“多邊形內(nèi)角和”教學設計（探究式教學法）

王陸生

一、教學目標

知識與技能：掌握多邊形內(nèi)角和公式；

過程與方法：在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展學生的合情推理能力，逐步養(yǎng)成數(shù)學推理的習慣；

情感、態(tài)度與價值觀：體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增強學習的信心.

二、教學重點

多邊形內(nèi)角和公式的理解和掌握.

三、教學難點

應用多邊形內(nèi)角和公式解決數(shù)學問題.

四、教學工具

備用圖形、課件、課后練習、實物投影.

五、教學方法（探究式教學法）

根據(jù)本節(jié)課的教學目標、教材內(nèi)容以及學生的認知特點，采用啟發(fā)式、探究式教學方法，幫助學生通過觀察和動手，從實踐中獲得知識.整個探究學習的過程充滿了師生之間、學生之間的交流和互動，體現(xiàn)了教師是教學活動的組織者、引導者，而學生才是學習的主體.

六、學習方法

利用學生的好奇心設疑、解疑，組織活潑、有效的教學活動，鼓勵學生積極參與，大膽猜想，使學生在自主探究和合作交流中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容.

七、教學過程

（一）師生對話、合作交流

1. 精選知識點

多邊形內(nèi)角和公式：（n-2）×180°

探究與方法：①教材探究法；②對角線法；③一邊取點法；④內(nèi)部取點法；⑤外部取點法.

師生共同探究第一種方法：教材探究法；留出時間讓學生探究其他四種方法；分組討論與合作交流.

2. 情境創(chuàng)設點

借助三角形內(nèi)角和為180°提出問題，第一步：長方形內(nèi)角和是多少？第二步：正方形內(nèi)角和是多少？第三步：一般四邊形內(nèi)角和是多少？

師生互動：共同完成對一般四邊形的內(nèi)角和探討.針對三角形內(nèi)角和為180°，在解決四邊形問題時經(jīng)常用到，也是證明多邊形內(nèi)角和的基本依據(jù).在此之前，對三角形的內(nèi)角和為180°已經(jīng)進行過詳細的證明，例如：平角法、互補法、周角分半法等證明三角形的內(nèi)角和.

3. 新知切入點

三角形的內(nèi)角和是多少？你能說出長方形和正方形的內(nèi)角和是多少嗎？

多邊形內(nèi)角和公式（n-2）×180°包含三個層次：一是借用三角形內(nèi)角和完成證明過程；二是一般四邊形的內(nèi)角和為360°；三是通過四邊形的內(nèi)角和推導出多邊形的內(nèi)角和公式.

問題探究：（教材八上，21頁思考部分）

我們知道，三角形的內(nèi)角和等于180°，正方形、長方形的內(nèi)角和都等于360°，那么，任意一個四邊形的內(nèi)角和是否都等于360°呢？你能利用三角形內(nèi)角和定理證明四邊形的內(nèi)角和等于360°嗎？

方法一：教材探究法

連接任意一條對角線（圖1），把四邊形分成兩個三角形（教師示范講解）.

教師在示范的基礎(chǔ)上，講解其他可能的證法，引導學生去思考，分組進行合作交流，每個小組派代表到黑板上畫圖，邊講解探究思路，邊書寫證明步驟.這培養(yǎng)了學生的實踐能力，探究能力，合作交流能力，語言表達能力等數(shù)學素養(yǎng)，這也是我這堂課選擇探究教學法的原因所在.下面是學生的探究過程和基本思路.

方法二：（學生甲）對角線法

連接兩條對角線（如圖2），分成四個三角形.

方法三：（學生乙）一邊取點法

在四邊形的任意一邊上取一點，連接各頂點（圖3），分割成三個三角形.

方法四：（學生丙）內(nèi)部取點法

在四邊形內(nèi)部任意取一點，連接各頂點（圖4），組成三角形，問題解決.

方法五：（學生?。┩獠咳↑c法

在四邊形的外部任意取一點，連接各頂點（圖5），組成三角形，問題解決.

