傳統(tǒng)三段論的形式化和公理化研究

張曉君，李晟

（四川師范大學(xué)邏輯與信息研究所，四川成都610068）

傳統(tǒng)三段論的形式化和公理化研究

張曉君，李晟

（四川師范大學(xué)邏輯與信息研究所，四川成都610068）

利用廣義量詞理論對四個亞里斯多德量詞的真值定義，可以對傳統(tǒng)三段論進(jìn)行形式化。在AAA-1和EAE-1這兩個公理的基礎(chǔ)上，利用四個亞里斯多德量詞的單調(diào)性之間的可轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以對傳統(tǒng)三段論進(jìn)行公理化。這些創(chuàng)新性成果，對于自然語言信息處理以及計(jì)算機(jī)科學(xué)中的知識表示和知識推理，都有著重要的理論意義和實(shí)踐價值。

廣義量詞理論；傳統(tǒng)三段論；亞里斯多德量詞；形式化；公理化

一、引言

亞里斯多德學(xué)派認(rèn)為，根據(jù)第一格AAA式（簡記為AAA-1）三段論和第一格EAE式（簡記為EAE-1，其他類似）三段論的有效性，可以推出除了預(yù)設(shè)主項(xiàng)存在的三段論以外的其他所有的有效的傳統(tǒng)三段論[1]228。為此，他們主要利用換位法、歸謬法和顯示法等方法對其進(jìn)行了非形式化的論證[2]94?！霸谖覈Z言學(xué)界和計(jì)算語言學(xué)界，缺乏語義分析的形式化成為中文信息處理的瓶頸問題”[3]。那么，我們是否可以對亞里斯多德學(xué)派的這一結(jié)論進(jìn)行形式化的證實(shí)或證偽呢？如若能夠證實(shí)的話，那么，這一創(chuàng)新性成果將為傳統(tǒng)三段論建立起一個形式化和公理化的推理系統(tǒng)。由于絕大部分的自然語言推理（包括漢語推理）都可以用傳統(tǒng)三段論或廣義三段論（也叫擴(kuò)展三段論）來加以形式化，并判斷其是否有效[4]155～202，在對量化表達(dá)式的語義進(jìn)行準(zhǔn)確分析的基礎(chǔ)上，對自然語言語句傳達(dá)的信息進(jìn)行準(zhǔn)確的形式化刻畫，是自然語言走向人工智能的第一步[5]，因此，對傳統(tǒng)三段論進(jìn)行形式化和公理化，是一項(xiàng)十分有趣而且富有意義的工作，其研究成果將有利于自然語言處理（包括中文信息處理），以及計(jì)算機(jī)科學(xué)中的知識表示和知識推理。

本文的中心目的就是：在對傳統(tǒng)三段論進(jìn)行形式化的基礎(chǔ)上，對傳統(tǒng)三段論進(jìn)行公理化。其研究思路和研究方法再一次證實(shí)了：（1）邏輯學(xué)研究重心已經(jīng)轉(zhuǎn)向多學(xué)科交叉融合的互動研究[6]；（2）邏輯學(xué)的形式化研究存在多元化進(jìn)路[7]；（3）為了適應(yīng)信息時代和人工智能時代的到來，現(xiàn)代邏輯正在對大范圍的信息進(jìn)行形式化的轉(zhuǎn)換[8]。

《基于廣義量詞理論的亞氏三段論》一文，從廣義量詞理論（generalized quantifiers theory）的視角證明了：不同傳統(tǒng)三段論之間的可化歸性，本質(zhì)上反映了all、some、no和not all這四個亞里斯多德量詞（簡稱亞氏量詞）與其三種否定量詞的單調(diào)性、對稱性等語義性質(zhì)之間的關(guān)系的可轉(zhuǎn)換性[4]176～177。由于三段論AAA-1的有效性表征了all的右單調(diào)遞增性，而三段論EAE-1的有效性表征了no的左單調(diào)遞減性，而且從一個亞氏量詞的單調(diào)性和對稱性，就可推出其三種否定量詞的單調(diào)性和對稱性[9]，可見，要對傳統(tǒng)三段論進(jìn)行形式化和公理化，還需要從廣義量詞理論談起。

