豎直上拋運(yùn)動(dòng)的特征與解法例析

華峰

在學(xué)習(xí)物體運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到豎直上拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題，我們不僅要弄清楚其特征，還要開動(dòng)腦筋，拓展解題思路，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和物理規(guī)律，采用靈活多變的解題方法，使問(wèn)題順利得到解決。

一、豎直上拋運(yùn)動(dòng)的特征

將物體以某一初速度豎直向上拋出，在不計(jì)空氣阻力的情況下，物體所做的運(yùn)動(dòng)即為豎直上拋運(yùn)動(dòng)。其特征是：（1）初速度v豎直向上；（2）加速度恒為重力加速度g；（3）具有往返性。所以上拋運(yùn)動(dòng)是初速度為v、加速度為g的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

由于豎直上拋運(yùn)動(dòng)在上升階段速率減小，在下落階段速率增大，有些同學(xué)對(duì)上拋運(yùn)動(dòng)究竟是“加速運(yùn)動(dòng)”還是“減速運(yùn)動(dòng)”弄不清楚，會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問(wèn)：豎直上拋運(yùn)動(dòng)既然是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，那么究竟是速率增大的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，還是速率減小的勻變速直線運(yùn)動(dòng)呢？之所以會(huì)出現(xiàn)這種思維障礙，究其原因是由于沒有弄清楚勻變速直線運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特征所致。

勻變速直線運(yùn)動(dòng)是加速度恒定的變速運(yùn)動(dòng)，即只要加速度的大小、方向保持不變即可。至于是什么樣的變速?zèng)]有限定，加速可以，減速也行，先減速后加速也可以，當(dāng)然沒有先加速后減速的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

此外，有些同學(xué)由于受到一些日常生活中特殊的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的影響，對(duì)諸如汽車關(guān)閉油門后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直到停止，在減速過(guò)程中加速度是恒定的，會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問(wèn)：為什么汽車在停止的瞬間不后退呢？原因在于汽車減速不同于上拋運(yùn)動(dòng)，汽車減速到末速度為零（即停止）的瞬間，滑動(dòng)摩擦變?yōu)殪o摩擦，因?yàn)闆]有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，所以靜摩擦力也變?yōu)榱?，因此汽車的加速度也就為零，使汽車處于平衡狀態(tài)。而上拋運(yùn)動(dòng)物體上升到最高點(diǎn)的瞬間，雖然末速度為零，但加速度沒有任何變化，所以變成反向加速運(yùn)動(dòng)。因?yàn)樯蠏佭\(yùn)動(dòng)具有往返特征，過(guò)程較復(fù)雜，因而學(xué)習(xí)難度大，所以我們有必要對(duì)其進(jìn)行較為深入的理論分析與全面研究。

二、豎直上拋運(yùn)動(dòng)的分段分析

1.上升階段

豎直上拋運(yùn)動(dòng)在上升階段是初速度為v、加速度為g的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，上升到最高點(diǎn)時(shí)末速度為零。若規(guī)定向上為正方向，則由速度公式v=v+at，得0=v-gt，上升時(shí)間為t=。由位移公式x=vt+at，可得上升的最大高度H=v·-g=也可由v=v+2ax，得H=。

2.下落階段

下落階段物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，所以v=gt，h=gt。

當(dāng)t<時(shí)，物體距拋出點(diǎn)的高度H-h=-gt，如圖1。

回到拋出點(diǎn)時(shí)h=H=gt，v=gt，v=g=，H=，即v=v。

上拋物體回到拋出點(diǎn)時(shí)，速度大小等于初速度大小，方向與初速度方向相反。

三、豎直上拋運(yùn)動(dòng)的整體分析

1.在拋出點(diǎn)以上

上拋物體運(yùn)動(dòng)到拋出點(diǎn)以上某一位置A時(shí)，位移大小恒為h，但有向上通過(guò)A點(diǎn)和向下通過(guò)A點(diǎn)兩種情況，如圖2。

由于兩次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)位移不變，關(guān)于時(shí)間t的方程h=vt-gt的解為t=±。

