品味例題走進(jìn)“二次元”世界

張曉東

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教材是我們的立足之本，每個(gè)例題不僅僅是知識(shí)內(nèi)容的載體，其背后還蘊(yùn)含著一些數(shù)學(xué)思想方法.我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過程中，要學(xué)會(huì)對(duì)書本上例題有進(jìn)一步的思考、反思，從中提煉出解決一類問題的策略、方法.本文從教材中一道二次函數(shù)應(yīng)用題出發(fā)，和大家一起品味例題，走進(jìn)一元二次方程和二次函數(shù)的世界.

原題呈現(xiàn)：蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第8頁第5題

如圖1，用50m長的護(hù)欄圍成一塊靠墻的矩形花園，試寫出花園的面積y（m2）與邊長x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】本題首先要弄清楚兩點(diǎn)：第一，50m的護(hù)欄長，從圖中看就是三條線段AB+BC+CD=50，在知道BC=x后，可用含字母x的代數(shù)式表示得到AB=CD=[12]（50-x）；第二，要寫出矩形面積與邊長之間的函數(shù)關(guān)系式，只要知道AB的長，利用公式就可以列出.

解：當(dāng)BC=x時(shí)，則AB=CD=[12]（50-x），

所以y=[12]（50-x）x=-[12]x2+25x.

此時(shí)x的取值范圍為：0

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析清楚可知和需知，根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，最后要注意自變量x的取值范圍.

【拓展一】問題條件不變，問矩形面積能否等于313m2？

【分析】本題有兩種方法：一種是利用一元二次方程根的判別式解決，另一種是利用二次函數(shù)的最大值解決.

解法一：由題意得：-[12]x2+25x=313，

即x2-50x+626=0，Δ=-4<0.

所以此方程無解.

這就是說矩形花園的面積不可能等于313m2.

解法二：對(duì)y=-[12]x2+25x進(jìn)行配方，得：

y=-[12]（x-25）2+312.5.

故矩形花園面積的最大值是312.5，也就不可能取到大于312.5的值.

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確確定二次函數(shù)關(guān)系式，把面積最大值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)來求.

【拓展二】如圖2，用50m長的護(hù)欄圍成一塊靠墻的矩形花園，墻的長度為20m，試寫出花園的面積y（m2）與邊長x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出花園的最大面積.

【分析】矩形面積y與邊長x之間的函數(shù)關(guān)系式?jīng)]有變化.但要注意到因?yàn)槭軌﹂L為20m這個(gè)條件的限制，自變量x的取值范圍變化了，從而在求面積的最大值時(shí)，x的值取不到頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)25.所以面積的最大值也就不再是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)了.

解：當(dāng) BC=x時(shí)，則AB=CD=[12]（50-x），

所以y=[12]（50-x）x=-[12]x2+25x.

此時(shí)x的取值范圍為：0

對(duì)y=-[12]x2+25x進(jìn)行配方，得：

y=-[12]（x-25）2+312.5.

此時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=25，在自變量取0

所以，當(dāng)x=20時(shí)，矩形面積有最大值，最大值為300m2.

【點(diǎn)評(píng)】在解決最大最小值問題中，函數(shù)方法是常用方法，一般情況下最值在頂點(diǎn)取到，但在實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候受自變量取值范圍的限制，其最值可能在左端點(diǎn)或右端點(diǎn)取到.必要時(shí)可以畫出函數(shù)的草圖解決.

【拓展三】如圖3，矩形花園一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍的柵欄的總長度是19m.（1） 若花園的面積是24m2，求AB邊的長度是多少？（2）若只利用這些柵欄將如圖所示的矩形花園分隔成兩個(gè)有一邊相鄰的矩形花園，且圍成的總面積最大，求兩個(gè)矩形花園公共邊的長.

【分析】第（1）小題列出一元二次方程，應(yīng)該能比較快地解決.第（2）小題的題型應(yīng)該是常規(guī)問題，也就是列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)解決，但因?yàn)闆]有明確如何分隔，可以是橫向也可以縱向，所以本題要分類討論.

解：（1） 設(shè)AB=x，則BC=19-2x.

由題意得：x（19-2x）=24.

∴x1=8，x2=[32].

答：AB邊的長是8m或[32]m.

（2） ①當(dāng)隔欄垂直墻時(shí)，

設(shè)隔欄長為xm，則平行墻的圍欄長（19-3x）m.

花圃面積S=x（19-3x），即S=-3x2+19x.

當(dāng)x=[196]時(shí)，Smax=[36112].

②當(dāng)隔欄平行墻時(shí)，

設(shè)隔欄長為xm，則垂直墻的圍欄長[19-2x2]m.

花圃面積S=x·[19-2x2]，即S=-x2+[192]x.

當(dāng)x=[194]時(shí)，Smax=[36116].

綜上所述，當(dāng)隔欄垂直墻時(shí)，Smax=[36112].

【拓展】對(duì)于此題的解決還可以設(shè)BC=x來解決，但這樣會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，運(yùn)算起來相對(duì)麻煩些.問題還可以拓展到繼續(xù)分割成三個(gè)、四個(gè)甚至更多個(gè)矩形來考慮.

通過對(duì)一個(gè)問題的深入思考挖掘進(jìn)行拓展、演變和延伸，才能讓我們“回頭是岸”，脫離“題?！?，帶大家進(jìn)入數(shù)學(xué)的美妙世界.

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實(shí)驗(yàn)中學(xué)）