競爭學(xué)習(xí)的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的模糊辨識(shí)

王宏偉，連 捷

(大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，116024 遼寧 大連)

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競爭學(xué)習(xí)的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的模糊辨識(shí)

王宏偉，連 捷

(大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，116024 遼寧 大連)

在實(shí)際非線性系統(tǒng)中，由于資源的限制，使得輸入信號(hào)快速刷新，輸出信號(hào)慢速采樣.利用獲得的非均勻采樣數(shù)據(jù)對(duì)原非線性系統(tǒng)辨識(shí)存在一定困難.為此，通過提升技術(shù)，把非線性系統(tǒng)的多個(gè)特征點(diǎn)局部的線性模型轉(zhuǎn)化為模糊模型的后件線性模型.在此基礎(chǔ)上，提出基于競爭學(xué)習(xí)和遞推梯度下降方法的辨識(shí)算法.通過定理證明:輸入信號(hào)在持續(xù)激勵(lì)條件下，模糊模型的參數(shù)能夠一致性收斂;針對(duì)化工pH中和過程非線性系統(tǒng)，采用非均勻采樣數(shù)據(jù)，建立其模糊模型,通過實(shí)際數(shù)據(jù)與模糊模型輸出數(shù)據(jù)誤差對(duì)比，表明了實(shí)際系統(tǒng)在非均勻采樣條件下，模糊辨識(shí)能夠建立其過程模型，驗(yàn)證了提出方法的有效性.

競爭學(xué)習(xí)；模糊辨識(shí)；多采樣率系統(tǒng)；非均勻采樣；非線性系統(tǒng)

非均勻多采樣率系統(tǒng)是工業(yè)控制中很重要的一類系統(tǒng)，受各種條件的限制，例如，時(shí)基抖動(dòng)、人工采樣、數(shù)據(jù)丟失或傳輸延遲等，系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)分別采用不同的非均勻采樣頻率.在實(shí)際系統(tǒng)中，如果輸入信號(hào)采用了快速刷新周期信號(hào)，輸出信號(hào)采用了慢速周期采樣信號(hào)，且輸出信號(hào)采樣周期等于輸入信號(hào)刷新更新周期(框架周期)的系統(tǒng)，這類特殊的非均勻采樣系統(tǒng)，屬于多采樣率系統(tǒng)的一種.

針對(duì)非均勻周期采樣的離散線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[1-3]針對(duì)含有白噪聲和有色噪聲的非均勻采樣線性系統(tǒng)，分別采用輔助模型和提升技術(shù)，解決了其辨識(shí)問題，并對(duì)算法的收斂性進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[4]基于遞階辨識(shí)原理，利用非均勻周期采樣系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，解決了輸入信號(hào)為多變量的非均勻采樣線性系統(tǒng)建模問題； 文獻(xiàn)[5]使用提升方法構(gòu)造了多率系統(tǒng)的模型，并參考了文獻(xiàn)[6-7]子空間辨識(shí)建模方法.此外，針對(duì)非均勻采樣線性系統(tǒng)，一些研究者還在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)辨識(shí)[8]，系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)[9]，廣義預(yù)測控制[10-11],信號(hào)處理[12-13],故障診斷[14]等領(lǐng)域給出了新的研究結(jié)果.

本文從模糊模型出發(fā)，研究非線性系統(tǒng)在非均勻采樣條件下的辨識(shí)問題.首先，在非均勻采樣情況下，描述了非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的離散模型，建立了非線性系統(tǒng)和線性系統(tǒng)之間的聯(lián)系; 其次，在上述關(guān)系的基礎(chǔ)上，將提升變量作為模糊模型的輸入變量，建立非均勻多采樣率非線性系統(tǒng)的模糊模型；然后，利用競爭學(xué)習(xí)和遞推梯度下降算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)辨識(shí)和參數(shù)辨識(shí).通過定理證明，輸入信號(hào)在遍歷和持續(xù)激勵(lì)條件下，模糊模型參數(shù)能夠一致收斂；化工pH中和過程是一個(gè)非常復(fù)雜的非線性過程，采用現(xiàn)場的非均勻采樣數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行模糊建模，證明了所提方法是有效的.