二、相關(guān)基礎(chǔ)知識

20世紀(jì)50年代以來，為了解釋傳統(tǒng)三段論形式以外的大量的有效推理，拓展一階邏輯的表達(dá)力，提升計(jì)算機(jī)處理自然語言的能力，邏輯學(xué)家開始對一階邏輯中量詞加以擴(kuò)展，引入了廣義量詞[10]482～525。廣義量詞包括：（1）一階邏輯的全稱量詞?和存在量詞?；（2）限定詞；（3）由限定詞a、an、the或其他量化關(guān)系指稱所組成的所有名詞短語[11]。比如“正好三個蘋果”、“他的手機(jī)”、“所有的樹木”、“沒有”、“兩者都不”、“幾個”、“兩打的”、“超過三分之二的”、“大多數(shù)的”、“不到一半的”等等都是廣義量詞。嚴(yán)格地說，對自然語言中的名詞短語或限定詞進(jìn)行語義解釋后，才能夠得到集合論中的廣義量詞，即：名詞短語或限定詞的指稱對應(yīng)于廣義量詞[12]25。

廣義量詞理論的代表作主要有：Barwise和Cooper（1981）[13]、Keenan（1997）[14]、Peters和Westerst?hl（2006）[15]、Szymanik（2009）[16]、Moss（2010）[17]和Chow Ka Fat（2012）[18]等。此理論的基本思想就是：利用廣義量詞的真值定義，來揭示廣義量詞所涉及的論元集合的性質(zhì)或不同論元集合之間的關(guān)系，從而彰顯自然語言中的廣義量詞的普遍語義性質(zhì)及其推理特征[4]28。在本文中，Q表示廣義量詞，S、M、P表示論元的集合，E表示論域，符號“?”表示“蘊(yùn)涵”。

廣義量詞可分為：〈1〉類型量詞、〈1，1〉類型量詞、〈1，1，1〉類型量詞、〈1，2〉類型量詞等等，前兩種類型的量詞是自然語言中最常見的[4]43。常見名詞短語一般對應(yīng)于〈1〉類型量詞，大多數(shù)限定詞一般對應(yīng)于〈1，1〉類型量詞[15]11～12。亞氏量詞就是〈1，1〉類型的廣義量詞，它揭示了表示廣義量詞的左論元與右論元所涉及集合之間的二元關(guān)系[19]。以〈1，1〉類型量詞開頭的語句都具有QE（S，P）這樣的三分結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)在自然語言中普遍存在。例如：“所有男孩子都貪玩”和“沒有男孩子貪玩”，可以分別表示成allE（S，P）和noE（S，P）這樣的三分結(jié)構(gòu)。其中，all和no分別表示亞氏量詞“所有”和“沒有”，S表示論域E中男孩子組成的集合，P表示論域E中貪玩的個體組成的集合。在廣義量詞理論中，all和no的真值定義分別為：allE（S，P?S?P?E和noE（S，P）?S∩P=?，前者表示集合S包含于集合P，而后者表示集合S和集合P的交集為空集。

一個廣義量詞Q有三種否定形式[4]54～57，即，外否定（outer negation）┓Q、內(nèi)否定（inner negation）Q┓、對偶（dual）否定Qd，其定義如下：

定義1〈1，1〉類型量詞的三種否定運(yùn)算

令E是任意的論域，且S，P?E，對〈1，1〉類型量詞Q而言：

（1）（┓Q）E（S，P）?not QE（S，P）；

（2）（Q┓）E（S，P）?QE（S，E-P）；

（3）（Qd）E（S，P）?┓（Q┓）E（S，P）?（┓Q）E┓（S，P）。

對于四個亞氏量詞而言，all與not all是互為外否定，no與some也是互為外否定；no與all是互為內(nèi)否定，some與not all也是互為內(nèi)否定；some與all是互為對偶否定，no與not all也是互為對偶否定。

廣義量詞的主要性質(zhì)有：同構(gòu)閉包性、擴(kuò)展性、單調(diào)性、駐留性、相交性、對稱性以及邏輯性[15]。單調(diào)性是廣義量詞最為重要的語義性質(zhì)和推理性質(zhì)。本文將用到的單調(diào)性和對稱性定義如下：

