明教知識暗傳思想

吳志群

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）在教學建議中指出：“教師應該揭示知識的數(shù)學實質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學思想.”數(shù)學思想是經(jīng)過概括后對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質(zhì)認識，是從具體數(shù)學知識認知過程中提煉出的觀點，揭示了數(shù)學發(fā)展中普遍的規(guī)律.它蘊含于數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括.因此，數(shù)學教學貫穿著兩條主線，第一條是數(shù)學知識，第二條是數(shù)學思想.數(shù)學知識是明線，用文字的形式寫在教材里，反映了知識之間的縱向聯(lián)系；數(shù)學思想是暗線，反映知識之間的橫向聯(lián)系，需要老師在教材中加以揭示.數(shù)學知識是數(shù)學的軀體，數(shù)學思想是數(shù)學的精髓，掌握數(shù)學思想，就是掌握數(shù)學的精髓.

在全縣研訓活動中，筆者參加設(shè)計一節(jié)公開課，課題為北師大版數(shù)學教材七年級下冊第四章《三角形》第三節(jié)“探索三角形全等的條件”.現(xiàn)摘錄主要環(huán)節(jié)，結(jié)合自己的思考，淺議結(jié)合數(shù)學思想設(shè)計初中數(shù)學教學.

1環(huán)節(jié)再現(xiàn)

環(huán)節(jié)1舊知回顧，新知引入

問1到目前為止，已學過哪些方法判定兩個三角形全等？怎么得到的？

（生：三邊：邊邊邊“SSS”；兩角一邊：角邊角“ASA”，角角邊“AAS”）

設(shè)計意圖括號部分是預設(shè)學生的回答（下同），回顧三角形全等的條件及探索方法，喚醒已有知識的認知.

情景引入如圖1，池塘兩側(cè)A，B處各有一棵樹，只有一條米尺，利用現(xiàn)有米尺無法直接量出A，B問的距離.請你設(shè)計一種方案，測出A，B問的距離，并說明理由.

設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)有意義的問題情境，具有挑戰(zhàn)性，激發(fā)學生的求知欲和學習興趣.

環(huán)節(jié)2自主探究，合作提升

問2根據(jù)探索三角形全等的條件，至少需要三個條件，除了上述情況外，還有哪種情況？

（生：兩邊一角相等）

問3有幾種可能的情況呢？

（生：兩邊及夾角“邊角邊”或兩邊及其一邊的對角“邊邊角”）

設(shè)計意圖通過有效設(shè)問和追問，感悟類比的學習方法和養(yǎng)成對比的學習習慣，培養(yǎng)學生善于反思總結(jié)的意識，培養(yǎng)學生勇于探索的精神.

活動1

（探究：兩邊及夾角“SAS”）已知三角形兩條邊分別為3cm，4cm，它們所夾的角為30°，你能畫出這個三角形嗎？與同伴交流，你畫的三角形與同伴畫的一定全等嗎？

設(shè)計意圖學生動手操作，畫滿足特殊角的三角形，運用30°三角板容易操作，培養(yǎng)形象思維能力和動手操作能力，自主探究后，通過交流比較，達到合作提升.

活動2同桌之間商量好，任意確定一個角的度數(shù)及兩條線段的長度.畫三角形，以這兩條線段作為三角形的兩邊，它們的夾角就是確定的已知角，觀察比較，同桌問的兩個三角形是否會全等.

歸納基本事實（公理）：兩邊及夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”，（公理的幾何語言板書一略）

設(shè)計意圖分組合作活動，同桌一小組，組數(shù)最大化，條件完全開放，條件一般化，以期有各種角度（銳角、直角、鈍角）和長度，說明結(jié)論的合理性，理解“邊角邊”公理知識的形成，培養(yǎng)合情推理能力和動手操作能力.通過板書幾何語言，養(yǎng)成幾何語言、文字語言和圖形語言的互譯，培養(yǎng)審題能力和板書語言能力。

活動3（探究：兩邊一對角“SSA”）已知三角形兩條邊分別為3cm，5cm，長度為3cm的邊所對的角為30°，你能畫出這個三角形嗎？與同伴交流，你畫的三角形與同伴畫的一定全等嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？

設(shè)計意圖給學生充分的時間與空間，結(jié)合數(shù)學畫圖.

使學生完整地經(jīng)歷動手操作、總結(jié)結(jié)論的活動過程，深刻體會實踐是科學判斷問題的有力依據(jù)，再次感悟通過舉反例說明假命題的知識方法.培養(yǎng)學生對某個問題作出正確判斷、合理決策的能力.

