虧群同構(gòu)于×Z3的塊代數(shù)的結(jié)構(gòu)

戴康順，楊 勝

（溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035）

戴康順，楊 勝

（溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035）

假設G是一個有限群，p是一個固定的素數(shù)，B是群G的一個p塊，且B的一個虧群為D.在模表示理論中，當塊B的虧群D給定時，如何確定塊B的結(jié)構(gòu)是一個主要問題.這里塊B的結(jié)構(gòu)，是指屬于塊B的不可約模指標個數(shù)以及不可約常指標個數(shù).在G是 3-可解的或者虧群D是正規(guī)的前提下，給出了虧群D同構(gòu)于的塊代數(shù)結(jié)構(gòu)，計算出了k（B）和l（B）這兩個重要的塊不變量.

塊；子對；虧群

在有限群模表示理論中，一個經(jīng)典問題是確定給定虧群的塊代數(shù)結(jié)構(gòu).Dade［1］在 1966年確定了虧群為循環(huán)群的塊代數(shù)結(jié)構(gòu).對循環(huán)塊的研究之所以能夠取得相當徹底的成果，在很大程度上依賴于以下事實：一個塊是有限表示型的（即循環(huán)塊中不可分解模的同構(gòu)類只有有限多個），當且僅當這個塊的虧群是循環(huán)群［2］.虧群非循環(huán)的p-塊不是有限表示型的，這樣的塊當中不可分解模的同構(gòu)類非常復雜，難以應用Green對應來解決問題.近些年，確定給定虧群的塊代數(shù)結(jié)構(gòu)這個課題取得了一些結(jié)果.比如虧群為二面體群、廣義四元數(shù)群、擬二面體群、極小非交換的2-群、亞循環(huán)2-群等2-塊，確定了塊的結(jié)構(gòu)［3］.但是當虧群非循環(huán)且p是一個奇素數(shù)時，相關研究不多.在計算塊不變量時，Brauer的著名公式是很有用的，其中.Kiyota［5］在1984年基本確定了虧群為9階初等交換群的塊代數(shù)結(jié)構(gòu)，他的文章的關鍵工具就是 Brauer的著名公式.在G是3-可解的或者虧群D是正規(guī)的前提下，當，確定了這個塊的結(jié)構(gòu).

本文受Kiyota的文章［5］的啟發(fā)，在G是3-可解的或者虧群D是正規(guī)的前提下，當D同構(gòu)于時，計算出了k（B）和l（B）這兩個重要的塊不變量.

1 主要結(jié)論

進一步，

2 主要結(jié)論的證明

引理1［4］假設G是一個有限群，p是一個素數(shù)，B是G的一個p-塊，則，其中.

引理2［6］G是一個有限群，p是一個素數(shù)，B是G的一個p-塊，D為塊B的虧群.如果D為交換群，則，等號成立當且僅當.

引理3［6］G是有限群，p是素數(shù)，B是G的一個p塊，B的虧群D是階為 pd的交換群.如果D的秩為2，則.

引理4［7］G是有限群，p是一個素數(shù)，B是G的一個p塊，當p=3時，k0（B）=0（mod3）.

引理5［5］B是G的一個p塊，且虧群D交換.是一個B-西羅子對.假設G是p-可解的或，則有等式，這里等式右邊指的共軛類數(shù).

另外，如果下列條件成立，則上述不等式的等號成立.

設G是一個有限群，p為一個素數(shù)，D為一個p-塊，假定p=3和，在這種情況下得到了k（B）和l（B）.

因此，

得到：

故，

因此，

假設ω∈D，與（a）的證明相似，舒爾乘子是平凡的，在此條件下是 3-可解的或，則：

故，

因而，

假設ω∈D，與（a）的證明相似，舒爾乘子是平凡的，在此條件下是 3-可解的或，則：

故，

因而，

假設ω∈D，與（a）的證明相似，舒爾乘子是平凡的，在此條件下是3-可解的或，則：

故，

3 結(jié) 論

本文研究了確定給定虧群的塊代數(shù)結(jié)構(gòu)問題.在G是3-可解的或者虧群D是正規(guī)的前提下，當D同構(gòu)于時，計算出了k（B）和l（B）這兩個重要的塊不變量.

［1］ Dade E C. Blocks with cyclic defect groups ［J］. Ann of Math， 1966， 84： 20-48.

［2］ Martin I I. Characters theory of finite groups ［M］. New York： Academic Press， 1976： 6-12.

［3］ Sambale B. Blocks of finite groups and their invariants ［M］. Berlin： Springe， 2014： 4-20.

［4］ Brauer R. Zur Darstellungstheorie der gruppen endlicher osdnung II ［J］. Math Z， 1967， 72： 895-925.

［5］ Kiyota M. On 3-blocks with an elementary abelian defect group of order 9 ［J］. J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math，1984， 31（1）： 33-58.

［6］ Brauer R. On blocks and sections in finite groups II ［J］. American Journal of Mathematics， 1967， 90（3）： 895-925.

［7］ Landrock P. On the number of irreducible character in a 2-block ［J］. J Algebra， 1981， 68： 426-442.

The Structure of Block Algebra with a Defect Group D×Z3

DAI Kangshun， YANG Sheng
（College of Mathematics and Information Science， Wenzhou University， Wenzhou， China 325035）

Supposed that G be a finite group and p be a fixed prime number， B is a p-block of group G with defect groupD. It is a major problem in modular representation theory to determine the structure of B when the defect group D is given. The structure of B here refers to the number of irreducible modular characters as well as the number of irreducible ordinary characters. The algebraic structure of the block algebra with a defect groupis given under the premise that G is 3-solvable or the defect group D is normal. The two important invariants associated with the block algebra such as k（B）and l（B）are calculated.

Block； Sub-pair； Defect Group

O152

A

1674-3563（2016）03-0015-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2016.03.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：封毅）

2015-05-28

國家自然科學基金（13101193）；浙江省新苗計劃（2013R424012）

戴康順（1992- ），男，浙江衢州人，研究方向：基礎數(shù)學