當(dāng)=0時(shí)，t=，即當(dāng)物體在最高點(diǎn)時(shí)，方程只有一個(gè)解，而物體在其他位置時(shí)方程有兩個(gè)解t、t，分別表示上拋物體從拋出點(diǎn)上升到A點(diǎn)所用時(shí)間與下落到A點(diǎn)所用時(shí)間，顯然t-t表示物體兩次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的時(shí)間間隔：t-t===。這個(gè)結(jié)論說(shuō)明了豎直上拋運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要性質(zhì)：上拋運(yùn)動(dòng)兩次經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)的時(shí)間間隔就是從該點(diǎn)以物體經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的速度做豎直上拋運(yùn)動(dòng)并落回該點(diǎn)的總時(shí)間。此即為豎直上拋運(yùn)動(dòng)的平移原理。這一原理在分析豎直上拋運(yùn)動(dòng)時(shí)有獨(dú)特的應(yīng)用。

位移方程h=vt-gt還可化為t-+=0，由韋達(dá)定理可知：t+t=，tt=，而t+t=恰好是物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)并落回拋出點(diǎn)的總時(shí)間（如圖3）。

2.在拋出點(diǎn)以下

做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體，如果回到拋出點(diǎn)后繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，如圖4。

到達(dá)某一點(diǎn)A時(shí)，位移為負(fù)，即-h=vt-gt，

由物理意義可知t只有一解，速度-v=v-gt，v=gt-v，因v>0，方向向下，易得v>v。

四、多種解法例析

1.利用方程求解

例1 一物體在地面上50 m高處做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，初速度為30 m/s，當(dāng)它的位移大小是25 m時(shí)，求物體所經(jīng)歷的時(shí)間是多少。

解析 以初速度方向?yàn)檎较?，?dāng)位移為正時(shí)，即物體在拋出點(diǎn)以上，由位移公式h=vt-gt，得25=30t-×10t，解得t=1 s，t=5 s。

當(dāng)位移為負(fù)時(shí)，-25=30t-×10t，解得t=（3+） s。

由上述計(jì)算結(jié)果可知，t是上拋物體從拋出點(diǎn)直接上升到A點(diǎn)（位移為25 m）的時(shí)間，t是上升到最高點(diǎn)返回到A點(diǎn)（位移仍為25 m）的時(shí)間，t是下落到B點(diǎn)（位移為-25 m）的時(shí)間。

2.利用合比定理巧求解

例2 以初速度v豎直上拋一小球，若不計(jì)空氣阻力，在上升過(guò)程中，從拋出到小球動(dòng)能減少一半所經(jīng)過(guò)的時(shí)間是（ ）。

A.？搖？搖？搖 ？搖？搖B.？搖？搖 ？搖？搖？搖C.？搖？搖 ？搖？搖D.1-

解析 小球動(dòng)能減少一半時(shí)，其上升高度為最大高度的一半。根據(jù)初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律，通過(guò)相同位移的時(shí)間關(guān)系t=t（-），由運(yùn)動(dòng)的可逆性得=。再根據(jù)合比定理可得==1-，所以t=1-。故應(yīng)選D。

3.利用韋達(dá)定理巧求解

例3 豎直上拋一物體，該物體兩次通過(guò)空中某一點(diǎn)的時(shí)間為t和t，試求該點(diǎn)離地面的高度和拋出時(shí)的初速度。

常規(guī)解法 設(shè)該點(diǎn)離地面的高度是h，初速度是v。當(dāng)物體第一次經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)有：

h=vt-gt？搖 ①，

當(dāng)物體經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)后返回通過(guò)該點(diǎn)時(shí)有：

h=vt-gt？搖 ②，

聯(lián)立①、②兩式得vt-gt=vt-gt，

移項(xiàng)并整理得v（t-t）=g（t-t），

運(yùn)用平方差公式將上式展開得v（t-t）=g（t-t）（t+t），

即v=。

將v=代入①得：h=g（t+t）t-gt=gtt+gt-gt=gtt。

利用韋達(dá)定理巧解 因?yàn)樨Q直上拋運(yùn)動(dòng)滿足方程h=vt-gt，

將該式改成t的一元二次方程式：t-t+=0。

顯然通過(guò)h高度時(shí)的t與t是這個(gè)方程的兩個(gè)解，則有t+t=，即v=；

tt=，即h=gtt。

4.巧用極限法求解

例4 在地面上以初速度2v豎直上拋一物體A后，又以初速度v同地點(diǎn)豎直上拋另一物體B，若要使兩個(gè)物體能在空中相碰，則兩個(gè)物體拋出的時(shí)間間隔應(yīng)滿足什么條件？