環(huán)節(jié)3引導發(fā)展，成效評價

例題如圖2，已知AB=AD，∠BAC=∠DAC，請說明AABC≌AADC.

問4上題條件不變，BC與DC會相等嗎？為什么？

設(shè)計意圖新知應用，應用“邊角邊”知識證明三角形全等和線段相等的問題，加強知識理解和應用.培養(yǎng)邏輯思維能力和演繹推理能力.

問題解決解決情境引入中的問題.

小明設(shè)計方案：如圖3，先在池塘旁取一個能直接到達A，B處的點C，連結(jié)AC并延長至E點，使CE=AC，連結(jié)BC并延長至D點，使CD=BC，連結(jié)DE，用米尺測出DE的長，這個長度就等于A，B兩點的距離.你能說明理由嗎？

設(shè)計意圖首尾呼應，充分應用情境素材，能靈活應用所學知識，解決實際問題，感悟?qū)W數(shù)學知識意義.

練一練（1）如圖4，在下列圖中，找出全等三角形.

（2）如圖5，在AABD和AACD中，∠BAD=∠CAD，要使AABD≌AACD，只需添加一個什么條件？為什么？

設(shè)計意圖給學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，第1題獨立嘗試解決，當堂檢測學生掌握“邊角邊”公理的情況，適時作出恰當評價，第2題通過一個條件開放，讓學生總結(jié)判斷三角形全等的知識，培養(yǎng)學生邊學習邊總結(jié)的好習慣.

2揭示數(shù)學思想

《標準（2011年版）》在教材設(shè)計建議中指出：數(shù)學教學中數(shù)學思想是需要學生經(jīng)歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的.因此，平時要主動設(shè)計利于學生感悟數(shù)學思想的課堂教學，基于課標和教學大綱，筆者研讀教材，解讀本節(jié)教學內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學思想的滲透，設(shè)計以上教學過程，在教學中有效地滲透思想，表面上是教學數(shù)學知識，同時也在滲透數(shù)學思想，從而提高課堂教學的有效性.以下揭示本節(jié)教學表象的數(shù)學思想。

2.1揭示特殊與一般思想

人們對一類新事物的認識往往是通過對某些個體的認識與研究，逐漸積累對這類事物的了解，逐漸形成對這類事物總體的認識.本節(jié)課環(huán)節(jié)二探究“邊角邊”公理中，活動1設(shè)計30度的特殊角和3厘米、4厘米的特殊邊，內(nèi)容具體、容易操作，探究特殊條件下公理的存在；接著，活動2中條件完全開放，探究在一般條件下公理存在，從而歸納出“SAS”公理，水到渠成.在探究“SSA”成立與否中，用特殊反例說明一般結(jié)論不成立.由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由局部到整體，這種認識事物的過程是由特殊到一般的認識過程.在環(huán)節(jié)三中，運用探究出“SAS”公理（即一般結(jié)論），解決本節(jié)例題和情境問題，用所得到的特點和規(guī)律解決這類事物中的新問題，這種認識事物的過程是由一般到特殊的認識過程.這就是數(shù)學研究中的特殊與一般思想.這是本節(jié)課滲透的最重要的數(shù)學思想。

2.2揭示分類與整合思想

《標準（2011年版）》在教學建議中指出：分類是一種重要的數(shù)學思想.在研究數(shù)學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程.本節(jié)課中分類與整合思想也處于重要地位，在探究“兩邊一角”中，根據(jù)角相對兩邊不同位置，分“邊角邊”和“邊邊角”兩種情況分別探究.在活動2中，探究“SAS”的一般情況又分鈍角、銳角和直角三種情況，從而整合得到“SAS”公理；在活動3探究“SSA”中，通過特殊值驗證，分類得到兩種不全等圖形，從而整合得到“SSA”不成立，最后整合只有“SAS”成立，而“SSA”不成立.還有在環(huán)節(jié)三練習2中，要根據(jù)不同判定，分三種情況討論，整合有三個答案.在解數(shù)學問題時，若問題包含了多種情況，就必須抓住問題發(fā)展方向的主要因素，劃分為若干部分分別研究，最后整合在一起.這種“合一分一合”的解決問題的思想，就是分類與整合思想.

