具有抗體免疫時滯的HIV病毒動力學(xué)模型的穩(wěn)定性和Hopf分支

王 沙，羅 勇，胡亦鄭

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

具有抗體免疫時滯的HIV病毒動力學(xué)模型的穩(wěn)定性和Hopf分支

王 沙，羅 勇?，胡亦鄭

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

利用微分方程理論，對一類非線性的具有抗體免疫時滯的HIV病毒感染模型進(jìn)行了研究，得到了系統(tǒng)的平衡點，證明了系統(tǒng)邊界平衡點的全局漸近穩(wěn)定性和正平衡點的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性，并且給出了Hopf分支存在的條件.

平衡點；穩(wěn)定性；Lyapunov函數(shù)；Hopf分支

具有免疫反應(yīng)和時滯的病毒動力學(xué)模型能夠更好地描述病毒感染過程中病毒的變化趨勢，因而受到許多學(xué)者的青睞［1-5］.王開發(fā)等在文獻(xiàn)［6］中研究了一類具有CTL免疫反應(yīng)和時滯的病毒動力學(xué)模型：

式中x（t），y（t），z（t）分別表示易感染細(xì)胞在t時刻的數(shù)量、病毒粒子t時刻的數(shù)量和CTL免疫反應(yīng)在t時刻的濃度.通過Lyapunov-LaSalle原理得到無病平衡點E0的全局漸近穩(wěn)定性，并且得到了免疫平衡點E1全局漸近穩(wěn)定的充分條件.

1 模型的建立

考慮病毒感染機(jī)體中的易感染細(xì)胞時，應(yīng)考慮到除了CTL免疫反應(yīng)會被激活以外抗體免疫反應(yīng)也會發(fā)生作用.本文考慮一類如系統(tǒng)（1）的具有抗體免疫反應(yīng)和免疫時滯的HIV病毒模型：式中x（t），y（t），v（t），w（t）分別表示未感染細(xì)胞、已感染細(xì)胞、HIV病毒和抗體免疫反應(yīng)在t時刻的濃度，并且（1）中所有的參數(shù)均為正值，λ表示易感染細(xì)胞的出生率，d表示未感染細(xì)胞的死亡率，β表示易感染細(xì)胞被病毒感染的速率，a表示已感染細(xì)胞的死亡率，Na表示已感染細(xì)胞釋放病毒的比率，u表示病毒粒子的死亡率，q表示病毒粒子被抗體免疫反應(yīng)消除的比率，c表示CTL免疫反應(yīng)被病毒粒子激活的速率，b表示CTL免疫反應(yīng)的消退速率.

假設(shè)抗體免疫反應(yīng)被激活且與未感染細(xì)胞、病毒粒子和自身的濃度均有關(guān)系［5］.分析得出了模型的平衡點的存在性和穩(wěn)定性，并給出了Hopf分支存在的條件.

2 非負(fù)性與有界性

易知系統(tǒng)（1）的滿足初始條件的解x（t），y（t），v（t），w（t）是唯一存在的.另x（t），y（t），v（t），w（t）為系統(tǒng)（1）的滿足初始條件的任意解.在證明解的正性和有界性之前，先給出下面這個引理.

證畢.

定理1 令（x（t），y（t），v（t），w（t））為（1）滿足初始條件的任意解，那么x（t），y（t），v（t），w（t）均為正的，而且存在M＞0，當(dāng)t趨向于無窮大時，有x（t）＜M，y（t）＜M，v（t）＜M，w（t）＜M.

證明：由系統(tǒng)（1），可知

容易知道x（t）在存在區(qū)間上為正的.接下來，證明y（t）也為正的.事實上，令t1＞0為第一個滿

另一方面，y˙（t1）=βx（t1）v（t1）＞0，這意味著y（t）＜0，對于t∈（t1-ξ，t1），其中ξ為一個任意小的正常數(shù)，矛盾，因此y（t），v（t）也為正的.同理可知，w（t）在存在區(qū)間上也為正的.

3 穩(wěn)定性分析

其中（3）的兩個特征根為1bλ=-，2dλ=-，其余的兩個根由下面這個方程給出：

可見，當(dāng)01R＜時，由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則可知，（4）的所有根均有負(fù)實部.

證畢.

當(dāng)01R＜時，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，還可以得到0E是全局漸近穩(wěn)定的.