定義2令QE是任意的〈1，1〉類型量詞，E是任意的論域，且M，S，P?E

（1）QE是右單調(diào)遞增的（簡記為Mon↑），當(dāng)且僅當(dāng)：若P?M?E，則QE（S，P）?QE（S，M）；

（2）QE是右單調(diào)遞減的（簡記為Mon↓），當(dāng)且僅當(dāng)：若P?M?E，則QE（S，M）?QE（S，P）；

（3）QE是左單調(diào)遞增的（簡記為↑Mon），當(dāng)且僅當(dāng)：若S?M?E，則QE（S，P）?QE（M，P）；

（4）QE是左單調(diào)遞減的（簡記為↓Mon），當(dāng)且僅當(dāng)：若S?M?E，則QE（M，P）?QE（S，P）。

定義3一個〈1，1〉類型的廣義量詞Q是對稱的[15]206～214，當(dāng)且僅當(dāng)，對所有的論域E和所有的S，P?E而言，QE（S，P）?QE（P，S）。

廣義量詞的單調(diào)性與它的三種否定量詞┓Q、Q┓和Qd的不同單調(diào)性之間，有著可以相互轉(zhuǎn)換的關(guān)系，具體的轉(zhuǎn)換關(guān)系可參見下面的單調(diào)性關(guān)系定理1，定理1的部分證明可以參見Peters and Westerst?hl[15]170～171。

單調(diào)性關(guān)系定理1[20]對于一個〈1，1〉類型量詞Q而言：

（1）Q是Mon↑，當(dāng)且僅當(dāng)，┓Q是Mon↓；（2）Q是Mon↑，當(dāng)且僅當(dāng)，Q┓是Mon↓；

（3）Q是Mon↑，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是Mon↑；（4）Q是Mon↓，當(dāng)且僅當(dāng)，┓Q是Mon↑；

（5）Q是Mon↓，當(dāng)且僅當(dāng)，Q┓是Mon↑；（6）Q是Mon↓，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是Mon↓；

（7）Q是↑Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，┓Q是↓Mon；（8）Q是↑Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，Q┓是↑Mon；

（9）Q是↑Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是↓Mon；（10）Q是↓Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，┓Q是↑Mon；

（11）Q是↓Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，Q┓是↓Mon；（12）Q是↓Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是↑Mon。

具體地說，四個亞氏量詞的單調(diào)性及其相互關(guān)系如圖1[20]。

（圖1）四個亞氏量詞的單調(diào)性及其相互關(guān)系

即：對互為外否定的兩個〈1，1〉類型的廣義量詞而言，其左右單調(diào)性相反；對于互為內(nèi)否定的兩個〈1，1〉類型的廣義量詞而言，其左單調(diào)性相同，右單調(diào)性相反；對于互為對偶否定的兩個〈1，1〉類型的廣義量詞而言，其左單調(diào)性相反，右單調(diào)性相同[20]。由于亞氏量詞是廣義量詞的特例，因此，這一結(jié)論也適合于四個亞氏量詞。

三、傳統(tǒng)三段論的形式化

要對傳統(tǒng)三段論進(jìn)行公理化的前提是先對其進(jìn)行形式化。在下文中，S、P和M分別表示滿足直言命題的主項(xiàng)、謂項(xiàng)、中項(xiàng)所表示性質(zhì)的個體所形成的集合，E表示為所涉及的論域。因此，對于傳統(tǒng)三段論所研究的A、E、I、O四個直言命題而言：

（1）A命題，即：全稱肯定命題“所有S是P”，可以表示成allE（S，P）這樣的三分結(jié)構(gòu)。

（2）E命題，即：全稱否定命題“所有S不是P”，意思是“沒有S是P”，可以表示成noE（S，P）這樣的三分結(jié)構(gòu)。

（3）I命題，即：特稱肯定命題“有S是P”，可以表示成someE（S，P）這樣的三分結(jié)構(gòu)。

（4）O命題，即：特稱否定命題“有S不是P”，意思是“并非所有S是P”，可以表示成not all（S，P）這樣的三分結(jié)構(gòu)[21]。

可見，傳統(tǒng)三段論主要討論了涉及“所有的（all）”、“并非所有的（not all）”、“沒有（no）”、“有些（some）”這四個亞氏量詞的三段論的有效性。由于廣義量詞是亞氏量詞的推廣，亞氏量詞是廣義量詞的特例，所以，廣義量詞理論對亞氏量詞也是適用的[22]。因此，我們可以利用三分結(jié)構(gòu)把所有的24個有效的傳統(tǒng)三段論形式化如下：