1 模糊模型的建立

1.1 問題描述

假設(shè)x(t)∈Rn,y(t)∈Rl,u(t)∈Rl.考慮連續(xù)的非線性函數(shù)

式中的控制量滿足如下關(guān)系

利用提升技術(shù)，構(gòu)造提升向量為

此時(shí)，可將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)換如下離散系統(tǒng)，即

(1)

1.2 線性模型與非線性模型的關(guān)系

首先，考慮Sc是線性系統(tǒng)的情況，即

(2)

式中：x(t)∈Rn為狀態(tài)向量；u(t)∈R1為控制輸入；y(t)∈R1為系統(tǒng)輸出；Ac、Bc、C分別為適當(dāng)維數(shù)的矩陣.由問題描述可知，量測的采樣數(shù)據(jù)分別為u(kT+ti),i=0,1,2,…,p-1和y(kT).在一個(gè)幀周期T內(nèi)對(duì)式(2)進(jìn)行離散化為

(3)

引入后移算子z-1，滿足z-1u(kT+ti)=u(kT+ti-T),或前移算子z，滿足zx(kT)=x(kT+T)，由式(3)可得

(4)

式中In為n階單位矩陣，式(4)也可以表示為有理分式的形式：

其中

a(z-1)=z-ndet[zIn-A]=1+a1z-1+a2z-2+…+anz-n，aj∈R1,

b0(z-1)=b00z0+b01z-1+b02z-2+…+b0nz-n，b0j∈R1，b00=0,

bi(z-1)=bi1z-1+bi2z-2+…+binz-n，bij∈R1，

i=1,2,…,p-1;j=1,2,…,n.

對(duì)于式(1)，它與線性系統(tǒng)式(3)的關(guān)系是：非線性系統(tǒng)可以看作其有多個(gè)平衡點(diǎn)，多個(gè)平衡點(diǎn)的非線性特性可以用局部線性模型式(3)來近似，那么整個(gè)非線性系統(tǒng)模型可以用局部線性模型式(3)經(jīng)過多個(gè)非線性加權(quán)函數(shù)的組合來表示，即

(5)

其中

φ(kT)=[y(kT-T),…,y(kT-nT),u(kT-T),…,u(kT-nT),u(kT+t1-T),…,u(kT+t1-nT),…,u(kT+tp-1-T),…,u(kT+tp-1-nT)]T,

(6)

fl[φ(kT)]為第l個(gè)非線性加權(quán)函數(shù)；gl[φ(kT)]為非線性系統(tǒng)在第l個(gè)平衡點(diǎn)處局部線性模型.對(duì)于式(5)而言，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、模糊模型、支持向量機(jī)模型等都可以拓展成類似的形式.

1.3 模糊模型的確定

對(duì)于非線性系統(tǒng)式(1)，在進(jìn)行非均勻采樣后，其模糊模型為

(7)

式中:Fl為第l條規(guī)則下的模糊集合;μl[φ(kT)]為Fl模糊集合的隸屬度函數(shù)；c為采用模糊規(guī)則的總數(shù)；φ(kT)為第kT時(shí)刻采樣樣本；al(z-1)、bli(z-1)滿足al(z-1)=1+al1z-1+al2z-2+…+alnz-n，bli(z-1)=bli1z-1+bli2z-2+…+blinz-n，blij∈R1，(i=0,1,2,…,p-1；j=1,2,…,n；l=1,2,…,c).

對(duì)于模糊模型式(7)，還可以表示為如下形式：

Rl:ifφ(kT)屬于Fl，then

(8)

最后，模型總輸出為

(9)

2 模糊模型的辨識(shí)

2.1 基于競爭學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)辨識(shí)

競爭學(xué)習(xí)也是一種聚類方法，在文獻(xiàn)[15]中給予了介紹，該算法表示如下.

2) 每一采樣樣本其隸屬度計(jì)算為

其中η是學(xué)習(xí)系數(shù).

2.2 模糊模型的參數(shù)辨識(shí)

對(duì)于式(9)，辨識(shí)目的是根據(jù)采樣數(shù)據(jù){u(kT+ti-1),y(kT)}，(i=1,2,…,p;k=1,2,…,N)，確定模糊模型參數(shù)alj和blij.為此，首先定義如下參數(shù)向量：

θ1=[a11,a12,…，a1n,b101,…,b10n,…,b1p-11,b1p-12,…,b1p-1n]T∈Rn0,

…

θc=[ac1,ac2,…,acn,bc01,…,bc0n,…,bcp-11,bcp-12,…,bcp-1n]T∈Rn0，

(n0=(p+1)×n).