2.3揭示數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面.在探究“SAS”和“SSA”活動中，給出角和線段的數(shù)值，通過畫出相應的圖形，來探究命題的成立與否，要成立必需滿足圖形重合，若不重合則不成立.如圖6，根據(jù)相同的數(shù)值，畫出不同的圖形，非常直觀說明“SSA”不成立，借助形的直觀性來解決數(shù)的問題.如圖4，數(shù)形結(jié)合很容易找出全等三角形，從而解決問題，數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，”

2.4揭示建模思想

《標準（2011年版）》在教材設(shè)計建議中指出：模型思想是義務(wù)教育階段數(shù)學課程內(nèi)容的核心之一，教材應當圍繞核心內(nèi)容進行設(shè)計.模型思想是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.因此，在情境引入中，設(shè)計測量池塘兩樹的實際問題，激發(fā)學習興趣，同時，學了新知后，必需建立數(shù)學模型來解決實際問題，這內(nèi)容的學習有助學生形成模型思想，滲透數(shù)學建模思想.

2.5揭示化歸與轉(zhuǎn)化思想

為了滲透化歸與轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)教材內(nèi)容，在環(huán)節(jié)三例題的教學中，設(shè)計一個證明線段相等的問題4，該問題必需轉(zhuǎn)化證明三角形全等的路徑來解決.化歸與轉(zhuǎn)化思想是指在研究解決數(shù)學問題時，將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而使問題得到解決的一種解題策略.常將待解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，將復雜的問題通過化歸轉(zhuǎn)化為簡單的問題.

3設(shè)計啟示

由于結(jié)合數(shù)學思想的滲透，本節(jié)課設(shè)計時主線明了，層次清晰，在實踐中發(fā)現(xiàn)效果很好.為了設(shè)計有效課堂教學，結(jié)合數(shù)學思想的設(shè)計也是很好的途徑.以下筆者將一些經(jīng)驗和心得，與同仁分享，以期拋磚引玉.

3.1參透課標，解讀教材，挖掘數(shù)學思想

在初中數(shù)學課堂教學里，數(shù)學知識是一條明線，數(shù)學思想是一條暗線，它隱含于知識發(fā)生發(fā)展過程中.教師要參透課標，宏觀把握有關(guān)數(shù)學思想的要求與目標，認真解讀教材，活用教材，挖掘教材中可以滲透的數(shù)學思想.數(shù)學思想的教學，首先需要從對教材的分析入手，挖掘其中蘊含的數(shù)學思想，如本節(jié)課就蘊含五種數(shù)學思想.

3.2新知建構(gòu)，鞏固應用，滲透數(shù)學思想

對于數(shù)學而言，知識的發(fā)生過程，實際上也是數(shù)學思想的發(fā)生過程.如本節(jié)課中，“SAS”判定公理的新知構(gòu)建過程，也就是特殊與一般思想、分類與整合思想的發(fā)生過程.因此，設(shè)計時要考慮到教學過程中滲透數(shù)學思想的時機.如概念的形成過程、結(jié)論的推導過程、方法的選擇過程、思路的探索過程、規(guī)律被揭示過程等，都是滲透數(shù)學思想的極好機會.數(shù)學思想不能機械記憶，也不能只喊“口號”，只有將數(shù)學思想內(nèi)化為數(shù)學思維意識和習慣才有意義.如：通過例題、練習題學習，不僅能進一步加深學生對數(shù)學知識的理解，而且對數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想和建模思想有更加深刻的認識.

3.3課堂小結(jié)，構(gòu)建系統(tǒng)，歸納數(shù)學思想

數(shù)學思想貫穿在整個初中數(shù)學教材的知識中，以隱形的方式蘊含于數(shù)學知識的體系中，教師在教學中，要適時歸納和概括數(shù)學思想.設(shè)計時要設(shè)置一些歸納數(shù)學思想的步驟，設(shè)置有關(guān)歸納數(shù)學思想的問題，并適時地強化，讓學生在腦海中留下深刻的印象.這樣有意識、有目的地結(jié)合數(shù)學基礎(chǔ)知識系統(tǒng)建構(gòu)，歸納數(shù)學思想，可避免單純追求數(shù)學思想教學的問題。

總之，不管是課前設(shè)計，還是課中的實踐，都是為了提高教學效率.教師要樹立讓學生感悟數(shù)學思想的意識，自覺滲透數(shù)學思想；數(shù)學思想要與數(shù)學知識教學中有機結(jié)合，自然滲透數(shù)學思想；數(shù)學思想的教學是一個慢過程，不能急功近利，要循序漸進，反復滲透數(shù)學思想。