［01］第一格AAA式：allE（M，P）且allE（S，M）?allE（S，P）

［02］（第一格AAI式）：allE（M，P）且allE（S，M）?someE（S，P）

［03］第一格AII式：allE（M，P）且someE（S，M）?someE（S，P）

［04］第一格EIO式：noE（M，P）且someE（S，M）?not allE（S，P）

［05］第一格EAE式：noE（M，P）且allE（S，M）?noE（S，P）

［06］（第一格EAO式）：noE（M，P）且allE（S，M）?not allE（S，P）

［07］第二格AEE式：allE（P，M）且noE（S，M）?noE（S，P）

［08］（第二格AEO式）：allE（P，M）且noE（S，M）?not allE（S，P）

［09］第二格EAE式：noE（P，M）且allE（S，M）?noE（S，P）

［10］（第二格EAO式）：noE（P，M）且allE（S，M）?not allE（S，P）

［11］第二格EIO式：noE（P，M）且someE（S，M）?not allE（S，P）

［12］第二格AOO式：allE（P，M）且not allE（S，M）?not allE（S，P）

［13］第三格EIO式：noE（M，P）且someE（M，S）?not allE（S，P）

［14］第三格OAO式：not allE（M，P）且allE（M，S）?not allE（S，P）

［15］第三格IAI式：someE（M，P）且allE（M，S）?someE（S，P）

［16］第三格AII式：allE（M，P）且someE（M，S）?someE（S，P）

［17］第三格AAI式：allE（M，P）且allE（M，S）?someE（S，P）

［18］第三格EAO式：noE（M，P）且allE（M，S）?not allE（S，P）

［19］第四格IAI式：someE（P，M）且allE（M，S）?someE（S，P）

［20］第四格EIO式：noE（P，M）且someE（M，S）?not allE（S，P）

［21］第四格AAI式：allE（P，M）且allE（M，S）?someE（S，P）

［22］第四格AEE式：allE（P，M）且noE（M，S）?noE（S，P）

［23］（第四格AEO式）：allE（P，M）且noE（M，S）?not allE（S，P）

［24］第四格EAO式：noE（P，M）且allE（M，S）?not allE（S，P）

其中，［2］、［6］、［8］、［10］和［23］這5個加括號的三段論稱為弱式三段論，即：本可以推出全稱命題，卻得出特稱命題的三段論；而［17］、［18］、［21］和［24］這4個三段論，只有在主項(xiàng)存在（即，前提的主項(xiàng)或謂項(xiàng)所指稱的對象是存在的）的情況下，才是有效的，否則，是無效的三段論。

四、傳統(tǒng)三段論的公理化

傳統(tǒng)三段論第一格AAA式的具體形式是：所有M都是P，而且所有S都是M，所以，所有的S都是P；第一格EAE式的具體形式是：所有M都不是P，而且所有S都是M，所以，所有的S都不是P。正常的人僅僅憑直覺就可以判斷這兩個三段論是有效的，亞里斯多德學(xué)派很巧妙地選擇了這兩個不證自明的第一格的全稱三段論作為傳統(tǒng)三段論的公理。現(xiàn)在，筆者從第一格AAA式三段論的有效性和第一格EAE式三段論的有效性，來嘗試推出其他22種有效的三段論。如果嘗試成功，就說明我們完成了對傳統(tǒng)三段論的公理化。

