具有可選服務的M/M/1排隊驅(qū)動的流模型

徐秀麗, 王現(xiàn)英,李曉慶

(燕山大學理學院，河北秦皇島 066004)

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具有可選服務的M/M/1排隊驅(qū)動的流模型

徐秀麗, 王現(xiàn)英,李曉慶

(燕山大學理學院，河北秦皇島 066004)

在驅(qū)動系統(tǒng)中添加一種服務規(guī)則，研究第二次服務可選的M/M/1排隊系統(tǒng)驅(qū)動的流模型，流體的凈輸入率由驅(qū)動系統(tǒng)的外部環(huán)境控制.首先給出無窮小生成元矩陣，確定凈輸入率的結(jié)構(gòu)；然后，使用Laplace變換(LT)方法得到庫存量平穩(wěn)分布的Laplace-Stieltjes變換(LST)及平均庫存量的表達式.最后，通過數(shù)值實驗討論了參數(shù)的可行性及對系統(tǒng)性能指標的影響.

流模型；可選服務；平穩(wěn)分布；無窮小生成元；Laplace變換(LT)

在發(fā)達的網(wǎng)絡社會，網(wǎng)絡交易已成為人們最重要的的交易活動之一，網(wǎng)上轉(zhuǎn)賬、匯款、繳費、購物等都是我們?nèi)粘Ｉ畋夭豢缮俚囊徊糠?就網(wǎng)上繳費來說，當完成繳費以后，再一次對話費余額進行查詢就可以理解為第二次服務，也就是可選服務，由此可見，對可選服務的研究具有很廣泛的實際意義.Mandan[1]首先應用補充變量的方法研究了具有二次可選服務的一般排隊模型；Medhi[2]對文獻[1]做了改進，更一般化地分析了服務時間的分布情況，得到了模型的性能指標；田乃碩等[3]結(jié)合廣義時間提出嵌入馬爾可夫鏈的方法，研究了第二次服務可選的單重休假離散排隊系統(tǒng).

快速發(fā)展的高科技時代，流排隊模型的研究也具有很重要的實際意義.2009年，Bckker等[4]研究了通訊數(shù)據(jù)傳輸?shù)牧髂Ｐ?；關(guān)于M/M/1流排隊模型的研究源于Virtamo和Narros[5]，他們在有限環(huán)境中延伸了譜方法，討論了一類M/M/1驅(qū)動流排隊模型；Ramaswami[6]提出了一種矩陣解析方法，驗證了流模型與擬生滅過程之間的聯(lián)系，完善了文獻[5]的工作；Mao等[7]分析了多重休假及N策略的驅(qū)動流排隊模型，并獲得了一些可行性的系統(tǒng)性能指標；梅寧等[8]研究了具有負顧客的M/M/1排隊系統(tǒng)驅(qū)動的流模型；劉曉艷等[9]在文獻[8]的基礎上引入多重休假，并得到了相應的理論結(jié)果；Xu等[10]分析了關(guān)于工作休假的M/M/c排隊驅(qū)動的流模型.

本文在外部驅(qū)動系統(tǒng)中考慮一種新的服務模式，通過研究第二次服務模式具有可選性的M/M/1排隊系統(tǒng)驅(qū)動的流模型，建立凈輸入率結(jié)構(gòu)，分析系統(tǒng)的各項性能指標，并盡可能得到符合實際意義的變量參數(shù).

1 驅(qū)動系統(tǒng)的基本描述

本文討論一類流模型，假設該模型緩沖器的容量是無限的，并且其凈輸入率結(jié)構(gòu)由外部的驅(qū)動過程控制，設{L(t),t≥0}是排隊系統(tǒng)中的隊長.對于外部驅(qū)動過程做如下描述：

( i )系統(tǒng)中的顧客都以參數(shù)為λ(λ>0)的Poisson流到達；

( ii )假定每一次的服務時間都符合負指數(shù)分布；

(iii)到達的顧客都需要接受第一次服務，設定μ1(μ1>0)為第一次的服務率，在第一次服務完成后，顧客要么會以概率p留在系統(tǒng)要求接受第二次服務，要么以概率1-p離開系統(tǒng)，設定μ2(μ2>0)為第二次服務的服務率；

(iv)系統(tǒng)中任意顧客的到達時間間隔、接受服務的時間均相互獨立，服務規(guī)則為先到先服務(FCFS).