定理3 若01R＜，0E是全局漸近穩(wěn)定的.

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下：

由時滯微分方程理論可知，若（10）的平凡解是漸近穩(wěn)定的，則（9）的平凡解是局部漸近穩(wěn)定的.（10）的平凡解的穩(wěn)定性，由其相應(yīng)的特征方程的根的實部決定.系統(tǒng)（10）的特征方程為：

證明：當(dāng)0τ=時，（11）整理為：

從而有40D＞.由Routh-Hurwitz準(zhǔn)則可知，（11）的所有根均有負(fù)實部.

證畢.

由該定理可知，當(dāng)τ=0時，H（s）=0的所有根均有負(fù)實部，而H（s）=0的根對參數(shù)具有連續(xù)依賴性，因此，必然存在τ0＞0，當(dāng)τ∈（0，τ0）時，H（s）=0的所有根均滿足Re（τ）＜0，其中當(dāng)τ=τ0時，Re（τ）=0.為了求出τ0，假設(shè)H（s）=0有一對純虛根w0i（w0＞0），接下來把w0i代入H（s）=0中，為了符號簡便，用τ，w代替τ0，w0得到下面的方程：

對于未知的系數(shù)，（16）的解是求不出的，但是，對于已知的系數(shù)，通過計算機(jī)軟件的輔助，其解肯定可以求出.首先，若B4≠0，則σ=0不是（16）的根；其次，假設(shè)（16）無正實根，那么，分支參數(shù)τ也不存在，在這種情況下，是不可能存在Hopf分支的；最后，假設(shè)系統(tǒng)（16）總有正實根.

從而，當(dāng)τ逐漸增大至τ0時，方程（10）的特征根具有負(fù)實部，當(dāng)τ=τ0時，（10）有一對純虛根，其它的根均有負(fù)實部.最后，可以得到下面的定理：

定理6 對于系統(tǒng)（9），當(dāng)（T1），（T2）滿足時，若τ∈［0，τ0）時，E2是局部漸近穩(wěn)定的；若τ＞τ0，E2是不穩(wěn)定的，并且當(dāng)τ=τ0時，（5）在E2處會出現(xiàn)Hopf分支.

4 結(jié) 論

［1］ Zhu H Y， Luo Y， Chen M L. Stability and Hopf bifurcation of a HIV infection model with CTL-response delay ［J］. Computers and Mathematics with Applications， 2011， 62： 3091-3102.

［2］ Wang X， Liu S. A class of delayed viral models with saturation infection rate and immune response ［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2013， 36（2）： 125-142.

［3］ Wang S F， Zou D Y. Global stability of in-host viral models with humeral immunity and intracellular delays ［J］.Applied Mathematical Modelling， 2012， 36： 1313-1322.

［4］ Wang T L， Hu Z X， Liao F C. Stability and Hopf bifurcation for a virus infection model with delayed humeral immunity response ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2014， 411： 63-74.

［5］ Zhu H Y. Dynamics of a HIV-1 infection model with cell-mediated immune response and intracellular delay ［J］. Discrete and continuous dynamical systems： series B， 2009， 12： 511-524.

［6］ Wang K F， Wang W D， Pang H Y， et al. Complex dynamic behavior in a viral model with delayed immune response ［J］. Science Direct： physica D， 2007， 226： 197-208.

The Study of Stability and Hopf Bifurcation for HIV Infection Model with Antiserum Immune Time-lag

WANG Sha， LUO Yong， HU Yizheng
（College of Mathematics and Information Science， Wenzhou University， Wenzhou， China 325035）

By means of the differential equation theory， a class of nonlinear HIV infection model with antiserum immune time-lag is studied in this paper. The existence of equilibrium of this system is obtained. It turns out that the global dynamics of epidemic equilibrium and the local dynamics of boundary equilibrium is solved. In the end， the existing condition of Hopf bifurcation with this model is given from the test.

Equilibrium Point； Stability； Lyapunov Function； Hopf Bifurcation

O193

A

1674-3563（2016）03-0006-09

10.3875/j.issn.1674-3563.2016.03.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：王一芳）

2015-06-10

王沙（1989- ），女，河南安陽人，碩士研究生，研究方向：微分方程與生物數(shù)學(xué).? 通訊作者，987843729@qq.com