現(xiàn)在，我們可以利用廣義量詞理論來證明這兩個公理的有效性。

（1）第一格AAA式三段論的形式化表示是：allE（M，P）且allE（S，M）?allE（S，P）。據(jù)亞氏量詞的真值定義可知：allE（M，P）?M?P?E；且allE（S，M）?S?M?E。因此，由M?P?E且S?M?E可得S?P?E，據(jù)亞氏量詞的真值定義可知S?P?E?allE（S，P）。故：allE（M，P）且allE（S，M）?allE（S，P）。即：第一格AAA式三段論是有效的。

（2）第一格EAE式三段論的形式化表示是：noE（M，P）且allE（S，M）?noE（S，P）。據(jù)亞氏量詞的真值定義可知：noE（M，P）?M∩P=?；且allE（S，M）?S?M?E。因此，由M∩P=?且S?M?E可得S∩P=?，據(jù)亞氏量詞的真值定義可知S∩P=??noE（S，P）。故：noE（M，P）且allE（S，M）?noE（S，P）。即：第一格EAE式三段論是有效的。

（一）根據(jù)AAA-1三段論有效可以推出的有效三段論

第一格AAA式三段論有效，即：allE（M，P）且allE（S，M）?allE（S，P）。根據(jù)亞氏量詞的真值定義可知allE（M，P）?M?P?E，因此，“allE（M，P）且allE（S，M）?allE（S，P）”成立，等價于M?P?E且allE（S，M）?allE（S，P）。根據(jù)單調(diào)性定義2（1）可知：all是右單調(diào)遞增的。即：AAA-1三段論有效，當(dāng)且僅當(dāng)，all是右單調(diào)遞增的。由此可以推出以下15個傳統(tǒng)三段論有效。

（1）根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理可知，Q是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，┓Q是右單調(diào)遞減的；由于all與not all是互為外否定，根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理1（1）可知：all是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，not all是右單調(diào)遞減的，當(dāng)且僅當(dāng)，P?M?E且not allE（S，M）?not allE（S，P）（根據(jù)右單調(diào)遞減的定義），當(dāng)且僅當(dāng)，allE（P，M）且not allE（S，M）?not allE（S，P）（根據(jù)all的真值定義）。即：第二格AOO式三段論有效。

（2）根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理可知，Q是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，Q┓是右單調(diào)遞減的；由于all與no是互為內(nèi)否定，根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理1（2）可知：all是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，no是右單調(diào)遞減的，當(dāng)且僅當(dāng)，P?M?E且noE（S，M）?noE（S，P）（根據(jù)右單調(diào)遞減的定義），當(dāng)且僅當(dāng)，allE（P，M）且noE（S，M）?noE（S，P）（根據(jù)all的真值定義）。即：第二格AEE式三段論有效。

（3）由于E命題和O具有從屬關(guān)系，由“所有S都不是P（等價于沒有S是P）”為真，可以得到“有S不是P（等價于并非所有的S是P）”為真，即：noE（S，P）?not allE（S，P）。因此，由（2）中的“allE（P，M）且noE（S，M）?noE（S，P）”，可得“allE（P，M）且noE（S，M）?not allE（S，P）”。即：第二格AEO式三段論有效。

（4）由于no具有對稱性，根據(jù)對稱性的定義可知：noE（S，M），當(dāng)且僅當(dāng)，noE（M，S）。因此，用noE（M，S）代換（2）中的“allE（P，M）且noE（S，M）?noE（S，P）”中的noE（S，M）?？傻谩癮llE（P，M）且noE（M，S）?noE（S，P）”。即：第四格AEE式三段論有效。

（5）與（3）的思路類似，由于E命題和O具有從屬關(guān)系，即：noE（S，P）?not allE（S，P）。因此，由（4）中的“allE（P，M）且noE（M，S）?noE（S，P）”，可得“allE（P，M）且noE（M，S）?not allE（S，P）”。即：第四格AEO式三段論有效。

（6）根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理1（3）可知，Q是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是右單調(diào)遞減的；由于all與some是互為對偶否定，因此，all是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，some是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，M?P?E且someE（S，M）?someE（S，P）（根據(jù)右單調(diào)遞增的定義），當(dāng)且僅當(dāng)，allE（M，P）且someE（S，M）?someE（S，P）（根據(jù)all的真值定義）。即：第一格AII式三段論有效。