設L(t)表示系統(tǒng)中的顧客數(shù)，那么{L(t),t≥0}便是一種可數(shù)狀態(tài)空間上的馬氏過程，狀態(tài)空間為Ω={0,1,2,…}，無窮小生成元

其中

當該模型的驅(qū)動系統(tǒng)的負載ρ=λ/M<1時，平穩(wěn)隊長L(t)服從參數(shù)為ρ的幾何分布，且

2 流模型的平穩(wěn)條件

假設在時刻t下緩沖器的庫存量是X(t)，且X(t)是一非負隨機變量，緩沖器的凈輸入率(輸入率-輸出率)結(jié)構(gòu)可以用隨機過程{(X(t),L(t)),t≥0}的函數(shù)表達，即

其中σ<0,σ1>0.

上述表達式說明，當系統(tǒng)的驅(qū)動過程處于閑期時，庫存量以速率σ減少，直到緩沖器容量為零，并保持零值不變；反之，處于忙期時，庫存量以速率σ1增加.

二次可選服務的M/M/1排隊系統(tǒng)驅(qū)動的流模型在一定意義上可以看作是二維Markov過程{(X(t),L(t)),t≥0}，狀態(tài)空間是具有混合型(連續(xù)×離散)的：Ω=[0,+∞)×{0,1,2,…}.當t→∞時，X(t)有唯一的極限分布，流模型的平均凈輸入率d(平均漂移)應為負值，即

當d<0時，流模型表現(xiàn)出一種平衡的狀態(tài).也就是說，如果緩沖器的容量是無限大，那么Markov過程{(X(t),L(t)),t≥0}的平衡條件為ρ<1及d<0同時成立.

3 基本方程及其解

引入聯(lián)合分布，設

假定流模型的驅(qū)動過程平衡時，{(X(t),L(t)),t≥0}收斂到隨機變量(X,L),其中X,L分別是穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)的庫存量及任意時刻的顧客數(shù).記(X,L)的聯(lián)合分布為

則穩(wěn)態(tài)下庫存量的分布函數(shù)為

為了簡便計算，F(xiàn)(x)可用向量表示為

那么F(x)滿足矩陣微分方程

(1)

同時滿足邊界條件Fj(t,x)=P{X=0,L=0}=a,Fj(0)=0,j≥1，其中Λ=diag(σ,σ1,…)為漂移矩陣，a為穩(wěn)態(tài)下的流模型的空庫概率.

引入聯(lián)合分布的Laplace變換，記Fj(x)和F(x)的Laplace變換分別為：

(2)

4 穩(wěn)態(tài)分布及均值

引理1 若ρ<1，則二次方程

存在兩個不同實根r0(s)與r1(s)，滿足0

定理1 如果流模型穩(wěn)定，且d<0和ρ<1同時成立，那么穩(wěn)態(tài)聯(lián)合分布的Laplace變換為

(3)

并且?guī)齑媪科椒€(wěn)分布F(x)的Laplace變換為

(4)

證明 差分方程組(2)可以表示成

從第一個方程式，解得

由引理1知,r0(s)是方程

的根，所以

引入Fj(s)的聯(lián)合分布的Laplace-Stieltjes變換，記為

庫存量平穩(wěn)分布F(x)的Laplace-Stieltjes變換為

(5)

定理2 如果流模型穩(wěn)定，即d<0及ρ<1成立，則庫存量穩(wěn)態(tài)分布的Laplace-Stieltjes變換和均值分別為

(6)

(7)

其中d=σ(1-ρ)+σ1ρ是平均漂移.

證明 聯(lián)立(4)和(5)式，可得

(8)

由正規(guī)化條件及r0(s)=ρ可得

所以a=d/σ，代入(8)式，整理即得(6)式.