問題分析與引領(lǐng)：所有證明方法都根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°來解決，根據(jù)所分割的三角形個數(shù)不同，計算的原理也不同，但最終所得到的結(jié)論是相同的，即四邊形內(nèi)角和為360°.做輔助線的方法與思維過程是難點，如何突破難點是這節(jié)課的難關(guān).學生對于四邊形內(nèi)角和有了認識，利用三角形的內(nèi)角和是解決問題的突破口.

定義：多邊形的內(nèi)角和為：（n-2）×180°

例1（教材22頁）已知：如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關(guān)系？

解：如上圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，

∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=180°.

這就是說，如果四邊形的一組對角互補，那么另一組對角也互補.

例2：（教材23頁）在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少？

根據(jù)學生情況及課堂時間的調(diào)控，可選擇兩種方法給予證明、講解.（此題作為備用）

此處可選習題：十二邊形的內(nèi)角和是多少？一個多邊形的內(nèi)角和是2 700°，求這個多邊形的邊數(shù).

借助動畫展示讓學生更好地理解外角的度數(shù).身體轉(zhuǎn)動的度數(shù)正好是一周，一周正好是360°.體現(xiàn)數(shù)學來源于生活，應用于生活，從身邊的實際例子入手解決數(shù)學問題.（根據(jù)課堂時間情況，也可以將其作為下節(jié)課研究內(nèi)容）

多邊形內(nèi)角和公式：（n-2）×180°

利用三角形的內(nèi)角和與四邊形的內(nèi)角和解決了多邊形內(nèi)角和問題，使學生對多邊形有了新的認識，同時，學生對于輔助線的作法與表達也有了很大的突破，不同學生有不同的收獲.

對于一題多解、一題多變、一題多想的數(shù)學思想，學生還有待于加強，在今后的學習中多練、多講，提高學生的應變能力.

本節(jié)課涉及到的引輔助線的方法，可以概括稱為“構(gòu)造三角形”法，在以后的學習中還會用到.

（二）新知檢測題（略）

八、教學反思

（一）問題設計的有效性

1.所設計的問題應遵循規(guī)律，成為感知數(shù)學的一種方法.

三角形內(nèi)角和的求證方法是通過數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想，把三角形的三個角轉(zhuǎn)移到一個平角或互補的情況中，讓學生從最原始的狀態(tài)了解數(shù)學、理解方法.在此基礎(chǔ)上探究四邊形的內(nèi)角和，體現(xiàn)問題設計的有效性.

2.所設計的問題應貼近生活，成為體驗數(shù)學的一種工具.

長方形、正方形是學生所熟悉的圖形，貼近生活，能夠調(diào)動學生的主動性，達到解決問題的目的.

（二）探究性學習的有效性

1.創(chuàng)設有效的探究氛圍；2.構(gòu)建有效的探究平臺；3.明晰有效的探究過程.探究四邊形內(nèi)角和就是給學生探究問題的空間，通過合作與交流得出一般四邊形內(nèi)角和的求證方法.所選取的點的位置不同，解題的方法也不同，學生通過積極思考點的位置關(guān)系，形成全體參與的平臺.

（三）對學生思維培養(yǎng)的有效性

1.精心設置懸念，促成思維定向；2.調(diào)動多種感官，推動思維訓練；3.強化整體訓練，培養(yǎng)雙向思維；4.發(fā)揮主導作用，把握思維方向.確定多邊形的內(nèi)角和公式的方法仍然是解決四邊形問題的一種方法，讓學生從不同角度，不同渠道去思考、去探究，達到學習數(shù)學的目的.

整節(jié)課雖然讓學生通過動手操作體驗了多邊形內(nèi)角和定理的形成過程，但在具體的課堂實施時還存在一些不足：1.本節(jié)課過多著眼于課堂形式的多樣化及學生能力（如合作、探究、交流等）的培養(yǎng)，而忽視了教學中最重要的知識點的落實.學生做練習題的機會不多，時間偏少.學生沒有板演的機會.2.雖然本著以學生為本的原則，但是沒有兼顧個體差異，基礎(chǔ)較弱的學生也許不能真正理解并運用多種方法求多邊形的內(nèi)角和的思想.