的準確性。針對食品種類與外形的多樣性，準確地選擇研究工具有助于降低軟件本身帶來的誤差?？偨Y(jié)前人的研究可以發(fā)現(xiàn)：當食品通過導(dǎo)熱的形式進行凍結(jié)，有限元分析法可以有效地和試驗結(jié)果吻合；當食品以對流傳熱的形式傳熱，有限體積法預(yù)測結(jié)果令人滿意；當食品幾何形狀復(fù)雜時，使用圖像處理分析法建立幾何模型可以直觀地對模擬對象進行準確地描述。

將來對凍結(jié)食品采用數(shù)值模擬方法的研究工作可以從以下幾個方面展開：① 運用圖像處理技術(shù)對研究對象建立更準確的物理模型；② 根據(jù)送風條件，對凍結(jié)過程進行優(yōu)化設(shè)計；③ 開發(fā)更為精確的數(shù)值模型方法(軟件)，從技術(shù)角度降低預(yù)測結(jié)果與試驗之間誤差；④ 總結(jié)前人對同類研究對象采用的不同模擬方法，分析預(yù)測結(jié)果篩選誤差較小的模擬方法作為解決此類對象的最優(yōu)解法，為后續(xù)研究工作提供參考依據(jù)。⑤ 借鑒無網(wǎng)格技術(shù)在干燥領(lǐng)域的應(yīng)用，將無網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用于凍結(jié)過程的分析計算，開拓一種研究凍結(jié)過程的新工具。

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Application of numerical simulation in process of food freezing

WANGJin-feng1,2LIWen-jun1,2XIEJing1,2

(1.ShanghaiEngineeringResearchCenterofAquaticProductProcessing&Preservation,Shanghai201306,China;2.FoodCollegeofShanghaiOceanUniversity,Shanghai201306,China)

The freezing process of numerical model, solving differential equations, predicting freezing time and analyzing of air supply velocity, temperature and methods were reviewed. The application of numerical simulation technology in food freezing process was discussed. The numerical simulation methods for different freezing objects were also summarized, which would be useful for the future application of numerical simulation methods in the process of heat transfer of foods.

freezing process; quick-frozen food; numerical simulation; food cold processing

2014年國家農(nóng)業(yè)成果轉(zhuǎn)化資金項目(編號：2014GB2C000081)；2016年上海市科技興農(nóng)重點攻關(guān)項目[編號：滬農(nóng)科攻字(2016)第1-1號]；上海市科委平臺能力提升項目(編號：16DZ2280300)

王金鋒，女，上海海洋大學(xué)副教授，博士。

謝晶(1968—)，女，上海海洋大學(xué)教授，博士，博士生導(dǎo)師。E-mail: jxie@shou.edu.cn

2016-05-24

10.13652/j.issn.1003-5788.2016.10.044