（7）由（6）可知，第一格AII式三段論有效，即：allE（M，P）且someE（S，M）?someE（S，P），那么，根據(jù)命題變形規(guī)則“從（p&q→r）可以推出（┓r→┓（p&q））可以推出（┓r→（┓p∨┓q））可以推出（┓r→（p→┓q））可以推出（┓r&p→┓q）”，簡言之，從（p&q→r）可以推出（┓r&p→┓q）。因此，從allE（M，P）且someE（S，M）?someE（S，P），可以推出┓someE（S，P）且someE（S，M）?┓（allE（M，P）），經(jīng)過字母代換可得┓someE（M，P）且someE（M，S）?┓（allE（S，P））。又因?yàn)閟ome與no是互為外否定，all與not all是互為外否定，因此，noE（M，P）且someE（M，S）?not allE（S，P）。即：第三格EIO式三段論有效。

（8）由（7）可知，第三格EIO式三段論有效，即：noE（M，P）且someE（M，S）?not allE（S，P）。又因?yàn)閚o具有對稱性，根據(jù)對稱性的定義可知：noE（M，P），當(dāng)且僅當(dāng)，noE（P，M）。這樣，用noE（P，M）代替“noE（M，P）且someE（M，S）?not allE（S，P）”中的“noE（M，P）”，可得noE（P，M）且someE（M，S）?not allE（S，P）。即：第四格EIO式三段論有效。

（9）由（7）可知，第三格EIO式三段論有效，即：noE（M，P）且someE（M，S）?not allE（S，P）。又因?yàn)閟ome具有對稱性，根據(jù)對稱性的定義可知：someE（M，S），當(dāng)且僅當(dāng)，someE（S，M）。這樣，用someE（S，M）代替“noE（M，P）且someE（M，S）?not allE（S，P）”中的“someE（M，S）”，可得noE（M，P）且someE（S，M）?not allE（S，P）。即：第一格EIO式三段論有效。

（10）由（9）可知，第一格EIO式三段論有效，即：noE（M，P）且someE（S，M）?not allE（S，P）。又因?yàn)閚o具有對稱性，根據(jù)對稱性的定義可知：noE（M，P），當(dāng)且僅當(dāng)，noE（P，M）。這樣，用noE（P，M）代替“noE（M，P）且someE（S，M）?not allE（S，P）”中的“noE（M，P）”，可得noE（P，M）且someE（S，M）?not allE（S，P）。即：第二格EIO式三段論有效。

（11）由（5）可知，第四格AEO式三段論有效，即：“allE（P，M）且noE（M，S）?not allE（S，P）”。與（7）的推理過程類似，根據(jù)命題變形規(guī)則“從（p&q→r）可以推出（┓r&p→┓q）”。因此，從allE（P，M）且noE（M，S）?not allE（S，P），可以推出┓（not allE（S，P））且allE（P，M）?┓（noE（M，S）），經(jīng)過字母代換可得┓（not allE（P，M））且allE（M，S）?┓（noE（S，P））。又因?yàn)閟ome與no是互為外否定，all與not all是互為外否定，因此，allE（P，M）且allE（M，S）?someE（S，P）。即：第四格AAI式三段論有效。

（12）由于A命題和I具有從屬關(guān)系，由“所有S都是P”為真，可以得到“有S不是P”為真，即：allE（S，P）?someE（S，P）。因此，由于第一格AAA式三段論有效，即：“allE（M，P）且allE（S，M）?allE（S，P）”。故：allE（M，P）且allE（S，M）?someE（S，P）。即：第一格AAI式三段論有效。

（13）由（12）可知，第一格AAI式三段論有效，即：allE（M，P）且allE（S，M）?someE（S，P）。與（7）的推理過程類似，根據(jù)命題變形規(guī)則“從（p&q→r）可以推出（┓r&p→┓q）”。因此，由allE（M，P）且allE（S，M）?someE（S，P），可以推出┓（someE（S，P））且allE（S，M）?┓（allE（M，P）），經(jīng)過字母代換可得┓（someE（M，P））且allE（M，S）?┓（allE（S，P））。又因?yàn)閟ome與no是互為外否定，all與not all是互為外否定，因此，noE（M，P））且allE（M，S）?not allE（S，P）。即：第三格EAO式三段論有效。