解析 對(duì)于此類問(wèn)題常規(guī)的求解方法是“極限法”：若時(shí)間間隔Δt極短，則物體B先落地，物體A后落地，欲使物體A、B能在空中相碰，則最短的時(shí)間間隔應(yīng)滿足A與B能夠同時(shí)落地，即Δt>-=；若時(shí)間間隔Δt極長(zhǎng)，則物體A落地后，物體B還未拋出，欲使物體A、B能在空中相碰，則最長(zhǎng)的時(shí)間間隔應(yīng)滿足物體A落地時(shí)物體B即拋出，即Δt>。從而可解出Δt的范圍：<Δt<。

5.巧用不等式求解

例4的上述解法對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)不僅不易理解，而且也不容易想到。

其實(shí)，大多數(shù)同學(xué)在處理此類相遇問(wèn)題時(shí)，會(huì)根據(jù)位移相等列出下面的表達(dá)式：

2vt-gt=v（t-Δt）-g（t-Δt）？搖 ①，

式中t為物體A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，Δt為物體A、B拋出的時(shí)間間隔。絕大多數(shù)同學(xué)會(huì)因?yàn)槭街泻袃蓚€(gè)未知數(shù)而無(wú)從下手。究其原因是上式僅僅利用了題中“相碰”這一條件，而未充分利用“在空中”這一條件。

若把“在空中”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即以拋出點(diǎn)為位移起點(diǎn)，物體A的位移應(yīng)為正值，則對(duì)物體A即有下面的不等式成立：

2vt-gt>0 ②，

由②得0

③式的物理意義很清晰，即物體A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不可能超過(guò)其從拋出到落地的總時(shí)間，也就是說(shuō)②、③兩式對(duì)于“在空中”這個(gè)條件是等效的。

由①解得t=，

代入③式中可以求得<Δt<。

例5 甲物體從離地高度為h處自由落下，同時(shí)在它的正下方的地面上乙物體以速度v豎直上拋，若要乙物體在下落過(guò)程中與甲相碰，求v的取值范圍。

解析 本題可以采用“極限法”求解，如果大家有興趣不妨試著做一做。下面采用不等式法求解。

若它們“相碰”應(yīng)滿足下式：gt+vt-gt=h ①，

“乙物體在下落過(guò)程中”時(shí)間滿足：

或者說(shuō)速度滿足：-v

這里②、③兩式是等價(jià)的。聯(lián)立①、②兩式或①、③兩式都可以得到正確的結(jié)論，即

稍加變形，若要使得乙在上升過(guò)程中與甲相遇，則v的范圍又將如何？不難得出正確答案為v<。

6.利用對(duì)稱性求解

例6 一個(gè)從地面豎直上拋的物體，它兩次經(jīng)過(guò)一個(gè)較低點(diǎn)A的時(shí)間間隔為t，兩次經(jīng)過(guò)一個(gè)較高點(diǎn)B的時(shí)間間隔為t，求A、B之間的距離。

解析 由豎直上拋運(yùn)動(dòng)的平移原理可知，兩次經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的時(shí)間間隔為以v豎直上拋的總時(shí)間。同理，兩次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的時(shí)間間隔為以v豎直上拋的總時(shí)間。若設(shè)物體在A、B兩點(diǎn)的速度分別為v、v，則有t=，t=。

設(shè)A、B間的距離為h，上拋物體從A運(yùn)動(dòng)到B做勻減速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式v-v=-2gh，得h==-=g（t-t）。

通過(guò)對(duì)上述幾例的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，豎直上拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解法靈活性較大，方法也是多種多樣的。只要我們開動(dòng)腦筋，勇于探索，就一定可以找到簡(jiǎn)捷、巧妙的解題方法。