模糊模型的輸入向量為：

μ1(kT)u(kT+tp-1-nT)]T,

…

ψc(kT)=[-μc(kT)y(kT-T),…,-μc(kT)y(kT-

nT),μc(kT)u(kT-T),…,μc(kT)u(kT-

nT),…,μc(kT)u(kT+tp-1-T),…,

μc(kT)u(kT+tp-1-nT)]T.

這樣，式(9)可以寫成線性回歸形式，由于系統(tǒng)總是含有噪聲的，因此模糊模型最后輸出可以表示為

(10)

通過競爭學(xué)習(xí)得到聚類中心和隸屬度函數(shù).模糊模型的后件參數(shù)可以采用隨機(jī)梯度算法來確定，算法如下：

(11)

(12)

(13)

2.3 性能分析

為了說明式(11)～(13)算法的收斂性，給出如下引理.

證明 參見文獻(xiàn)[11,16]，此處略.

引理3 下列不等式成立:

根據(jù)式(13)的r(kT)定義，并且r(kT)是遞增的，很容易證明上述引理.

定理1 對(duì)于式(10)，假定噪聲信號(hào)v(kT)是定義在概率空間(Ω,F,P)上的鞅差序列，對(duì)于遞增σ代數(shù)序列{FkT,k∈N}，其在kT時(shí)刻可觀測到，并滿足條件：

證明 由于論文篇幅的限制，此處略.

3 仿真實(shí)例

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，對(duì)化工非線性對(duì)象pH的中和過程進(jìn)行研究.pH控制系統(tǒng)的中和反應(yīng)過程，如圖1所示[17].

圖1 pH中和反應(yīng)過程

圖1中，酸液、緩沖液、堿液在反映池內(nèi)發(fā)生中和反應(yīng)，其溶液為：酸液HNO3；緩沖液NaHCO3；堿液NaOH，堿液NaHCO3.q1、q2、q3分別是酸液、緩沖液、堿液化學(xué)液劑的流量；q4是輸出液的流量；pH4是輸出液pH的測量值;Wa1、Wa2、Wa3、Wa4分別是這些化學(xué)液劑的電荷平衡因子；Wb1、Wb2、Wb3、Wb4分別是這些化學(xué)液劑的物料平衡因子.

用堿流q3作為控制量u，p=2，t1=τ1=1.0 min，τ2=1.5 min，T=τ1+τ2=2.5 min.輸出液pH測量值作為輸出量y.選y(kT-T)、y(kT-2T)、u(kT-T)、u(kT-2T)、u(kT+t1-T)和u(kT+t1-2T)構(gòu)成向量φ(kT).取模糊模型的規(guī)則數(shù)c=6，模糊模型具體形式如下：

Rl:ifφ(kT) 屬于 Fl，then

y(kT)=-al1y(kT-T)-al2y(kT-2T)+

bl01u(kT-T)+bl02u(kT-2T)+

bl11u(kT+t1-T)+bl12u(kT+t1-2T)，

(l=1,2,…,6).

從現(xiàn)場得到60個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行競爭學(xué)習(xí)，建立pH控制系統(tǒng)的中和反應(yīng)過程的模糊模型.仿真結(jié)果如下：圖2給出了模糊模型的輸出和實(shí)際輸出結(jié)果的比較；圖3為誤差比較曲線，均方差為0.155，顯然模糊模型能夠很好反映pH控制系統(tǒng)的中和反應(yīng)非線性非均勻采樣過程，具有計(jì)算簡便、建模方便、高效的特點(diǎn).

圖2 模糊模型的輸出和實(shí)際輸出結(jié)果的比較

圖3 誤差比較曲線

4 結(jié) 論

1)利用競爭學(xué)習(xí)確定模糊模型的前件結(jié)構(gòu)；通過隨機(jī)梯度算法確定模糊模型的后件參數(shù)；通過定理和引理證明了模糊辨識(shí)算法的收斂性能.通過化工過程pH中和非均勻采樣過程研究，證明了所提出方法有效性.

2)對(duì)于含有框架周期，輸入信號(hào)的刷新時(shí)間不確定、隨機(jī)的、非均勻采樣的非線性系統(tǒng)的辨識(shí)(這種情況在網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，工業(yè)系統(tǒng)中，也是經(jīng)常出現(xiàn)的)仍是困難的，主要困難表現(xiàn)在，由于輸入信號(hào)的刷新時(shí)間不確定，使得系統(tǒng)離散模型難于建立，因此不能采用基于離散模型的方法辨識(shí).

[1] 劉艷君, 謝莉, 丁鋒. 非均勻采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的AM-RLS辨識(shí)方法及仿真研究[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2009, 21(19): 6186-6189.