（14）由于some具有對稱性，根據(jù)對稱性的定義可知：someE（S，M），當(dāng)且僅當(dāng)，someE（M，S）。因此，用someE（M，S）代換（6）中的“allE（M，P）且someE（S，M）?someE（S，P）”中的someE（S，M），可得allE（M，P）且someE（M，S）?someE（S，P）。即：第三格AII式三段論有效。

（15）由（11）可知，第四格AAI式三段論有效，即：allE（P，M）且allE（M，S）?someE（S，P）。與（7）的推理過程類似，根據(jù)命題變形規(guī)則“從（p&q→r）可以推出（┓r&p→┓q）”。因此，由allE（P，M）且allE（M，S）?someE（S，P），可以推出┓（someE（S，P））且allE（P，M）?┓（allE（M，S）），經(jīng)過字母代換可得┓（someE（P，M））且allE（M，S）?┓（allE（S，P））。又因?yàn)閟ome與no是互為外否定，all與not all是互為外否定，因此，noE（P，M））且allE（M，S）?not allE（S，P）。即：第四格EAO式三段論有效。

（二）根據(jù)EAE-1三段論有效可以推出的有效三段論

第一格EAE式三段論有效，即：noE（M，P）且allE（S，M）?noE（S，P）。根據(jù)亞氏量詞的真值定義可知allE（S，M）?S?M?E，因此，“noE（M，P）且allE（S，M）?noE（S，P）”成立，等價于S?M?E且noE（M，P）?noE（S，P）。據(jù)單調(diào)性定義1（4）可知：no是左單調(diào)遞減的。即：EAE-1三段論有效，當(dāng)且僅當(dāng)，no是左單調(diào)遞減的。由此可推出以下7個傳統(tǒng)三段論有效。

（16）根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理1（10）可知，Q是左單調(diào)遞減的，當(dāng)且僅當(dāng)，┓Q是左單調(diào)遞增的；由于no與some是互為外否定，因此，no是左單調(diào)遞減的，當(dāng)且僅當(dāng)，some是左單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，M?S?E且someE（M，P）?someE（S，P）（根據(jù)左單調(diào)遞增的定義），當(dāng)且僅當(dāng)，someE（M，P）且allE（M，S）?someE（S，P）（根據(jù)all的真值定義）。即：第三格IAI式三段論有效。

（17）由于some具有對稱性，根據(jù)對稱性的定義可知：someE（M，P），當(dāng)且僅當(dāng)，someE（P，M）。因此，用someE（P，M）代換（16）中的“someE（M，P）且allE（M，S）?someE（S，P）”中的someE（M，P），可得“someE（P，M）且allE（M，S）?someE（S，P）”。即：第四格IAI式三段論有效。

（18）根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理1（12）可知，Q是左單調(diào)遞減的，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是左單調(diào)遞增的；由于no與not all是互為外否定，因此，no是左單調(diào)遞減的，當(dāng)且僅當(dāng)，not all是左單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，M?S?E且notE（M，P）?not allE（S，P）（根據(jù)左單調(diào)遞增的定義），當(dāng)且僅當(dāng)，not allE（M，P）且allE（M，S）?not allE（S，P）（根據(jù)all的真值定義）。即：第三格OAO式三段論有效。

（19）由于no具有對稱性，根據(jù)對稱性的定義可知：noE（M，P），當(dāng)且僅當(dāng)，noE（P，M）。而第一格EAE式三段論有效，即：noE（M，P）且allE（S，M）?noE（S，P）。因此，用noE（P，M）代換“noE（M，P）且allE（S，M）?noE（S，P）”中的noE（M，P），可得“noE（P，M）且allE（S，M）?noE（S，P）”。即：第二格EAE式三段論有效。

（20）與（3）的思路類似，由于E命題和O具有從屬關(guān)系，即：noE（S，P）?not allE（S，P）。因此，由（19）中的“noE（P，M）且allE（S，M）?noE（S，P）”，可得“noE（P，M）且allE（S，M）?not allE（S，P）”。即：第二格EAO式三段論有效。