對(6)式兩邊同時關(guān)于s求導，令s=0，結(jié)合引理1，得

所以(7)式成立. 】

5 數(shù)值分析

當系統(tǒng)中某些參數(shù)變動時，我們討論流模型的穩(wěn)態(tài)庫存量及空庫概率的變化情況.設定參數(shù)值λ=2,σ1=3,μ1=μ2=4，當確定凈輸入率σ時，圖1說明，空庫概率a隨著概率p的增大而增大；圖2說明，平均庫存量E(X)隨著概率p的減少而增大.當確定概率p時，圖1說明，空庫概率a將會隨著凈輸入率p的減少而增大;圖2說明，平均庫存量E(X)將會隨著凈輸入率σ的增大而增大.所以，參數(shù)值發(fā)生變化時，流模型的穩(wěn)態(tài)庫存量及空庫概率都將隨之發(fā)生變動.

圖1 空庫概率a隨p和σ的變化Fig 1The curves of a with the change of p and σ

圖2 平均庫存量E(X)隨p和σ的變化Fig 2The curves of E(X) with the change of p and σ

6 結(jié)論

本文給出了一種新的外部驅(qū)動環(huán)境，進而建立了對應的流模型.同時，提出了流模型的凈輸入率

結(jié)構(gòu)，利用Laplace變換方法給出了流模型的穩(wěn)態(tài)性能指標的表達式，是對經(jīng)典的M/M/1排隊系統(tǒng)驅(qū)動流模型的推廣.最后，通過Matlab數(shù)值分析，討論了流模型性能指標隨系統(tǒng)參數(shù)的變化情況，具有一定的實際意義.

[1]MANDANKC．AnM/G/1Queuewithsecondoptionalservice[J].Queuing Systems，2000，34(1-4)：37．

[2] MEDHI J．A single sever poisson input queue with a second optional channel[J].QueuingSystems，2002，42(3)：239．

[3] 田乃碩，趙媛，康小娟．第二次服務可選的單重休假離散排隊系統(tǒng)[J].西北師范大學學報(自然科學版)，2010，46(3)：19．

[4] BCKKER R，MENDJES M．A fluid model for a relay node in an ad hoc network：the case of heavy-tailed input[J].MathMethodsOperaRes，2009(70)：357．

[5] VIRTAMO J，NORROS I．Fluid queue driven by an M/M/1 queue[J].QueuingSystems，1994，16(3/4)：373．

[6] RAMASWAMI V．Matrix analytic methods for stochastic fluid flows[C]//Proceedingsofthe16thInternationalTeletrafficCongress.Edingurgh:ROYAUME-UNI,1999:1019．

[7] MAO B，WANG F，TIAN N．Fluid model driven by an M/M/1 queue with multiple vacations and N-policy[J].JournalofAppliedMathematicsandComputing，2012，38(1-2)：119．

[8] 梅寧，徐秀麗，劉曉艷．具有負顧客的M/M/1排隊系統(tǒng)驅(qū)動的流模型[J].遼寧工程技術(shù)大學學報(自然科學版)，2014，33(1)：116．

[9] 劉曉艷，梅寧，徐秀麗．帶負顧客的M/M/1多重休假排隊系統(tǒng)驅(qū)動的流模型[J].西北師范大學學報(自然科學版)，2013，49(5)：25．

[10] XU X，GENG J,LIU M,et al．Stationary analysis for the fluid model driven by the M/M/c working vacation queue[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications,2013,403(2):423.

(責任編輯 馬宇鴻)

Fluid model driven by an M/M/1 queue with optional service

XU Xiu-li, WANG Xian-ying,LI Xiao-qing

(School of Science,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,Hebei,China)

In this paper,a fluid model driven by an M/M/1 queue with optional service is considered,where the net input rate of fluid is controlled by the drive system of the external environment.Firstly,the infinitesimal generator is given,and the structure of net input rate of fluid is determined.Secondly,using the Laplace transform(LT) method,a smooth buffer content distribution of the Laplace-Stieltjes transform(LST) and the average buffer content formula are given.Finally,the numerical results of the model are presented.

fluid model;optional service;stationary distribution;infinitesimal generator;Laplace transform(LT)

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.01.005

2015-01-27;修改稿收到日期:2015-07-16

國家自然科學基金資助項目(11201408);河北省自然科學基金資助項目(A2013203148)

徐秀麗(1976—)，女，遼寧北票人，教授.主要研究方向為隨機模型及性能分析.

E-mail:xxl-ysu@163.com

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1001-988Ⅹ(2016)01-0021-04