[2] XIE L, LIU J, YANG H Z, et al. Modelling and identification for non-uniformly periodically sampled-data systems[J]. IET Control Theory and Applications, 2010, 4(5): 784 -794.

[3] DING Feng, LI Qiu, CHEN Tongwen. Reconstruction of continuous-time systems from their non-uniformly sampled discrete-time systems[J]. Automatica, 2009, 45(2): 324-332.

[4] 丁鋒, 陳通文, 蕭德云. 非均勻周期采樣多率系統(tǒng)的一種辨識(shí)方法[J]. 電子學(xué)報(bào), 2004, 32(9): 1414-1420.

[5] LI Weihua, HAN Zhengang, SHAH S L. Subspace identification for FDI in systems with non-uniformly sampled multirate data[J]. Automatica, 2006, 42(4): 619 - 627.

[6] VERHAEGEN M. Identification of the deterministric part of MIMO state space models given in innovations from input-output data[J]. Automatica, 1994, 30(1): 61-74.

[7] Van OVERSCHEE P, De MOOR B. N4SID: subspace algorithm for the identification of combined deterministic-stocastic system[J]. Automatica, 1994, 30(1): 75-93.

[8] WANG Jiandong, ZHENG Weixing, CHEN Tongwen. Identification of linear dynamic systems operating in a networked environment[J]. Automatica, 2009, 45 (12): 2763-2772.

[9] 蔣紅霞, 丁鋒. 一類非均勻采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)[J] . 科學(xué)技術(shù)與工程, 2008, 8(2) : 513-514.

[10]SHENG Jie, CHEN Tongwen, SHAH S L. Generalized predictive control for nonuniformly sampled systems[J]. Journal of Process Control, 2002, 12(8): 875-885.

[11]SHENG Jie, CHEN Tongwen, SHAH S L. Generalized predictive control for non-uniformly sampled systems[J] . Journal of Process Control, 2002, 12(8) :875-885.

[12]KAZAKOV, V A. Non-uniform sampling and reconstruction of stochastic processes with the limited number of samples[J]. WSEAS Transactions on Systems, 2006, 5(8): 1777-1784.

[13]LUO Junyi, LEI Lin. Periodic non-uniform sampling for sparse signals in shift-invariant spaces[J]. International Journal of Hybrid Information Technology, 2015, 8(12): 421-432.

[14]WAN Yiming, WANG Wei, YE Hao. Discrete time-varying fault detection filter for non-uniformly sampled-data systems[J]. Science China Information Sciences, 2014, 57(3): 1-11.

[15]CHUN F L, LEE T. Fuzzy competitive learning[J]. Neural Networks, 1994, 7(3): 539-551.

[16]GOODWIN G C, SIN K S. Adaptive Filtering Prediction and Control[M]. New York, NY: Dover Publications, Inc, 1984.

[17]張智煥, 王樹青. 基于多模型pH非線性過程的預(yù)測控制[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2002, 36(1): 29-31.

(編輯 張 紅)

Fuzzy identification of non-uniformly multirate sampled nonlinear systems based on competitive learning

WANG Hongwei，LIAN Jie

(School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, 116024 Dalian, Liaoning, China)

In practical nonlinear system, due to the limitation of resources, the input signal is quickly refreshed, while the output signal is slowly sampled. Thus, it is difficult to identify the original nonlinear system by using the sampled data. For this purpose, the linear models of multiple characteristic points of nonlinear system are transformed into a series of consequent linear models of the fuzzy model by the lifting technique. On this basis, we propose a fuzzy identification algorithm based on competitive learning and recursive gradient descent method. And we prove that the parameters of the fuzzy model can be uniformly convergent under the condition of persistent excitation. In view of chemical pH neutralization process, the fuzzy model of the chemical system is established by using non-uniformly sampled data. By comparing the output errors between the actual data and the output data of the fuzzy model, it is shown that the fuzzy identification method can establish the process model in the real system under the condition of non-uniform sampling, which verifies the validity of the proposed method.

competitive learning; fuzzy identification; multi-rates sampling systems; non-uniformly sampled; nonlinear systems

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.04.018

2014-10-20.

國家自然科學(xué)基金(61004040).

王宏偉(1969—),男,副教授，碩士生導(dǎo)師;

連 捷(1980—),女,副教授,博士生導(dǎo)師.

王宏偉, wanghw@dlut.edu.cn.

TP273

A

0367-6234(2016)04-0109-05