（21）與（20）的思路類似，由于E命題和O具有從屬關(guān)系，即：noE（S，P）?not allE（S，P）。而第一格EAE式三段論有效，即：noE（M，P）且allE（S，M）?noE（S，P）。故：noE（M，P）且allE（S，M）?not allE（S，P）。即：第一格EAO式三段論有效。

（22）由（20）可知，第二格EAO式三段論有效，即：noE（P，M）且allE（S，M）?not allE（S，P）。與（17）的推理過程類似，根據(jù)命題變形規(guī)則“從（p&q→r）可以推出（┓r&p→┓q）”。因此，從noE（P，M）且allE（S，M）?not allE（S，P），可以推出┓（not allE（S，P））且allE（S，M）?┓（noE（P，M）），經(jīng)過字母代換可得┓（not allE（M，S））且allE（M，P）?┓（noE（S，P））。即：allE（M，P）且┓（not allE（M，S））?┓（noE（S，P））。又因?yàn)閟ome與no是互為外否定，all與not all是互為外否定，因此，allE（M，P）且allE（M，S）?someE（S，P）。即：第三格AAI式三段論有效。

五、結(jié)語

根據(jù)以上的論述可見，筆者由AAA-1三段論的有效性和EAE-1三段論的有效性證明了其他22個有效的三段論（如下編號與文中證明的序號相對應(yīng)，其中編號（1）—（15）三段論的有效性是根據(jù)AAA-1三段論的有效性推出來的，編號（16）—（22）三段論是根據(jù)EAE-1三段論的有效性推出來的），現(xiàn)在我們按照第一格至第四格有效三段論的順序羅列如下：

（6）AII-1（9）EIO-1（12）AAI-1（21）EAO-1

（1）AOO-2（2）AEE-2（3）AEO-2（10）EIO-2（19）EAE-2（20）EAO-2

（7）EIO-3（13）EAO-3（14）AII-3（16）IAI-3（18）OAO-3（22）AAI-3

（4）AEE-4（5）AEO-4（8）EIO-4（11）AAI-4（17）IAI-4（15）EAO-4

而亞里斯多德學(xué)派認(rèn)為，從AAA-1、EAE-1這兩個三段論的有效性，可以推出除了預(yù)設(shè)了主項(xiàng)存在的三段論以外的其他所有的有效的傳統(tǒng)三段論[1]228。即，可以證明，除去預(yù)設(shè)主項(xiàng)存在的AAI-3、AAI-4、EAO-3、EAO-4這4個三段論以外的18個三段論的有效性，而筆者利用廣義量詞理論證明了包括這4個三段論在內(nèi)的22個三段論的有效性。很顯然，筆者不僅證實(shí)了亞里斯多德學(xué)派的結(jié)論，而且還從AAA-1、EAE-1這兩個三段論的有效性，證明了預(yù)設(shè)了主項(xiàng)存在的AAI-3、AAI-4、EAO-3、EAO-4這4個三段論的有效性，結(jié)果比預(yù)期的還要完美。

綜上所述，筆者主要利用了廣義量詞理論對四個亞里斯多德量詞的真值定義，在對傳統(tǒng)三段論進(jìn)行形式化的基礎(chǔ)上，利用廣義量詞理論所揭示的四個亞里斯多德量詞的單調(diào)性之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，根據(jù)AAA-1和EAE-1這兩個顯而易見的公理，完成了對傳統(tǒng)三段論的公理化這一艱巨的任務(wù)。這些創(chuàng)新性成果，對于中文信息處理以及計(jì)算機(jī)科學(xué)中的知識表示和知識推理，有著重要的意義。

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［責(zé)任編輯：熊顯長］

B81

A

1001－4799（2016）06－0032－07

2016-05-16

國家社會科學(xué)基金資助項(xiàng)目：15XYY012

張曉君（1970-），女，四川南充人，四川師范大學(xué)邏輯與信息研究所副研究員，哲學(xué)博士，主要從事自然語言邏輯、人工智能邏輯和Agent理論研究；李晟（1986-），男，四川德陽人，四川師范大學(xué)邏輯與信息研究所助教，哲學(xué)博士，主要從事現(xiàn)代邏輯、自然語言邏輯研究。